基于UPM-LPM的增強指數(shù)投資策略

黃金波，吳莉莉，尤亦玲

(1.廣東財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.珠三角科技金融產(chǎn)業(yè)協(xié)同創(chuàng)新發(fā)展中心，廣東 廣州 510320)

1 引言

近年來，隨著我國股票市場做空機制的引入和金融衍生產(chǎn)品的相繼推出，量化交易已然成為當(dāng)前業(yè)界和學(xué)界討論的熱點。所謂量化交易是指以先進的數(shù)學(xué)模型替代人為的主觀判斷，利用計算機技術(shù)從龐大的歷史數(shù)據(jù)中海選能帶來超額收益的多種“大概率”事件以制定策略，極大地減少了投資者情緒波動的影響，避免在市場極度狂熱或悲觀的情況下做出非理性的投資決策。量化交易離不開產(chǎn)生量化投資策略的各類模型，市場上存在許多基于不同理念構(gòu)建的量化投資模型，其中，指數(shù)跟蹤模型在業(yè)界特別受歡迎。在國外，指數(shù)跟蹤模型很早就被養(yǎng)老基金、共同基金和對沖基金的管理人廣泛運用于資產(chǎn)配置和量化選股。指數(shù)跟蹤模型的投資理念是：市場組合的表現(xiàn)是最好的，投資者只需構(gòu)建跟蹤組合緊跟市場的走勢，就能獲得市場平均收益。指數(shù)跟蹤模型在業(yè)界受到普遍歡迎的理論依據(jù)是：長期來看，經(jīng)濟體總有持續(xù)增長的動力，反映實體經(jīng)濟的股票市場也應(yīng)有長期的上漲趨勢；與此同時，大量的實證研究發(fā)現(xiàn)，那些通過主動調(diào)整來企圖戰(zhàn)勝市場的投資策略，在短期內(nèi)也許能取得較好收益，但長期來看絕大部分主動投資策略的表現(xiàn)不如市場組合，而且由于頻繁的頭寸調(diào)整產(chǎn)生的交易成本會消耗大量的收益[1]。

指數(shù)跟蹤模型的核心是界定跟蹤誤差。Roll[2]開創(chuàng)性地將跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率之差的標準差定義為跟蹤誤差波動率(Tracking Error Volatility, TEV)，進而提出TEV最小化模型和均值-TEV模型，并指出均值-TEV有效的組合通常是均值-方差無效的。隨后，Kwiatkowski[3], Coleman等[4]及Alexander和Baptista[5]沿用了TEV的概念。但是Beasley等[1]認為TEV指標是不合理的，如果跟蹤組合收益率和指數(shù)收益率之差為常數(shù)，計算出的TEV是零，但是跟蹤誤差顯然不為零。所以，Beasley等[1]和Lobo等[6]使用跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率之差的均方差作為跟蹤誤差，而Clarke等[7]將跟蹤誤差定義為跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率之差的絕對值，Rudolf等[8]基于跟蹤組合收益率和指數(shù)收益率的絕對離差，給出四個不同的跟蹤誤差公式。目前，指數(shù)跟蹤模型的研究主要根據(jù)不同的理念來定義跟蹤誤差，并加入交易成本、權(quán)重約束、風(fēng)險約束等各類現(xiàn)實約束構(gòu)建指數(shù)跟蹤模型[9-11]，進一步尋找求解技術(shù)來對模型進行求解[1,12-15]。

雖然指數(shù)跟蹤投資策略的理念和模型已經(jīng)非常成熟，但是增強指數(shù)投資策略是近年才被提出的新的研究領(lǐng)域[16-17]。所謂增強指數(shù)是指在跟蹤指數(shù)趨勢的同時，獲取超過指數(shù)平均收益的超額收益[18-19]。增強指數(shù)模型源于但不同于指數(shù)跟蹤模型。二者的相同點是無論指數(shù)上升還是下降，二者要跟蹤指數(shù)的趨勢；不同點在于指數(shù)跟蹤模型盡可能完美復(fù)制指數(shù)，而增強指數(shù)模型希望產(chǎn)生一個偏離指數(shù)的絕對收益。Canakgoz和Beasley[20]首次明確區(qū)分了指數(shù)跟蹤模型和增強指數(shù)模型，并對這兩方面的文獻進行了較全面評述。Roman等[16]基于二階隨機占優(yōu)理論構(gòu)建增強指數(shù)模型并運用割平面法 (cutting plane approach)進行求解。Valle等[21]提出三階段方法 (three-stage solution approach)來選擇絕對收益組合，并且展示該方法可以拓展到增強指數(shù)模型。Guastaroba等[22]基于Omega ratio提出兩個新的增強指數(shù)模型，并且展示每個模型都可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，當(dāng)加入基數(shù)約束和頭寸約束后，該模型可轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。Filippi等[17]將增強指數(shù)模型的目標定義為最大化超額收益且最小化跟蹤誤差，并將其轉(zhuǎn)化為雙目標混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，進而運用雙目標啟發(fā)式算法來求解。與指數(shù)跟蹤模型類似，目前增強指數(shù)模型研究的差別主要在于構(gòu)建不同的目標函數(shù)和約束條件，并發(fā)展出不同的計算方法對模型進行求解[16,20]。

