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    一類受媒體影響的傳染病模型的動力學分析

    2019-02-22 07:46:24姜大要薛亞奎
    關鍵詞:染病平衡點分支

    姜大要,薛亞奎

    (中北大學理學院,太原 030051)

    現(xiàn)代社會中,快速發(fā)展的大眾媒體對人們的生活方式產(chǎn)生了越來越深刻的影響,并且成為人們獲取健康信息的重要渠道。在傳染病的傳播和控制過程中,媒體會報道疾病的傳播情況,并告訴人們采取相應的預防措施(如戴口罩、減少去公共場所的次數(shù)、經(jīng)常洗手等)來阻止和減少疾病的傳播和發(fā)生[1]。

    利用數(shù)學模型可以分析疾病的傳播和控制,以及預測一段時間內(nèi)疾病是如何傳播的[2-5]。在疾病的傳播和控制過程中,媒體報道的作用不可忽視。因此,近年來部分學者對此進行了相關的研究。Yorke等[6]通過建立一個性傳播的 SIS模型研究媒體報道對疾病傳播的控制。文獻[7]在信息傳播與染病者的死亡人數(shù)成正比的假設下,建立了一類帶時滯的傳染病模型。文獻[8]則引入一個常數(shù)來說明其他地域?qū)λ紤]地域的信息傳播的影響。Huo等[9]主要研究了帶有正面信息和負面信息影響的SEI模型。

    本文在經(jīng)典的SIS傳染病模型的基礎上,考慮媒體報道對該模型所產(chǎn)生的正面影響和負面影響,并分析了其前向和后向分支以及Hopf分支出現(xiàn)的條件。

    1 模型的建立

    假設在人口規(guī)模不變的情況下,將人口分為易感者、染病者 2類,分別用 S(t)、I(t)表示 t時刻的易感者、染病者的數(shù)量。M1(t)和 M2(t)分別表示t時刻關于傳染病的正面和負面信息的數(shù)量。模型的傳播過程如圖1所示。

    圖1 SIS模型的傳播動力圖

    由圖1可得如下系統(tǒng):

    則t時刻的人口總數(shù)可表示為:N(t)=S(t)+I(t),其中所有的參數(shù)均為正數(shù)。式(1)中:A表示人口的輸入率;d表示自然死亡率,本文假設所有個體的自然死亡率相等;γ表示因病死亡率;β表示個體從易感者變?yōu)槿静≌叩膫魅韭氏禂?shù);α表示正面信息對傳染病傳播的減少率;δ表示負面信息對傳染病傳播的增加率;ρ表示染病者的恢復率;p表示傳染病期間提供關于疾病正面信息的個體所占的比率;q表示傳染病期間提供關于疾病負面信息的個體所占的比率;τ表示信息的失效率;μ1和μ2分別表示傳染病期間易感者和染病者發(fā)布信息的發(fā)送率。

    顯然,系統(tǒng)(1)的可行域為 X={(S,I,M1,M2)∈}。則有下面的引理:

    引理1 系統(tǒng)(1)在 X中是正向不變和有界的。

    2 基本再生數(shù)的計算

    由系統(tǒng)(1)容易得到其無病平衡點為:

    用下一代生成矩陣[10]的方法可以求出基本再生數(shù):

    3 平衡點的存在性和穩(wěn)定性

    3.1 無病平衡點的存在性和穩(wěn)定性

    定理1 系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0,當R0<1時,E0是局部漸近穩(wěn)定的;當R0>1時,E0是不穩(wěn)定的。

    證明 系統(tǒng)(1)在無病平衡點處的特征方程為:

    方程(5)的2個特征根分別為:λ1=λ2=-τ,另外2個由以下方程確定:

    因此,由以上的計算和分析可以得到:

    當R0<1時,方程(6)有一對負實根,因此E0是局部漸近穩(wěn)定的;當R0>1時,方程(6)由2個符號相反的實根,此時E0是不穩(wěn)定的。

    3.2 地方病平衡點的存在性

    定理2 對于系統(tǒng)(1):

    1)當 R0>max{1,R01}時,它有唯一的正平衡點;

    2)當 Rc=R0<min{1,R01}且 R01>0時,它有唯一的正平衡點;

    3)當 Rc<R0<min{1,R01}且 R01>0時,它有2個不同的正平衡點和。

    證明 不妨假設(S,I,M1,M2)=(S*,I*,)滿足系統(tǒng)(1)的右邊均為0,計算可得

    1)當R0>1時,有φ(0)=R0-1>0,φ(∞)<0。若 Ψ≠0,φ″(I)=-Ψ2e-ΨI<0,有 φ′(I)<φ′(0),即 Ψe-ΨI<Ψ,則

    當 R0>R01時,φ(I)=0有唯一的正解。

    若 Ψ=0,由方程(7)可得

    當R0>1時I>0。因此,可以求出正平衡點。

    2)當R0<1時,可以得到 φ(0)=R0-1<0,φ(∞)<0。若 φ′(I)=0,則有在此情況下,為了確保I為正,必須滿足條件Ψ>0和R0<R01。更進一步,當且僅當R0=Rc時,仍可得I是一個正解。因此,可以求出正平衡點。

    3)在證明2)的基礎上,當 φ(0)>0時,R0>Rc成立。此時滿足。因此,可以求出正平衡點。證明完畢。

    3.3 地方病平衡點的穩(wěn)定性

    1)當 R0>max{1,R01},a1()a2()-)>0,a1()[a2()a3()-)]-())2>0,a4()>0時,地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的;

