微積分的基本概念對生命的啟示

□焦 華

數(shù)學本質(zhì)上是一種解讀世界的哲學，既是一種世界觀，也是一種方法論[1]。從2,500多年前畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)”到現(xiàn)在大數(shù)據(jù)時代的“數(shù)化萬物”，證明了古老的數(shù)學思想、哲學思想依然在指引現(xiàn)代掌握計算機、通訊技術(shù)等高科技的人們[2]。微積分出現(xiàn)在330多年前，是近代數(shù)學最輝煌的成就，是人類思維最偉大的成果之一，是研究自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象強大的工具。正確地認識客觀世界和人類自身是現(xiàn)代人極其重要的素質(zhì)，恩格斯贊譽微積分是人類精神的最高勝利，因此作為人們文化熏陶的極好素材，微積分能夠培養(yǎng)人們正確的世界觀和科學的方法論[3]。在此僅探討冰山一角——微積分的基本概念對生命的啟示，期望能部分詮釋正確的“三觀”(世界觀、價值觀、人生觀)。

一、函數(shù)概念的啟示

常量與變量的定義：事物特定運動過程中始終保持不變的量稱為常量；會發(fā)生改變的量稱為變量。

函數(shù)的定義：設變量x的變化范圍為D，D是一個非空數(shù)集。變量y的變化依賴于變量x，即對于每個x∈D，y變量將按一定的法則總有確定數(shù)值與它對應，則稱變量y是變量x的函數(shù)。記作y=f(x),x∈D.其中x稱為自變量而y稱為因變量，D數(shù)集稱為此函數(shù)的定義域，f(D)={y|y=f(x),x∈D}稱為此函數(shù)的值域，因變量y與自變量x的依賴關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系[3]。從定義可看出，函數(shù)的定義域與對應法則是函數(shù)的兩個基本要素。

函數(shù)是微積分的主要研究對象，是現(xiàn)代數(shù)學的一個基本概念，同時也是深刻影響其他學科的一個重要概念……計算機高級語言中的函數(shù)就是程序代碼中的子程序，甚至C語言中的主程序都是函數(shù)(主函數(shù)main( ))，高級語言是否強大的一個重要指標就是看它是否擁有豐富的內(nèi)部函數(shù)。

啟示：函數(shù)是自然界的法則，是描述變量之間相互影響、相互依賴的一種數(shù)學模型。萬事萬物運動變化之間的聯(lián)系就是函數(shù)關(guān)系。陽光下人和影子的關(guān)系就是典型的函數(shù)關(guān)系，“形影不離”反應了這種依賴性。在此定義生命價值函數(shù)p=f(t);時間t是個自變量，定義域為區(qū)間[0,T]，T代表個體的壽命，個體的價值p隨時間t改變而改變。這里的價值是個人的成就、取得的社會地位、對社會的貢獻大小等等。每一個生命都是時間的函數(shù)，它的定義域范圍和值域范圍就是“生命的長度和寬度”，這里的寬度是指價值。法國文學家托馬斯·布朗有段富有哲理的名言：“你不能延伸生命的長度，但可以把握它的寬度；不能預知生命的外延，但可以豐富它的內(nèi)涵；不能把握生命的量，但可以提升它的質(zhì)?！?/p>

大學生職業(yè)生涯規(guī)劃的核心是怎樣設計未來的價值函數(shù)曲線圖。分段函數(shù)曲線應當更能較好地表達生命的軌跡，因為每個人都有學生時代、工作時期、退休生活等，應當用不同的函數(shù)曲線描述。

二、函數(shù)極限概念的啟示

上面函數(shù)極限的定義也稱為極限的ε-δ語言描述，是德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯對微積分的重大貢獻之一。在此之前函數(shù)極限定性描述是這樣的：自變量的變化趨勢決定了因變量的變化趨勢，當自變量x趨近于某一確定的值x0時，其函數(shù)值f(x)(因變量)趨近于某一確定的值A。要使f(x)與A足夠的近(要有多近有多近)，就必須保證x與x0足夠的近。ε-δ語言是定量的描述，是微積分歷史上重大的里程碑。極限的概念和方法是微積分的理論基礎和基本分析方法。

啟示：某19歲的應屆畢業(yè)生在當年的高考中脫穎而出，成了家喻戶曉的理科狀元，但以后就沉寂下來，不再有大的作為。其生命價值函數(shù)在t=19處的極限可表示為：

理論分析與實踐證明，巷道的開挖僅對巷道周邊一定的范圍有明顯影響，當模型邊界到巷道周邊的距離為巷道尺寸的3～5倍時［6］，由計算區(qū)域的大小而引起的計算誤差便可以控制在工程允許的范圍之內(nèi)。因此，根據(jù)葛泉礦11912工作面實際地質(zhì)情況，切眼模擬埋深190m，采用摩爾-庫倫模型，模擬范圍定為長×寬×高=60m×10m×27m。整個模型共生成42000個網(wǎng)格區(qū)域和47916個節(jié)點。模型頂部為自由邊界，上部巖層平均容重取2.4t/m3，荷載大小由上覆巖層的重量確定。左右邊界施加固定水平位移的約束，巷道底部施加固定垂直位移的約束。力學模型如圖1所示，物理力學參數(shù)見表1。

