壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯建模與內(nèi)?？刂?/h1>

2019-02-22 09:46:02賈高欣王貞艷

壓電與聲光訂閱 2019年1期 收藏

關(guān)鍵詞：作動(dòng)器內(nèi)模壓電

賈高欣，王貞艷

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引言

壓電陶瓷作動(dòng)器具有能量密度大，響應(yīng)速度快，位移分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，在快速控制反射鏡[1]，掃描隧道顯微鏡，精密定位等方面得到了廣泛的應(yīng)用。然而壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯性直接降低了控制系統(tǒng)的定位精度，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，嚴(yán)重影響了壓電陶瓷作動(dòng)器在工程領(lǐng)域的應(yīng)用。

傳統(tǒng)遲滯非線性系統(tǒng)建模方法有Preisach 模型[2]、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型[3]等算子模型及Jile-Atherton(JA)模型[4]、Duhem模型[5]等物理模型，都是率無(wú)關(guān)的模型，不能夠精確描述率相關(guān)的遲滯非線性。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)率相關(guān)遲滯性的建模做了大量的研究：

1) 通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)靜態(tài)遲滯模型的改進(jìn)得到可以描述率相關(guān)性的Preisach 模型[6]、PI模型[7]、Bouc-Wen模型[8]等。

2) 將系統(tǒng)的靜態(tài)遲滯性與率相關(guān)性分別由不同的模型表達(dá)，如Hammerstein模型[9]、三明治模型[10]、Wiener模型等。

在遲滯非線性控制方面，主要是采用逆補(bǔ)償控制結(jié)合比例、積分、微分(PID)控制[11]、滑?？刂芠12]、魯棒控制[13]及智能控制[14]的復(fù)合控制方法。通過(guò)遲滯逆模型補(bǔ)償系統(tǒng)的遲滯非線性，將系統(tǒng)近似作為線性系統(tǒng)，再結(jié)合其他控制方法實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的精密跟蹤控制。

本文提出了一種基于廣義Bouc-Wen模型的Hammerstein率相關(guān)遲滯非線性模型，分別用廣義Bouc-Wen模型和自回歸歷遍模型(ARX)來(lái)表示模型的靜態(tài)遲滯部分和線性動(dòng)態(tài)部分。在所建模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)內(nèi)?？刂撇呗?，實(shí)現(xiàn)對(duì)給定頻率范圍內(nèi)單頻率和復(fù)合頻率信號(hào)的跟蹤控制。

1 壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯模型

壓電陶瓷材料具有率相關(guān)遲滯非線性(見(jiàn)圖1)，即遲滯系統(tǒng)的輸出不僅與現(xiàn)在的輸入及其歷史狀態(tài)有關(guān)，還與輸入信號(hào)的頻率有關(guān)。

圖1 壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯非線性

1.1 Hammerstein率相關(guān)遲滯模型

Hammerstein模型是一種基于塊連接的非線性模型，由一個(gè)靜態(tài)非線性模塊后接一個(gè)線性動(dòng)態(tài)模塊構(gòu)成[15]。對(duì)于壓電陶瓷作動(dòng)器，當(dāng)輸入信號(hào)頻率較低時(shí)，遲滯環(huán)曲線幾乎不發(fā)生變化，可以近似認(rèn)為是率無(wú)關(guān)的，即靜態(tài)遲滯系統(tǒng)，可以由靜態(tài)遲滯模型來(lái)表示。當(dāng)輸入信號(hào)頻率較高時(shí)，壓電陶瓷作動(dòng)器將表現(xiàn)出率相關(guān)性，用一個(gè)高階微分方程表征。為了描述壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯非線性，本文提出一種基于廣義Bouc-Wen模型的Hammerstein率相關(guān)遲滯非線性模型。由廣義Bouc-Wen模型來(lái)描述Hammerstein模型的靜態(tài)非線性部分，由ARX模型來(lái)描述線性動(dòng)態(tài)部分，模型結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖中，N(·)為模型的靜態(tài)非線性部分，G(z)為線性動(dòng)態(tài)部分，u(t),y(t)分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，x(t)為不可測(cè)的中間變量。

圖2 壓電陶瓷作動(dòng)器的Hammerstein模型

1.2 廣義Bouc-Wen模型

廣義Bouc-Wen模型是由Song和Kigureghian提出的一種改進(jìn)的模型以描述非對(duì)稱的遲滯曲線，屬于靜態(tài)遲滯模型。用以描述壓電陶瓷作動(dòng)器Hammerstein模型靜態(tài)遲滯部分的廣義Bouc-Wen模型是由一個(gè)線性位移分量和一個(gè)遲滯位移分量組成的，其表達(dá)式為

(1)