    2)當 Rc=R0<min{1,R01}且 R01>0時,地方病平衡點是一個鞍結(jié)點;

    3)當 Rc<R0<min{1,R01}且 R01>0時,地方病平衡點是一個鞍點;

    4)當 Rc<R0<min{1,R01}且 R01>0時,地方病平衡點是一個結(jié)點。

    令 λj()(j=1,2,3,4)是方程(17)的根。

    此時可知方程(17)有正特征根和負特征根。則系統(tǒng)(1)的地方病平衡點為鞍點。3)證明完畢。

    和 λ1()λ2()λ3()λ4()=a4()>0。易知 λj()<0(j=1,2,3,4)。不失一般性,不妨假設:

    4 分支分析

    4.1 前向分支和后向分支

    定理4 當R01<1且R0=1時,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)前向分支。當R01>1且 R0=1時,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)后向分支。

    證明 系統(tǒng)(1)在 E0處的 Jacobian矩陣J為:

    由文獻[12]中的定理4.1可得R0=1時的分支參數(shù) β。因此,當β=βm時,系統(tǒng)(1)在E0處的特征方程為

    顯然,0是一個特征根,對應于0的一個右特征向量為 η=(η1,η2,η3,η4)T,其中:

    對應于 0的一個左特征向量為 ξ=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4),且滿足 ξJ=0和 ξη=1,于是有

    顯然,M>0恒成立,當且僅當 R01>1時,N>0。即當R01<1且R0=1時,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)前向分支。當R01>1且R0=1時,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)后向分支。

    4.2 Hopf分支

    定理5 令R0>1,當β達到臨界值β=βc時,系統(tǒng)(1)在附近出現(xiàn)Hopf分支。

    證明 不妨假設χ(λ)有2個實根x、y和一對復根 a±bi,其中 x<0,y<0且 a,b∈R。則

    與式(11)進行比較,可得

    其中 ai>0(i=1,2,3,4)由式(12)~(15)給出。當χ(λ)=0有一對純虛根即a=0時,可得

    且 a3(a1a2-a3)-(a1)2a4=0,這說明此時 β=βc,即β=βc和一對純虛根的出現(xiàn)是一致的。把a+bi代入式(11),可得χ(a+bi)=0。則 Re(χ(a+bi))=0,其中Re表示復數(shù)的實部。計算可得

    由 a1、a2、a3和 a4的表達式可知,a1、a2、a3和 a4均含有β。故▽可以看作含有a和β的隱函數(shù)。則▽(a,β)=0定義了一個自變量為 β的函數(shù)a(β)。對▽關于β求導,得=0。故有。

    接下來,沿著曲線β=βm確定的符號。注意到a=0和a2=b2+xy在曲線 β=βm上,且a2、a3依賴于β,則可得

    即當β到達臨界值βc時,系統(tǒng)(1)在附近出現(xiàn)Hopf分支。證明完畢。

    5 參數(shù)敏感性分析

    通過分析可得

    圖2說明R0隨著γ的減小而增大,隨著β的增大而增大。圖2所取的參數(shù)為:A=0.8,β=0.8,ρ=0.2,d=0.6,γ=0.2,p=2/3,q=1/3,μ1=0.8,μ2=0.06,τ=0.6。圖3說明 α、δ和 R0之間的關系。根據(jù)

    可知,R0與α成反比關系,R0與δ成正比關系。即在傳染病傳播期間,適當減少負面信息的影響和傳播,或者增加正面信息的影響和傳播,對于減少傳染病的傳播都是有重要作用的。圖3所取的參數(shù)為:A=0.8,α=0.4,δ=0.2,ρ=0.2,d=0.6,p=2/3,q=1/3,μ1=0.8,μ2=0.06,τ=0.6。

    圖2 R0與γ、β的關系

    圖3 α、δ和R0之間的關系

    圖4 說明當R01(<1)減小時,前向分支會出現(xiàn),地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定,而無病平衡點不穩(wěn)定。對于給出的一組參數(shù)值,R0的值是確定的,當R0<1時,染病者的數(shù)量會減小到0;當R0>1時,染病者的數(shù)量會增加或減小到圖中表示地方病平衡點的曲線。圖5說明R01(>1)增大時,出現(xiàn)后向分支,無病平衡點和較大的地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定。從流行病學的意義講,后向分支的出現(xiàn)表明:僅僅使得基本再生數(shù)小于1是不足以消除某種疾病的。

    圖4 前向分支

    圖5 后向分支

    圖6 把系統(tǒng)(1)與沒有媒體影響的經(jīng)典SIS傳染病模型(α=0,δ=0)進行了比較,結(jié)果顯示,媒體報道會影響染病者的數(shù)量。圖7、8對參數(shù)進行了敏感性分析。從圖中可以看出:當α增加時,染病者的數(shù)量會減少;當δ增加時,染病者的數(shù)量會增加。由此可見,媒體報道對傳染病的傳播有一定程度的影響。

    圖6 系統(tǒng)(1)與沒有媒體影響的經(jīng)典SIS傳染病模型(α=0,δ=0)的比較

    圖7 α敏感性分析

    圖8 δ敏感性分析

    6 結(jié)束語

    本文建立并研究了一類受媒體影響的傳染病模型。分析了模型(1)的無病平衡點和地方病平衡點的存在性和穩(wěn)定性。結(jié)果顯示:媒體報道在降低傳染病的傳播速度方面能起到一定的作用。另外如果考慮到信息的滯后性,系統(tǒng)或許會產(chǎn)生更為復雜的動力學性質(zhì),這也是即將要開展的工作。

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