在本文，我們基于LPM與UPM構(gòu)建不同于已有研究的增強指數(shù)模型。LPM在文獻中已經(jīng)被廣泛用來構(gòu)建風(fēng)險對沖和投資組合選擇模型，如戴曉鳳和梁巨方[23]運用Copula函數(shù)描述資產(chǎn)之間相關(guān)性，用LPM度量風(fēng)險，尋找最優(yōu)套期保值比率。LPM是指投資收益低于目標收益部分(未達標部分)的期望值[24]，我們將UPM定義為投資收益超出目標收益部分的期望。如果取投資收益為跟蹤組合收益率，目標收益為指數(shù)收益率，則LPM度量跟蹤組合收益低于指數(shù)收益部分的平均損失，UPM度量跟蹤組合收益高于指數(shù)收益部分的超額收益。顯然，理想的投資策略是最小化LPM而最大化UPM。為了避免雙目標優(yōu)化問題帶來的復(fù)雜性，我們最大化UPM與LPM的比值，從而構(gòu)建基于UPM-LPM之比的增強指數(shù)模型。

由于LPM和UPM的定義中含了最大值函數(shù)和兩個待定參數(shù)，導(dǎo)致基于UPM-LPM之比的優(yōu)化問題較難處理。在一般情況下，基于UPM-LPM的優(yōu)化模型是一個復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，我們很難得到模型的解析解[24]，當(dāng)跟蹤組合的資產(chǎn)數(shù)量較大時，我們甚至很難得到模型的數(shù)值解。因此，為解決該模型的求解復(fù)雜性和高維投資組合選擇的“維數(shù)災(zāi)難”問題，本文運用非參數(shù)估計中的核估計方法直接得到跟蹤組合的密度函數(shù)，而無需考慮組合中各資產(chǎn)之間的聯(lián)合分布，大幅度降低了估計的維度，克服“維數(shù)災(zāi)難”問題。實際上，運用非參數(shù)估計方法對金融風(fēng)險度量進行估計是近年研究的熱門話題，王江濤和周勇[25]研究了高頻波動率非參數(shù)估計中的窗寬選擇問題，而黃金波等[26]給出了非參數(shù)框架下的均值-VaR投資組合問題。進一步，基于跟蹤組合的核密度函數(shù)得到跟蹤組合的LPM和UPM核估計量，理論上，LPM和UPM的核估計量是組合頭寸的光滑函數(shù)，具有任意階導(dǎo)數(shù)，便于優(yōu)化問題求解。最后，本文運用滬深股票市場上五個常用指數(shù)及其成份股數(shù)據(jù)，檢驗?zāi)Ｐ偷膶嵱眯浴?/p>

2 增強指數(shù)模型

與傳統(tǒng)的均值-風(fēng)險投資組合選擇模型一樣，增強指數(shù)模型也要同時權(quán)衡跟蹤組合的收益與風(fēng)險，與傳統(tǒng)的均值-風(fēng)險模型不同的是，增強指數(shù)模型要在權(quán)衡收益與風(fēng)險的同時兼顧跟蹤指數(shù)趨勢。因此，增強指數(shù)投資策略在建模過程中就需要將指數(shù)的表現(xiàn)作為參考點，來度量跟蹤組合的超額收益和損失，這一思想與LPM和UPM的定義非常契合，因此，本節(jié)構(gòu)建基于LPM和UPM的增強指數(shù)模型，并運用非參數(shù)核估計方法對其進行估計。

