奇妙的圓形空腔內(nèi)的勻強(qiáng)場(chǎng)

嚴(yán)燦云

(江蘇省通州高級(jí)中學(xué)，江蘇 通州 226300)

在高中物理競(jìng)賽的學(xué)習(xí)中,研究了一類重要的問題,就是“場(chǎng)”,其中包括引力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng).這些場(chǎng)的空間分布與場(chǎng)源有著很重要的關(guān)系.本文中筆者跟大家分享一類特殊的場(chǎng):圓形空腔中的勻強(qiáng)場(chǎng).

1 圓形空腔中的勻強(qiáng)引力場(chǎng)

如圖1,行星上有一個(gè)以表面A點(diǎn)到球心O作為直徑的球形空腔,設(shè)行星密度為ρ,半徑為R.現(xiàn)從A點(diǎn)處無初速的掉入一物體,試求物體從A點(diǎn)掉到O點(diǎn)所用的時(shí)間.

解析:要解答這個(gè)問題,需要知道球形空腔內(nèi)的引力場(chǎng)的重力加速度.如圖2,設(shè)空腔球心為O′,在空腔內(nèi)任取一點(diǎn)P,P點(diǎn)的重力加速度可以理解為密度為ρ的實(shí)心大球和密度為-ρ的實(shí)心小球在P點(diǎn)的重力加速度的合成.

圖1

圖2

實(shí)心大球在P點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度

實(shí)心小球在P點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度

故

圖3

2 圓形空腔中的勻強(qiáng)電場(chǎng)

圖4

如圖4所示,在半徑為R,電荷體密度為ρ的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑r的一個(gè)小球,小球球心O′與大球球心O相距為a,試求O′點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度,并證明空腔內(nèi)電場(chǎng)均勻.

圖5

解析:圓形空腔中的電場(chǎng),亦可以看成是電荷體密度為ρ的大球和電荷體密度為-ρ的小球共同產(chǎn)生的電場(chǎng)的合成.如圖5所示,在空腔內(nèi)任取一點(diǎn)P,大球在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

同理,小球在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

故

3 圓柱形空腔中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)

圖6

一半徑為R1的無限長(zhǎng)金屬圓柱體內(nèi)挖去一半徑為R2的小圓柱體,兩柱體的軸線平行,俯視圖如圖6,圓心分別O1和O2,rO1O2=a.金屬圓柱內(nèi)有沿軸向流出紙面外的電流,電流密度均勻且為j.求小圓柱面內(nèi)(空腔內(nèi))磁感應(yīng)強(qiáng)度.

圖7

解析:空腔內(nèi)的磁場(chǎng)可以看成是大圓柱內(nèi)流出的電流和小圓柱內(nèi)流入的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的合成.無限長(zhǎng)通電直導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng)的求解可以用環(huán)路定理求解,空腔內(nèi)任取一點(diǎn)P,如圖7,大圓柱內(nèi)的電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)可由環(huán)路定理求解,B1·2πrO1P=μ0j·πrO1P2,可得

同理,小圓柱在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

P點(diǎn)的合磁場(chǎng)為

4 圓柱形空腔中的勻強(qiáng)感生電場(chǎng)

一無限長(zhǎng)圓柱,偏軸平行的挖出一個(gè)圓柱空間,兩圓柱軸間距OO′=d,圖8所示為垂直于軸的截面.設(shè)兩圓柱間存在均勻磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t線性增長(zhǎng),即B=B0+kt.現(xiàn)在空腔中放一與OO′成60°角、長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬桿AO′B,求桿中的感生電動(dòng)勢(shì).

圖8

解析:先求解空腔內(nèi)的感生電場(chǎng).圓柱內(nèi)的感生電場(chǎng)可以看成是大圓柱內(nèi)的垂直于紙面向里增加的磁場(chǎng)和小圓柱內(nèi)垂直于紙面向外增加的磁場(chǎng)共同產(chǎn)生的.在空腔內(nèi)任取一點(diǎn)P,P點(diǎn)感生電場(chǎng)的矢量圖如圖9,由法拉第電磁感應(yīng)定律可求得大圓柱內(nèi)變化的磁場(chǎng)在P處產(chǎn)生的感生電場(chǎng),得

同理,小圓柱內(nèi)變化的磁場(chǎng)在P處產(chǎn)生的感生電場(chǎng),

P處的合電場(chǎng)為

圖9

圖10

結(jié)語:上面討論的4種情形,其實(shí)對(duì)應(yīng)了中學(xué)階段學(xué)習(xí)的4種場(chǎng),對(duì)應(yīng)這4種不同的場(chǎng)居然都有圓(柱)形空腔內(nèi)的勻強(qiáng)場(chǎng)存在,不得不說是件很奇妙的事情,但是,回頭看看之所以會(huì)有這樣的結(jié)論,其本質(zhì)是因?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)和位置矢量之間是一次函數(shù)關(guān)系;另外,他們的處理方法相似,都是采用 “正負(fù)抵消”法來處理空腔內(nèi)的問題的．