1.3 ARX模型

本文用ARX模型來(lái)描述壓電陶瓷作動(dòng)器的線性動(dòng)態(tài)特性。

ARX表達(dá)式為

A(z)y(t)=B(z)u(t)+ε(t)

(2)

其中

A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-n

(3)

B(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m

(4)

式中：ε(t)為誤差項(xiàng)；z-1為單位延遲算子。

ARX模型寫(xiě)為傳遞函數(shù)形式為

(5)

2 模型的辨識(shí)與檢驗(yàn)

2.1 模型辨識(shí)

基于廣義Bouc-Wen的Hammerstein率相關(guān)遲滯非線性模型參數(shù)辨識(shí)，需要兩步來(lái)完成，即

1) 廣義Bouc-Wen模型辨識(shí)。多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)輸入電壓頻率小于1 Hz時(shí)，作動(dòng)器的遲滯環(huán)曲線幾乎不發(fā)生變化。所以，這里采用在1 Hz信號(hào)激勵(lì)下的壓電陶瓷作動(dòng)器輸入數(shù)據(jù)u(t)、輸出數(shù)據(jù)y(t)，通過(guò)差分進(jìn)化算法來(lái)辨識(shí)廣義Bouc-Wen模型。定義性能指標(biāo)為

(6)

(7)

式中：RMSE和RE分別為作動(dòng)器實(shí)際輸出和模型輸出的均方根誤差和相對(duì)誤差；L為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度;yexpi為第i個(gè)采樣時(shí)刻作動(dòng)器的實(shí)際輸出；yi為第i個(gè)采樣時(shí)刻模型的輸出。

基于差分進(jìn)化算法得到廣義Bouc-Wen模型參數(shù)為：α=41.329 4 μm/V，β1=33 V-1，β2=-17.959 3 V-1，β3=-5.642 7V-1，β4=-13.079 1 V-1，β5=16.631 1 V-1，β6=-6.707 2 V-1，n=1，d=90.613 3 μm/V，建模的RMSE和RE分別為0.407 1 μm和0.014 5。

2) ARX模型辨識(shí)。辨識(shí)得到廣義Bouc-Wen模型后，采用MATLAB系統(tǒng)辨識(shí)工具箱中系統(tǒng)辨識(shí)輸入信號(hào)函數(shù)idinput(·)生成包含0～100 Hz頻率特性信息的正弦掃描信號(hào)u(t)來(lái)激勵(lì)壓電陶瓷作動(dòng)器，采集得到作動(dòng)器輸出y(t)。由輸入的正弦掃描信號(hào)u(t)，基于辨識(shí)得到的廣義Bouc-Wen模型，估計(jì)出中間變量x(t)，最后由ARX模型的輸入、輸出數(shù)據(jù)x(t),y(t)辨識(shí)出線性動(dòng)態(tài)部分。

采用最小二乘法辨識(shí)得到的ARX模型為

(8)

2.2 模型檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證所建Hammerstein模型的有效性，對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器輸入頻率為1～100 Hz的單一頻率和復(fù)合頻率的正弦電壓信號(hào)，測(cè)得壓電陶瓷作動(dòng)器的輸出數(shù)據(jù)，與相同輸入下所建率相關(guān)Hammerstein模型的輸出數(shù)據(jù)相比較，通過(guò)RMSE和RE來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度。作動(dòng)器實(shí)際輸出與模型輸出遲滯曲線如圖3所示，圖中，10/30/50/70/90 Hz和10/20/…/100 Hz均為復(fù)合頻率。 表1為不同頻率信號(hào)下的建模誤差。

圖3 模型檢驗(yàn)

頻率/HzRMSE/μmRE100.600 00.020 6300.676 40.023 4600.925 70.032 9801.089 00.037 010/30/50/70/900.995 10.035 610/20/…/1001.110 40.038 2

由圖3和表1可知，所建Hammerstein模型可以有效地描述1～100 Hz內(nèi)的單一頻率及復(fù)合頻率下的遲滯曲線。

3 控制器設(shè)計(jì)

關(guān)于壓電陶瓷作動(dòng)器控制器的設(shè)計(jì)，本文在所建率相關(guān)Hammerstein模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了內(nèi)?？刂破?。內(nèi)?？刂破魇腔谶^(guò)程數(shù)學(xué)模型的新型控制策略，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制性能好，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所需調(diào)節(jié)參數(shù)少，與PID控制器需要調(diào)節(jié)3個(gè)參數(shù)相比，內(nèi)模控制器只需調(diào)節(jié)1個(gè)濾波器參數(shù)，設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)便，更易于應(yīng)用到工程實(shí)踐中。

3.1 基于Hammerstein模型的內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)