2.1 UPM/LPM的定義與估計

Markowitz[27]提出的方差指標開啟了風(fēng)險量化分析的研究。Roll[2]運用方差來度量指數(shù)跟蹤的誤差建立指數(shù)跟蹤模型，但經(jīng)典的方差指標是對稱風(fēng)險度量工具，既把偏離均值的下端損失看作風(fēng)險，也把偏離均值的上端收益看作風(fēng)險，顯然不符合人們僅把損失視為風(fēng)險的心理認知。鑒于方差指標的缺陷，Bawa[28-29]和Fishburn[30]提出下偏矩來度量風(fēng)險。設(shè)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的收益率是隨機變量X，α是預(yù)先確定的目標收益，通常根據(jù)投資者自身的風(fēng)險態(tài)度或者財富水平進行設(shè)定，常用的取值為0，無風(fēng)險利率或者期望收益，令Y=X-α，τ是固定的正整數(shù)，τ-階LPM可以定義為：

LPMτ,α(X)=E[max(α-X,0)]τ

=E[max(-Y,0)]τ

(1)

E[·]表示數(shù)學(xué)期望，f(y)為Y的密度函數(shù)。與方差相比，LPM僅把α以下的損失看作風(fēng)險，而并不把α以上的收益看作風(fēng)險，所以LPM是下端風(fēng)險測度；基于LPM的最優(yōu)組合不僅能有效控制投資組合的損失，而且具有不限制組合收益的特點[31]；通過設(shè)定參數(shù)α和τ，LPM指標可以退化為其它的下端風(fēng)險度量指標[32]。例如設(shè)定τ=0，則LPM表示損失概率，設(shè)定τ=1，則LPM表示期望損失，設(shè)定τ=2且α=E[X]時，則LPM表示下半方差。

Markowitz[27]提出用收益率的方差度量風(fēng)險的同時，也提出用收益率的均值來代表收益，在很長一段時間內(nèi)得到學(xué)者的廣泛認可，但在實踐運用中卻存在困難。研究表明，最優(yōu)組合頭寸對組合中各資產(chǎn)的平均收益率十分敏感，而實踐中平均收益率的估計通常要嚴重依賴于樣本區(qū)間的選取，不同樣本區(qū)間可能得出非常不同的估計值，從而導(dǎo)致得到的最優(yōu)組合頭寸大相徑庭。因此，部分學(xué)者認為超過收益率均值以上的部分都應(yīng)視為收益，這種界定與人們的實際投資感受更加接近。因此，Sortino等[33]提出用Higher Partial Moment來測算超額收益，本文將其定義為UPM。類似下偏矩的定義，τ-階上偏矩(UPM)可以定義為：

UPMτ,α(X)=E[max(X-α,0)]τ

(2)

同LPM一樣，通過設(shè)定參數(shù)α和τ，UPM可以退化為收益概率、期望收益和上半方差等。

在LPM和UPM的定義里，α是投資者預(yù)先設(shè)定的目標收益，通常是某個常數(shù)，低于該目標收益的部分被視為風(fēng)險，而高于該目標收益的部分應(yīng)視為收益。在本文，我們研究增強指數(shù)模型，投資者的目標收益應(yīng)該與指數(shù)收益掛鉤，作為對傳統(tǒng)LPM定義的拓展，我們考慮α取指數(shù)收益率的情況，此時α為隨機變量。因此，在以下的討論中，我們將默認α可以是隨機變量。

顯然，超過目標收益的部分是是投資者喜好的，而低于目標收益的部分是投資者厭惡的，所以，投資者的目標是最大化UPM的同時最小化LPM，由此我們就定義如下的優(yōu)化目標：

(3)

如果令τ=0，則上式就是上端收益發(fā)生的概率除以下端損失發(fā)生的概率，令τ=1，則上述指標就是Omega Ratio[22]，令τ=2且α=E[X]，上式就表示上半方差除以下半方差。

在現(xiàn)實生活中，我們需要估計出LPM和UPM，才能進一步估計出PM，根據(jù)公式(1)和公式(2)可知，如果要得到LPM和UPM的解析表達式，需要給出密度函數(shù)或分布函數(shù)，但是實際中我們事先并不知道資產(chǎn)收益率的密度函數(shù)或分布函數(shù)，只能根據(jù)資產(chǎn)收益率的歷史樣本來對其進行估計。一個可供選擇的樣本分布函數(shù)是經(jīng)驗分布函數(shù)，但是經(jīng)驗分布函數(shù)是分段函數(shù)，不具有通常意義上的光滑性，另一個更好的選擇是用核光滑方法得到分布函數(shù)或密度函數(shù)的核估計量，可以克服經(jīng)驗分布函數(shù)不光滑的缺陷。因此，我們用核估計方法。設(shè)yt,t=1,2,…,T為Y的樣本，則f(y)的核估計式為[34]：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

