帶有卷積非線性項(xiàng)的Kirchhoff方程解的多重性

耿 茜，李宇華

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

本文主要考慮的是下列帶有卷積非線性項(xiàng)的Kirchhoff方程：

這里a，b＞0。N是給定歐氏空間RN的空間維數(shù)。對(duì)于任給的 x∈RN＼｛0｝，α∈（0，N），Riesz勢(shì)函數(shù)Iα∶RN＼｛0｝→R定義如下：

在 a＝1，b＝0，N＝3，α＝2，p＝2以及 f＝0的情形下，方程（1）轉(zhuǎn)化為下列著名的 Choquard-Pekar方程：

這類方程有著豐富的物理背景。例如，在文獻(xiàn)［1］中，Pekar用此方程的駐波解來描述量子力學(xué)中極化子的靜態(tài)現(xiàn)象。Choquard用它來模擬電子俘獲現(xiàn)象以及在經(jīng)典引力勢(shì)中耦合的 Schr?dinger方程。更多具體成果可以參考文獻(xiàn)［2-4］。近幾十年來，關(guān)于方程（2）解的存在性及其定量性質(zhì)有著豐富的研究成果。當(dāng)V＝1時(shí)，E.H.Lieb首次在文獻(xiàn)［5］中考慮了方程（2）正解的存在性以及唯一性。P-L.Lions在文獻(xiàn)［6-7］中得到了正規(guī)化解的存在性與多重性。當(dāng)V是正常數(shù)時(shí)，V.Moroz和J.Van Schaftingen在文獻(xiàn)［8-10］中建立了問題（2）基態(tài)解的存在性。然而，之前關(guān)于Kirchhoff方程非線性項(xiàng)的研究通常都是多項(xiàng)式的形式，針對(duì)帶有卷積非線性項(xiàng)的Kirchhoff問題的探索較少。由于 （∫RN｜▽u｜2）Δu的存在，方程（1）不再是逐點(diǎn)成立的等式，這無疑增加了問題的難度。本文的主要目的：首先，克服非局部項(xiàng)與卷積非線性項(xiàng)之間的相互干擾；其次，解決由于兩項(xiàng)非線性項(xiàng)次數(shù)的不同在利用Fountain定理時(shí)產(chǎn)生的困難；最后，探究方程（1）的解是否具有多重性。由于卷積非線性項(xiàng)與通常的多項(xiàng)式非線性項(xiàng)不同，本文在研究方法上有了一定的創(chuàng)新。

（f1）f∈C（RN×R，R）且對(duì)于任意的 u∈R，x∈RN，均存在常數(shù) C1＞0，q∈（2，2*）使得

（f2）當(dāng)｜u｜→0時(shí)，f（x，u）＝o（｜u｜）關(guān)于 x∈RN一致成立。

（f3）存在 θ＞4使得對(duì)任給的 x∈RN，u∈R＼｛0｝均有 0＜θF（x，u）≤uf（x，u）。

（f4）對(duì)于任意的 x∈RN，u∈R＼｛0｝滿足f（x，-u）＝-f（x，u）。

主要結(jié)果如下：

定理1 假設(shè)條件（f1）-（f4）成立，V∈C（RN，［0，＋∞）），如 果 p∈而 且（x）＞0，｜xl｜i→m∞V（x）＝＋∞。則方程（1）具有一個(gè)無界的高能量解序列。

1 預(yù)備工作

首先給出Hilbert空間：

由定理1中關(guān)于勢(shì)函數(shù)V的假設(shè)，文獻(xiàn)［11］證明了 E緊嵌入到 Lr（RN），r∈［2，6）。設(shè)｛en｝是特征問題-aΔu＋V（x）u＝λu的特征函數(shù)，那么 λ1＝‖u‖2＞0。容易證明對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征函數(shù)在L2（RN）中是正交的。又因?yàn)閷?duì)任何的 ei，ej，i≠j，都有（ei，ej）＝λi（ei，ej）2＝0。所以｛ei｝在 E中是正交的。不妨假設(shè)｜｜en｜｜＝1，n∈N。設(shè) u∈E，而且（en，u）＝0，n∈N，則從（en，u）＝λn（en，u）2推出（en，u）2＝0，n∈N，而且 u＝0，因此｛en｝是 E中的一組基。設(shè) En＝Ren，n∈N，則令