無窮小量是極限為0的變量或函數(shù)；無窮大量是極限為∞的變量或函數(shù)。在漫漫的歷史長河中，在廣闊無垠的天地間，個人就是一無窮小量，而世界是無窮大量?！啊蕖背錆M想象力，它是“詩與遠方”，是“古老的夜晚和遠方的音樂”。

三、函數(shù)連續(xù)與間斷概念的啟示

啟示：定義模樣函數(shù)m=f(t)；人的長相是連續(xù)變化的，可能21歲的模樣和3歲差別較大，但應當和19歲差別不大，這是因為模樣函數(shù)的連續(xù)性。但也有例外，比如某大學三年級的一個班開學了，教室第一排有一位美麗女生，長相酷似明星張馨予，但同學們都不認識她，心里充滿疑惑：這美女是本校其他專業(yè)轉(zhuǎn)過來的？或是其他大學的轉(zhuǎn)學生？……答案最后揭曉，原來是大家熟悉的本班女同學某某某，暑假期間到韓國做了整容手術(shù)……這位女同學的形象沒有“連續(xù)”變化，而是發(fā)生了“跳躍”。

在生命價值函數(shù)中，由于每個人的價值觀是有差異的，所以對“成功”的理解是不同的。但共通的是函數(shù)的連續(xù)點一定是相對平靜的生活，而跳躍點(間斷點)則是生命中的精彩或奇跡。“歲月靜好，現(xiàn)世安穩(wěn)”是美好的祝福，但“南瓜馬車”是很多女孩心中的夢想。

四、導數(shù)概念的啟示

啟示：模樣函數(shù)m=f(t)伴隨每個人的一生，兒童、少年、青年、中年、老年的系列相片記錄了各個階段的變化。舉例說明問題：“歲月催人老，人世存悲歡”，某大學同班同學畢業(yè)30年后又聚集在一起，于是有了甲、乙下面的對話：“你怎么頭發(fā)全白了？”“別說我，你看你牙齒都掉了幾顆?！薄澳憧碅君，讀書時也就90多斤，現(xiàn)在至少160斤?！薄斑€是B君行，除了稍胖些，和讀書時比，變化不大啊?！边@里自變量增量Δt=30年，模樣函數(shù)改變量Δm因人而異，甲、乙及A君與30年前相比變化很大，而B君的變化微乎其微。這里需要注意的是：四位同學對應于四個不同的模樣函數(shù)mi=fi(t),(i=1,2,3,4)，因為他們長相不同。應當說每個人有模樣變化最大的時間點和模樣變化最小的時間點，這兩個時間點就是模樣函數(shù)m=f(t)的導函數(shù)的最大值點和最小值點。“一夜白發(fā)”與“永葆青春”這兩個成語可用來形容變化的快速劇烈程度和變化的緩慢停滯程度。

再定義一個函數(shù)——影響力函數(shù)y=g(t)，一個人在不同時期的影響力是有區(qū)別的，和他的地位、成就有關(guān)。當他只是單位的普通職工時“人微言輕”，影響力小，后來通過長期努力成為單位最高領導時“一言九鼎”，影響力大。退休后影響力逐步減小。需注意的是：影響力y的最大值點不是y=g(t)導函數(shù)的最大值點，y=g(t)導函數(shù)的最大值點是他奮斗過程中升遷變化最快的時間點。

五、定積分概念的啟示

定積分的定義：設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在閉區(qū)間[a,b]中任意插入若干個分點。

a=x0

歸納一下：定積分是一個和式的極限，有四個步驟(分割、取值、作和、取極限)三個要點(分法任意、取法任意、小區(qū)間最大長度趨于0)。注意：λ→0將導致n→∞。

當函數(shù)y=f(x)連續(xù)且f(x)≥0時，定積分的幾何意義是由此函數(shù)曲線、直線x=a、直線x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

“生若夏花之燦爛，死若秋葉之靜美”，泰戈爾的詩優(yōu)美而深刻，這兩句詩含蓄表達了作者的人生觀和價值觀，夏花象征旺盛的生命，活著就要燦爛且奔放，要活得有價值、有意義；秋葉，凄美而感傷，惆悵而安靜，面對死亡——生命返歸自然，要靜穆、恬然地接受，無須轟轟烈烈，無須悲哀和畏懼，像秋葉般悄然離去……

六、結(jié)語

人類是自然界的產(chǎn)物，這決定了自然科學、社會科學及思維科學具備相通性，也決定了微積分基本概念對生命有啟示的邏輯存在。微積分的學習會潛移默化地影響人的世界觀，但微積分的抽象性、復雜性、嚴密性會讓部分大學生感到枯燥、畏難、厭倦，尤其對于基礎差的高職高專學生來說，微積分就象“天書”。因此從教育教學的角度上講，前面給出了一些較有趣的教學素材，能夠增強課堂的吸引力，促進理解并引發(fā)思考[6]。