為進一步得到任意非負整數(shù)j下Gj(ξt)的一般表達式，我們給出如下迭代公式

命題1：對于任意的正整數(shù)j≥2，有迭代公式：

(9)

證明：根據(jù)Gj(ξt)的定義，用分部積分法，可得：

(10)

令y=ξt，即得證。

通過公式(8)和迭代公式(9)，可以得到任意正整數(shù)j下的Gj(ξt)表達式。根據(jù)標準正態(tài)分布的性質(zhì)，我們有：

(11)

因此，根據(jù)Gj(ξt)的表達式和公式(11)，可以得到Hj(ξt)的表達式。例如：

(12)

2.2 基于UPM-LPM的增強指數(shù)模型

(13)

(14)

根據(jù)公式(5)，可得窗寬h計算公式為：

(15)

將(13)式和(14)式代入(3)式中，可以得到PM的核估計式。假設(shè)投資者的初始財富標準化為1，為了防止風(fēng)險過于集中，投資者對資產(chǎn)i的持有頭寸不超過ui，而出于交易成本考慮，投資者對持有的資產(chǎn)i的頭寸不低于li。在此背景下，我們定義如下的增強指數(shù)模型：

由前面的定義，我們知道UPM度量跟蹤組合的超額收益，LPM度量跟蹤組合的預(yù)期損失。最小化LPM的含義是：當(dāng)跟蹤組合收益低于指數(shù)收益時，讓二者的差距越小越好，即讓跟蹤組合盡可能跟蹤指數(shù)趨勢；最大化UPM的含義是：當(dāng)跟蹤組合收益高于指數(shù)時，讓二者的差距越大越好，即讓跟蹤組合盡可能獲取高于指數(shù)平均收益的超額收益。這正是增強指數(shù)策略的投資理念：在跟蹤指數(shù)趨勢的同時獲取盡可能多的超額收益。因此，投資者基于我們模型設(shè)定的目標函數(shù)可以實現(xiàn)增強指數(shù)投資的理念，同時不同的τ值，可以反映出不同類型的投資者。因此，該模型可以廣泛地應(yīng)用到公募基金、私募基金以及養(yǎng)老基金的管理實踐。

3 實證分析

為考察模型在實際金融市場中的表現(xiàn)，本節(jié)選取我國滬深股票市場的歷史數(shù)據(jù)進行實證分析，我們主要檢驗如何運用成份股來跟蹤與之對應(yīng)的指數(shù)趨勢，同時獲取超出指數(shù)平均收益的超額收益。我們選取的指數(shù)按照成份股的數(shù)量從小到大依次是上證50，深證100，滬深300，深證成指和上證綜指。五個指數(shù)中，上證50和上證綜指代表上海證券交易市場的大盤行情，深證100和深證成指代表深圳證券交易市場的大盤行情，滬深300是綜合反映滬深市場整體走勢的跨市場指數(shù)。我們選取指數(shù)及其成份股的日收益率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)區(qū)間是2005年1月4日至2016年12月30日，樣本容量是2915，同時我們也基于指數(shù)的收盤價數(shù)據(jù)給出五個指數(shù)的時間趨勢(見圖1)。如圖所示，樣本區(qū)間內(nèi)五個指數(shù)走勢是一致的，都經(jīng)歷了兩次完整的大幅上升和下降周期。我們把2005年1月4日至2010年12月31日共計1457個收益率數(shù)據(jù)作為估計樣本，把2011年1月4日至2016年12月30日共計1458個收益率數(shù)據(jù)作為檢驗樣本，所有數(shù)據(jù)來自Wind經(jīng)濟金融數(shù)據(jù)庫。

