一類具有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程的解①

孫園園, 周宗福

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程引起許多學(xué)者的研究興趣，其中帶有積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程出現(xiàn)很多研究工作。這些研究工作有些討論的是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性及唯一性，有些研究的是這類邊值問題的正解。文獻(xiàn)[5]討論了帶有積分邊值條件的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性：

其中a∈C[0,1],b∈C([0,1],(-,0)),f∈C((0,1)×(0,+),[0,+)),g,h∈L1[0,1]為非負(fù)的，奇異點(diǎn)在t=0,1,u=0處。受到以上文獻(xiàn)啟發(fā)，研究下面具有雙積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程

其中2<α為α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。分別用Banach壓縮映像原理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理給出邊值問題(1.1)解的存在唯一性及存在性。然后舉一個(gè)例子說明定理的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[7]函數(shù)f的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為(α>0)

n-1α

引理1.2 假設(shè)y∈L1[0,1],2<α3，則下面帶有雙積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程

(2)

的解可表示為

其中

證對(duì)于(2),有

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+c3tα-3-

(3)

由條件u(0)=0，得c3=0。

又有

由條件可知

得

從而

2 主要結(jié)果

(4)

易知，u(t)為方程(1.1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u(t)為T的不動(dòng)點(diǎn)。

定理2.1 假設(shè)f:[0,1]×R→R是連續(xù)函數(shù)且滿足

(H1)存在常數(shù)l≥0，使得對(duì)任意t∈[0,1],x,y∈R有|f(t,x)-f(t,y)|l|x-y|;

那么邊值問題(1)存在唯一解.

證令

Pb1={x∈E:‖x‖b1}。由(H2)，易見b1>0，Pb1為E上的非空有界閉集。算子T如(4)所定義，下證TPb1?Pb1。對(duì)任意u∈Pb1,t∈[0,1]有

于是可得‖Tu‖b1，從而TPb1?Pb1。下面任取x,y∈Pb1,t∈[0,1],有

|(Tx-Ty)(t)||H(t,s)|‖x-y‖ds+

故‖Tx-Ty‖由因此T為Pb1上的壓縮映射。由Banach壓縮映像原理，T在Pb1上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn), 即邊值問題(1.1)存在唯一解。

定理2.2 假設(shè)f:[0,1]×R→R連續(xù)，且滿足以下條件

(H3)存在非負(fù)函數(shù)w1(s),w2(s)∈C[0,1]，使得對(duì)任意(s,x)∈[0,1]×R，有

|f(s,x)|w1(s)|x|+w2(s)

那么邊值問題(1)至少存在一個(gè)解。

又令Pb2={x∈E:‖x‖b2}。在Pb2上定義算子T1,T2：

由(H3)，對(duì)任意x,y∈Pb2,t∈[0,1],有

|(T1x+T2y)(t)||H(t,s)|·|x(s)|ds+

w2(s))ds

rb2+M1b2+M2

對(duì)任意x,y∈Pb2,t∈[0,1],有

由(H4)知，r<1，故T1為壓縮映射。由f連續(xù)，則T2為連續(xù)算子。下證T2是全連續(xù)的。

|f(s,u(s))|w1(s)|u(s)|+w2(s)

w1(s)‖u‖+w2(s)w1(s)b2+w2(s)

對(duì)任意u∈Pb2,t1,t2∈[0,1],不妨令t2>t1，則

|(T2u)(t2)-(T2u)(t1)|M|G(t2,s)-

G(t1,s)|ds

由Arzela-Ascoli定理可知，T2Pb2為列緊的，從而T2在Pb2上是緊的。故T2在Pb2上全連續(xù)。

由Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理[8]可知，T=T1+T2在Pb2上至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因此， 邊值問題(1)至少存在一個(gè)解。證畢。

3 例 子

例3.1 考慮下面的分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題

(5)

|f(t,u)|w1(t)|u|+w2(t),t∈[0,1]

故由定理2.2知，邊值問題(5)至少存在一個(gè)解。

4 結(jié) 論

利用Banach壓縮映像原理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理分析和研究一類帶有雙積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程，實(shí)際上還可以利用類似方法得到正解的存在性。