得到Hammerstein模型后，首先求得其逆模型，再設(shè)計(jì)一個(gè)基于廣義Bouc-Wen的Hammerstein模型的內(nèi)?？刂破鳎鐖D4所示。圖中，M(·)，Q(·)和F(·)分別為辨識(shí)模型、內(nèi)模控制器和濾波器，r為參考輸入信號(hào)，y為壓電陶瓷作動(dòng)器的輸出。

圖4 基于Hammerstein模型的內(nèi)?？刂破髟韴D

3.2 Hammerstein遲滯逆模型

基于廣義Bouc-Wen的Hammerstein模型由靜態(tài)遲滯部分N(·)和線性動(dòng)態(tài)部分G(z)串聯(lián)組成(見(jiàn)圖4中的M(·))，其逆模型也分別由N-1(·)和W(z)兩部分串聯(lián)組成。由3.1節(jié)辨識(shí)出靜態(tài)遲滯廣義Bouc-Wen模型后，不需要額外的計(jì)算便可得到其逆模型，這也是建立基于廣義Bouc-Wen的Hammerstein模型來(lái)描述壓電陶瓷作動(dòng)器率相關(guān)遲滯非線性的優(yōu)勢(shì)之一。下面分別來(lái)求取兩部分的逆模型。

圖5 遲滯補(bǔ)償原理

圖6 遲滯補(bǔ)償結(jié)構(gòu)

對(duì)于線性ARX模型部分G(z)的逆模型W(z)可直接獲得，即

(9)

W(z)比G-1(z)滯后1/z，但因?yàn)椴蓸宇l率為10 kHz，所以W(z)和G-1(z)非常接近。

3.3 濾波器設(shè)計(jì)

模型存在誤差時(shí)，有可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，為了使系統(tǒng)具有足夠的魯棒性，在反饋通道中加入濾波器F(·)，通過(guò)調(diào)整濾波器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)來(lái)穩(wěn)定系統(tǒng)，并有效地抑制輸出振蕩，獲得預(yù)期的動(dòng)態(tài)特性和魯棒性[16]。

實(shí)際控制中，濾波器的選擇為

(9)

式中αF(0 <αF< 1)和N分別為濾波器系數(shù)和階數(shù)。

4 實(shí)時(shí)跟蹤控制實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)構(gòu)建

壓電陶瓷作動(dòng)器的數(shù)據(jù)采集實(shí)驗(yàn)及跟蹤控制實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖7所示。實(shí)驗(yàn)采樣頻率為10 kHz。實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括：壓電陶瓷作動(dòng)器、功率放大器、電渦流傳感器(分辨率為8 mV/μm)、控制系統(tǒng)dSPACE DS1103。信號(hào)由Simulink仿真圖下載到dSPACE系統(tǒng)中，經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換后作用于功率放大器，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)壓電陶瓷作動(dòng)器，電渦流傳感器將采集到的作動(dòng)器輸出位移由A/D轉(zhuǎn)換后再反饋到dSPACE系統(tǒng)中。

圖7 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

4.2 跟蹤控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于第3節(jié)設(shè)計(jì)的內(nèi)?？刂破鳎x擇濾波器F(·)的N=1，在線整定得到αF=0.03。實(shí)時(shí)跟蹤幅值為20 μm，1～100 Hz內(nèi)的單頻率信號(hào)和復(fù)合頻率信號(hào)。圖8為不同單頻率及復(fù)合頻率(10/30/50/70/90 Hz和10/20/…/100 Hz)時(shí)的參考輸入和作動(dòng)器的實(shí)際輸出曲線。表2為參考輸入與作動(dòng)器實(shí)際輸出之間的RMSE和RE。

圖8 單一頻率及復(fù)合頻率跟蹤控制曲線

頻率/HzRMSE/μmRE100.682 00.027 8301.446 40.059 6601.985 00.080 9802.087 10.085 210/30/50/70/901.466 00.067 310/20/…/1001.035 40.049 7

由圖8及表2可知，在提出的內(nèi)模控制策略下，壓電陶瓷作動(dòng)器不僅可以很好地跟蹤1～100 Hz內(nèi)的單頻率信號(hào)，對(duì)復(fù)合頻率信號(hào)也能實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯特性，本文提出了基于廣義Bouc-Wen的Hammerstein模型，由廣義Bouc-Wen模型表示靜態(tài)遲滯部分，ARX模型表示線性動(dòng)態(tài)部分。對(duì)1～100 Hz內(nèi)的單一頻率信號(hào)及復(fù)合頻率信號(hào)均具有良好的泛化能力。在所建Hammerstein模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了內(nèi)?？刂撇呗浴２粌H設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，控制參數(shù)少，且跟蹤性能好，魯棒性強(qiáng)。對(duì)幅值為20 μm，1～100 Hz內(nèi)的單頻率信號(hào)和復(fù)合頻率信號(hào)，均能實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤控制效果，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

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