巧用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

連錦釗　莊河

摘 要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，它是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必備的素養(yǎng)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、思想、方法等表達(dá)所要研究的生活中實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，也就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)教育發(fā)展的靈魂所在。在信息技術(shù)高速發(fā)展、計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并借助現(xiàn)代化信息手段解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題已成為推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)廣泛應(yīng)用的重要途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);模型;實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

因?yàn)楫?dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的理論研究與日常生活的實(shí)際應(yīng)用之間還存在著較大的距離，即存在著來(lái)自多方面的因素，因此研究數(shù)學(xué)建模是很有必要。以下是個(gè)人結(jié)合日常建模中的教與學(xué)存在的問(wèn)題做一些歸納：

1. 從教師方面看，中學(xué)數(shù)學(xué)教師覺(jué)得數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)信息量大而且新穎，甚至有些一線教師感到要靈活自如地應(yīng)對(duì)生產(chǎn)生活等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題有一定難度;

2. 從學(xué)習(xí)者方面看，大多數(shù)學(xué)生對(duì)普通的數(shù)學(xué)應(yīng)試比較適應(yīng)，而不習(xí)慣數(shù)學(xué)建模題型，由于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)測(cè)試很容易讓學(xué)生抓住某答題訣竅技巧并且在類(lèi)似的測(cè)試中比較容易獲得成績(jī)，而數(shù)學(xué)建模題型具有一定的生活實(shí)際等特征，因此難度增大;

3. 從認(rèn)識(shí)方面看，因?yàn)閷W(xué)生要面臨著來(lái)自各種各樣的考試，因此學(xué)習(xí)壓力普遍較大。中學(xué)數(shù)學(xué)老師覺(jué)得數(shù)學(xué)建模課程備課量較大，并且要花費(fèi)大量的時(shí)間與精力，擔(dān)心沒(méi)有足夠課時(shí)去處理數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，同時(shí)生活實(shí)際應(yīng)用資料太多而且新穎，甚至有的老師還在想數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用是否應(yīng)該屬于數(shù)學(xué)的教學(xué)范圍。

一、 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般過(guò)程

（一） 分析理解題目

分析問(wèn)題的實(shí)際意義并且用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)變量來(lái)解析問(wèn)題中的信息，把實(shí)際應(yīng)用信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言;

（二） 假設(shè)適當(dāng)變量

弄清所給題目信息，假設(shè)問(wèn)題中的變量，并注明實(shí)際意義的范圍;

（三） 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

依題意得出變量、參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系;

（四） 求解數(shù)學(xué)模型

利用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法技巧等求解所得的數(shù)學(xué)模型;

（五） 檢驗(yàn)所求模型

檢驗(yàn)所求的解是否滿足生活實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;

（六） 評(píng)價(jià)與作答

若檢驗(yàn)所求的數(shù)學(xué)模型與生活實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相符，則對(duì)計(jì)算所得的結(jié)論做出恰當(dāng)?shù)慕忉尣⒆⒁饨o出問(wèn)題的實(shí)際意義，然后標(biāo)明所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型中變量的實(shí)際運(yùn)用范圍。相反，若所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際生活問(wèn)題出入較大，則應(yīng)對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行必要的改進(jìn)，并重復(fù)上述過(guò)程直至所得數(shù)學(xué)模型完全符合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為止。

二、 下面列舉幾個(gè)常見(jiàn)的構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題案例

（一） 函數(shù)模型

通過(guò)觀察圖象（或散點(diǎn)圖等）收集分析變量變量間的關(guān)系，并且構(gòu)建符合實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)函數(shù)模型。利用計(jì)算工具處理數(shù)據(jù)，常用定義法、待定系數(shù)法等列出符合題意的數(shù)學(xué)函數(shù)模型。

例1 某商店出售商品進(jìn)價(jià)為每件80元，若銷(xiāo)售價(jià)為每件100元，則每天可以出售100件該商品。若售價(jià)調(diào)低10x%，則售出的商品數(shù)量就會(huì)增加85x成（售價(jià)≥成本價(jià)）。

（Ⅰ）如果商店一天的銷(xiāo)售額為y元，求y關(guān)于x的表達(dá)式并寫(xiě)出x取值范圍;

（Ⅱ）如果這種商品一天的營(yíng)業(yè)額不少于10260元，求x的取值集合。

（二） 規(guī)劃模型

現(xiàn)實(shí)生活中存在著各種各樣的“優(yōu)選”“控制”等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，通常構(gòu)建數(shù)學(xué)中的不等式模型、線性規(guī)劃模型等來(lái)求解。