圖1 指數(shù)收盤價的時間趨勢

由于部分成份股是新近加入指數(shù)編制，而部分成份股的上市時間較短，我們剔除了數(shù)據(jù)存在缺失的成份股，而最終保留數(shù)據(jù)完整的成份股來跟蹤指數(shù)。同時出于交易成本的考慮，購買指數(shù)中的所有成份股是不合算的，通常需要在進行優(yōu)化配置之前選擇部分成份股進入跟蹤組合。借鑒Ling等[36]的思想，我們基于指數(shù)和成份股的收益率數(shù)據(jù)，依次計算出所有成份股的Beta值。由于增強指數(shù)模型的首要任務(wù)是跟蹤指數(shù)的趨勢，所以選擇Beta值最接近1的成份股構(gòu)建跟蹤組合的股票池。此外，Ling等[36]的研究中，還考慮了隨機Beta和最大Beta標準選擇成份股，這兩個標準與跟蹤指數(shù)趨勢的內(nèi)涵相差較遠，不是本文考慮的內(nèi)容。根據(jù)五個指數(shù)所含成份股的數(shù)量，最終選取的進入跟蹤組合的成份股數(shù)量分別是10、25、30、50和100。表1給出了樣本數(shù)據(jù)說明和指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計。第2列給出各指數(shù)包含的成份股數(shù)量，第3列給出進入跟蹤組合的成份股數(shù)量，第4列是樣本量。第5-10列給出了各指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計，均值顯示五個將上述五個數(shù)據(jù)集的估計樣本代入模型EIM，并設(shè)定相應(yīng)的具體約束條件，求解模型可以得到最優(yōu)的投資策略。由于指數(shù)編制中成份股的份額不可能為負，所以我們在約束條件中設(shè)定li=0，ui=1，i=1,2,…,n。為了比較不同τ對投資策略表現(xiàn)的影響，我們?nèi)×鶄€不同參數(shù)值，即τ=0,1,2,3,4,5。為比較最優(yōu)投資策略在實際中的表現(xiàn)，我們引入三個常用的投資績效評價指標：夏普比率 (Sharpe Ratio, SR)、信息比率 (Information Ratio, IR)和歐米茄比率 (Omega Ratio, OR)。計算公式如下：

表1 數(shù)據(jù)說明與指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計

以上三個指標的計算公式中，rp=a′r為跟蹤組合的收益率，rf為無風(fēng)險收益率，設(shè)定rf=0不影響比較結(jié)論，σ(rp)為跟蹤組合收益率的標準差，rI為指數(shù)收益率。SR，IR和OR的值越大，跟蹤組合的表現(xiàn)越好。IR≥0表示跟蹤組合平均收益大于指數(shù)平均收益，OR≥1表示跟蹤組合收益率大于指數(shù)收益率部分的均值大于跟蹤組合收益率小于指數(shù)收益率部分的均值，即跟蹤組合收益率占優(yōu)指數(shù)收益率。作為比較基準，我們將三個指標中的rp替換為rI，可以得出指數(shù)的表現(xiàn)測度，很顯然，指數(shù)自身的IR=0，且不存在OR。另外，我們也報告了跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率的均值。實證結(jié)果見表2。

表2 增強指數(shù)模型的表現(xiàn)

注：Data1～ Data5依次表示上證50、深證100、滬深300、深證成指和上證綜指及其成份股的收益率數(shù)據(jù)集，0～5分別表示τ=0,1,2,3,4,5六個取值。

表2給出了最優(yōu)投資策略的樣本內(nèi)表現(xiàn)，靜態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)和動態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)。靜態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)，即我們將最優(yōu)投資策略直接運用到檢驗樣本，期間保持跟蹤組合頭寸不變，直至結(jié)束。動態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)，即我們每隔50天調(diào)整一次估計樣本，每次剔除最舊的50個樣本，加入最近50個交易日的樣本，以保證每次估計樣本容量不變，將更新后的估計樣本代入模型得到最優(yōu)跟蹤組合的頭寸，并將該組合頭寸應(yīng)用到接下來的50個樣本外數(shù)據(jù)，依次類推，直至結(jié)束。表2的第1列是投資表現(xiàn)指標，第2列給出本文使用的數(shù)據(jù)集，第3列為對應(yīng)指數(shù)的表現(xiàn)，第4-9列是模型的樣本內(nèi)表現(xiàn)，第10-15列是靜態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)，第16-21列是動態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)。

