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    妙用“同旁內(nèi)角”說明三角形內(nèi)角和180°

    2019-02-26 12:38:30彭穎璨
    初中生世界·七年級 2019年2期
    關(guān)鍵詞:同旁內(nèi)角陳省身外角

    彭穎璨

    課本“7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和”提到小學(xué)里就發(fā)現(xiàn)了三角形的內(nèi)角和是180°,但并沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f明理由。接著“議一議”的圖形變換與探索讓我們感受到三角形內(nèi)角和是180度的理由。

    如圖1,直線MN經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A,MN∥BC。如圖2,延長BC,在點(diǎn)C右邊依次取點(diǎn)C2,C3,C4,…,Cn,連接AC2,AC3,AC4,…,ACn。請比較“∠B+∠BAC2” 與“∠B+∠BAC3”的大??;并思考“∠B+∠BACn”的大小規(guī)律,你能說明理由嗎?

    可以發(fā)現(xiàn):讓點(diǎn)C動(dòng)起來后,只要點(diǎn)C在直線BC上,“∠B+∠BAC2” 是小于“∠B+∠BAC3”的,其關(guān)鍵是比較“∠BAC2” 與“∠BAC3”的大小。相應(yīng)的就有“∠B+∠BACn”的大小規(guī)律是越來越大,理由是∠BACn的度數(shù)會越來越大。但是只要點(diǎn)C仍然在直線BC上,∠B+∠BACn的角度是不可能達(dá)到180°的。這是為什么呢?

    下面我們逆向來分析。假設(shè)∠B+∠BACn的角度達(dá)到180°,就可以構(gòu)造出如圖3的示意圖,此時(shí),根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行,應(yīng)該有AC′∥BC,而這與三角形的定義中所規(guī)定的三條線段首尾順次相接形成的圖形相矛盾,所以∠B+∠BACn的角度是不可能達(dá)到180°的。

    順勢擴(kuò)大認(rèn)識,仍然以圖3為例,也就可以說明三角形內(nèi)角和為180度的理由了。

    由MN∥BC,可得∠NAB+∠B=180°,∠NAC=∠C,這樣就有∠B+∠BAC+∠C=180°,即三角形內(nèi)角和為180度。

    教師點(diǎn)評

    對于七年級學(xué)生來說,三角形內(nèi)角和為180°已經(jīng)是“顯而易見”的直覺結(jié)論了,但是進(jìn)入初中以后,幾何學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是并不滿足于直覺所見,而是需要挖掘直覺背后的必然性,或者分析直覺可能的錯(cuò)覺。事實(shí)上,數(shù)學(xué)之所以為數(shù)學(xué),就在于它既需要直覺與想象,又需要理性的驗(yàn)證,缺一不可。這方面的例子,同學(xué)們在“對頂角相等”的學(xué)習(xí)中應(yīng)該也已感受到了,以后還會有更多類似的案例,可以再次積累和體會。想到大數(shù)學(xué)家陳省身先生一次語出驚人地說:“你們都說三角形內(nèi)角和是180°,這是不對的!”很多人歪曲理解陳先生的表述,因?yàn)樵谶@句話的后面,陳先生接著表達(dá)的是“稱三角形的外角和為兩個(gè)平角更好些”。聰明的同學(xué),你能想得通為什么大數(shù)學(xué)家陳省身先生更推崇三角形外角和為360°嗎?我想,大概是因?yàn)檫@個(gè)“周角360°”會是一個(gè)定值,可一般化、推廣到四邊形外角和、五邊形外角和、n邊形外角和都是定值360°吧! (指導(dǎo)教師:劉東升)

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