例2 某運(yùn)載企業(yè)現(xiàn)有駕駛員12人和工人19人，該企業(yè)7輛載重量為6噸的Q型卡車(chē)和有8輛可載重量為10噸的P型卡車(chē)?，F(xiàn)由至少72噸貨物需送達(dá)A地，要求派用的車(chē)輛需載滿且一次運(yùn)完，P型卡車(chē)需配工人2名，一次運(yùn)送可獲利450元;Q型卡車(chē)需配工人1名，一次運(yùn)送可獲利350元。該企業(yè)如何恰當(dāng)安排一天派用的兩類(lèi)卡車(chē)數(shù)輛可得最大利潤(rùn)。

（四） 導(dǎo)數(shù)模型

隨著微積分的廣泛應(yīng)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的最值問(wèn)題比比皆是。在充分理解實(shí)際問(wèn)題中各種變量間關(guān)系的同時(shí)，構(gòu)造出符合實(shí)際問(wèn)題需要的數(shù)學(xué)函數(shù)模型f（x），并根據(jù)實(shí)際意義確定定義域;求解方程f′（x）=0得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn);獲得所求的最大（小）值;還原實(shí)際問(wèn)題并作答。

例4 某商家從銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)顯示：該商品的日銷(xiāo)售量

y（千克）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/千克）之間滿足函數(shù)式y(tǒng)=ax-3+10（x-6）2（其中：3

（Ⅰ）求a;

（Ⅱ）當(dāng)該商品成本為3元/千克時(shí)，求商場(chǎng)每天的最大利潤(rùn)，此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)x為多少？

分析：（Ⅰ）由題意得x=5時(shí)，y=11，故a2+10=11。即a=2。

解（Ⅱ）：由（Ⅰ）可知，該商品的日銷(xiāo)售量y=2x-3+10×（x-6）2，

所以所獲得的利潤(rùn)

f（x）=（x-3）2x-3+10（x-6）2

=2+10（x-3）（x-6）2得：

f′（x）=10[（x-6）2+2（x-3）（x-6）]

=30（x-4）·（x-6），（3

令f′（x）=0得x=4

所以f（x）在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（4，6）上單調(diào)遞減。

由此可得，x=4是函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。

所以，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值f（4）=42。

答：商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的最大利潤(rùn)是42元，此時(shí)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克。

（五） 不等式模型

在應(yīng)用不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意四點(diǎn)：

（1）設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為函數(shù);

（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域;

（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值;

（4）回到實(shí)際問(wèn)題中去，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題的答案。

例5 某單位計(jì)劃投入3200元建造一長(zhǎng)方體倉(cāng)庫(kù)，高度一定，它的后墻可利用現(xiàn)成的舊墻（不花錢(qián)），正面為鐵柵，每米造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元。請(qǐng)問(wèn)倉(cāng)庫(kù)底面積S的最大值為多少？當(dāng)實(shí)際投資不超過(guò)預(yù)算時(shí)，如果S達(dá)到最大時(shí)，那么正面的鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？

解：設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x米，一堵磚墻長(zhǎng)為y米，則有S=xy。

由題意得40x+2×45y+20xy=3200。

由均值不等式得

3200≥240x·90y+20xy=120xy+20xy

=120S+20S。

∴S+6S≤160。即（S+16）（S-10）≤0。

∵S+16>0，∴S-10≤0，即S≤100。

所以，S最大值為100，

此時(shí)40x=90y，且xy=100，

可得x=15，故鐵柵的長(zhǎng)應(yīng)為15米。

（六） 概率模型

當(dāng)前正處于大數(shù)據(jù)時(shí)代，為了得到有用的結(jié)論經(jīng)常通過(guò)收集數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，然后應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率等的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想或方法等構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來(lái)求解有關(guān)統(tǒng)計(jì)概率的實(shí)際生產(chǎn)生活問(wèn)題。

三、 小結(jié)

培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以及運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，既是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的手段。在教學(xué)中，要使學(xué)生了解生活，體會(huì)現(xiàn)實(shí)中充滿著數(shù)學(xué)。讓學(xué)生從數(shù)學(xué)研究的角度出發(fā)，舍去無(wú)關(guān)因素和次要因素，保留其重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，形成數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問(wèn)題。所以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法、一種技術(shù)、一種意識(shí)。

作者詳細(xì)通訊地址：福建省泉州第十六中學(xué)

作者簡(jiǎn)介：連錦釗，莊河，福建省泉州市，福省泉州第十六中學(xué)。