從樣本內(nèi)表現(xiàn)來看，在五個不同數(shù)據(jù)集且六個不同參數(shù)值τ=0,1,2,3,4,5下，基于模型的最優(yōu)投資策略在所有指標上的表現(xiàn)全面占優(yōu)指數(shù)。具體地，基于模型的最優(yōu)投資策略的均值和SR全部大于或等于相應(yīng)指數(shù)的均值和SR(部分等于是由于小數(shù)點四舍五入的結(jié)果)，基于模型的最優(yōu)投資策略的IR全都大于零，而且基于模型的最優(yōu)投資策略O(shè)R全都大于1。

樣本內(nèi)的優(yōu)良表現(xiàn)是模型優(yōu)化的自然結(jié)果，而樣本外的表現(xiàn)是我們關(guān)注的重點。從靜態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)來看，基于模型的投資策略僅在Data5τ=2時的表現(xiàn)不如指數(shù)，在其它29種情況下的表現(xiàn)都優(yōu)于指數(shù)。SR、IR和OR的結(jié)果也肯定了這個結(jié)論(見加黑數(shù)字)。因此，從樣本外的表現(xiàn)來看，基于模型的投資策略表現(xiàn)十分穩(wěn)健。從動態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)來看，基于模型的投資策略全面占優(yōu)指數(shù)，進一步說明，基于本文模型的投資策略非常穩(wěn)健。動態(tài)調(diào)整策略的優(yōu)勢在于使用最近的數(shù)據(jù)更新估計樣本，能夠適時根據(jù)變化的市場環(huán)境調(diào)整跟蹤策略，但是動態(tài)策略的劣勢在于，不斷地調(diào)整頭寸可能會帶來額外的交易成本。對比靜態(tài)策略和動態(tài)策略的實證結(jié)果，也可以看出，兩種策略的表現(xiàn)各有優(yōu)劣。

為了更加直觀地展示本文提出的模型表現(xiàn)，我們給出Data3(其它四個數(shù)據(jù)集下的圖形類似)下各種跟蹤投資策略的累積收益圖(初始投入資金為1元)。圖2展示了基于模型最優(yōu)投資策略的樣本內(nèi)累積收益，圖3-4分別展示了靜態(tài)和動態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)。我們在圖上同時展示了指數(shù)和六個不同參數(shù)取值τ=0,1,2,3,4,5時模型的表現(xiàn)。由圖可知，本文提出的模型在不同參數(shù)設(shè)定下都能夠很好地跟蹤指數(shù)的趨勢，同時獲取高于指數(shù)平均收益的超額收益，動態(tài)投資策略在樣本外能更好地跟蹤指數(shù)趨勢。

圖2 投資策略的樣本內(nèi)表現(xiàn)

圖3 靜態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)

圖4 動態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)

4 結(jié)語

量化投資策略的開發(fā)依賴于量化模型，而量化模型的構(gòu)建基于投資理念，本文將指數(shù)收益率作為跟蹤組合的目標收益，建立UPM-LPM之比最大化的優(yōu)化模型，旨在跟蹤指數(shù)趨勢的同時，獲取超過指數(shù)平均收益的超額收益，契合當(dāng)下業(yè)界熱衷的增強指數(shù)投資理念?；跍罟善笔袌鰯?shù)據(jù)的實證分析表明，我們的模型能夠很好實現(xiàn)增強指數(shù)投資理念，模型的樣本外表現(xiàn)達到預(yù)期目標。本文的研究成果在理論上可以豐富量化投資模型和資產(chǎn)配置理念，實踐上可以優(yōu)化業(yè)界量化投資策略和工具。當(dāng)然，本文仍遺留以下問題需要解決。首先，我們沒有證明模型中目標函數(shù)的凸性。目前LPM本身的凸性證明仍然是一個較難的公開話題，雖然有些文獻在特定分布(例如正態(tài)分布或t分布)下證明了LPM的凸性，但在一般分布下是否仍然具有凸性目前還沒有被證明。雖然如此，本文建立的模型仍然能夠得到精確度很高的數(shù)值解，因為本文模型的目標函數(shù)具有很好的光滑性，特別是目標函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，可以運用全局最優(yōu)化技術(shù)進行求解。其次，我們的模型沒有考慮交易成本、風(fēng)險配置等現(xiàn)實約束，然而，考慮這些約束并不會使得模型的求解更加困難，因為我們只需要數(shù)值解，而不考慮解析解。此外，我們也正在考慮將LASSO等變量選擇方法引入模型，實現(xiàn)在模型優(yōu)化過程中選股。