在E中定義方程（1）的能量泛函J∶E→R

本文不同行之間 C、C1、C2、C3、Cε定義可能為不相同的正常數(shù)。｜·｜p表示通常的 Lp（RN）中的范數(shù)，（·，·）2表示 L2（RN）中對(duì)應(yīng)的內(nèi)積。為了建立變分結(jié)構(gòu)，具體給出下列 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，而且根據(jù)Hardy-Littlewood-Sobolev不等式以及Nemystkii算子可知能量泛函J定義是合理的，一階連續(xù)可微的。

2 主要引理

引理 1［12］假設(shè) t，r＞1，f∈Lt（RN），h∈Lr（RN）滿足1／t＋1／r＋（N-α）／N＝2。則存在正常數(shù)C與f、h無關(guān)，使得

引理2 如果 p∈［2，2*），k→ ＋∞，則 βksupu∈Zk，‖u‖＝1｜u。

證明 因?yàn)?0＜βk＋1≤βk，所以 βk→β≥0。又對(duì)每一個(gè) k∈N，存在 uk∈Zk，｜｜uk｜｜＝1使得｜uk｜p＞βk／2。根據(jù) Zk的定義，在 E中 uk?0。于是，根據(jù) Sobolev嵌入定理，在 Lp（RN）中 uk→0。因此，β＝0。

引理3［13］設(shè) J∈C1（E，R）滿足 J（-u）＝J（u），并且對(duì)于任意的 k∈N，存在 ρk＞γk＞0使得：

（A1）ak（u）≤0；（A2）當(dāng) k→時(shí)，bk（u）→ ＋∞；（A3）對(duì)任意的c＞0，J均滿足（PS）c條件，則 J具有一列無界的臨界值。

引理4 假設(shè)定理1的條件成立，對(duì)任意的c＞0，J均滿足（PS）c條件。

證明 任給c＞0，假設(shè)｛un｝是能量泛函J的一個(gè)（PS）c序列，即當(dāng)n→∞時(shí)

則｛un｝在E上有界。事實(shí)上，由條件（f3）可知

因此得到｛un｝的子列仍記作｛un｝，在 E上滿足un?u。文獻(xiàn)［14］借助于Stein-Weiss不等式和半群等式得到 Riesz勢(shì)函數(shù) Iα＝Iα／2*Iα／2。則

通過文獻(xiàn)［15］Proposition 2.2可知 K′：E→E*是弱連續(xù)的。從而

而且根據(jù)條件（f1）、（f2）以及 H?lder不等式有

因此當(dāng)n→∞時(shí)，‖un-u‖→0。

3 定理1的證明

證明 當(dāng) u∈Yk，根據(jù)條件（f2）～（f4），任給x∈RN，u∈R，存在常數(shù) C2＞0，C3＞0，使得

根據(jù)式（5）可得

由于Yk是有限維空間，進(jìn)而Yk上的范數(shù)是等價(jià)的。因此，存在 ρk＞γk＞0。使得當(dāng)‖u‖ ＝ρk，ρk充分大時(shí)條件（A1）成立。

當(dāng) u∈Zk，根據(jù)條件（f1）、（f2）可知對(duì)于任意的 ε＞0，存在 Cε＞0，使得

再根據(jù)引理2可知當(dāng)k→＋∞時(shí)，βk→0。而且

同理由引理2可知，如果 p∈［2，2*），k→ ＋∞，則αk→0。且

于是條件（A2）成立，所以根據(jù)引理3可知結(jié)論成立。