回望高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷應(yīng)用試題

季益霞

摘 要：我們不僅滿足于“讓學(xué)生感到驚奇”，更要讓學(xué)生歸納總結(jié)，“知其所以然”。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)的探究態(tài)度，善于發(fā)現(xiàn)，敢于質(zhì)疑的數(shù)學(xué)精神，鞏固生活中的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

關(guān)鍵詞：試題 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模

啟發(fā)學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的前提條件是審清題意，并且認(rèn)識(shí)到提取題目中的數(shù)量關(guān)系，也就是做好文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換工作。在提取數(shù)量關(guān)系時(shí)，應(yīng)排除專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)等非數(shù)學(xué)因素的干擾，在分析、解決轉(zhuǎn)化以后的純數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生較為熟悉地掌握數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)與基本方法，最后，在純數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之后，應(yīng)注意把數(shù)學(xué)問(wèn)題的解向?qū)嶋H問(wèn)題還原。

學(xué)生遇到數(shù)學(xué)應(yīng)用題就害怕，原因有兩點(diǎn)：第一是閱讀量非常大，題目意思難讀懂;第二是應(yīng)用題背景不熟悉。應(yīng)用題在高考中無(wú)疑是一道門(mén)檻，將一部分學(xué)生擋在了門(mén)外。

一、試題回望

例1：古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（≈0.618，稱(chēng)為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是。若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是___。

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

學(xué)生看到這一題嚇得要死，一些美術(shù)生反倒做出來(lái)啦，另外一部分學(xué)生利用排除法做出來(lái)啦。答案選B。

例2：古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦。在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是___。

A.B.C.D.

考查學(xué)生對(duì)以古代典籍為背景的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的判斷。題目使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用模型價(jià)值，會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，又考查學(xué)生的理解能力、數(shù)據(jù)處理能力。符號(hào)與圖形的結(jié)合，體現(xiàn)此題的函數(shù)應(yīng)用性。答案選A。

例3：為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。

1.求的分布列;

2.若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，

（i）證明：為等比數(shù)列;

（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問(wèn)題。本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)求解、概率求解的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力要求較高。

解：（1）X的所有可能取值為。

表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理。

高考中，筆者帶的班中這一題得分率低得很，許多學(xué)生沒(méi)有得分，根本沒(méi)有看直接選擇放棄。主要是對(duì)應(yīng)用題的恐懼而選擇逃避;有的根本不看也看不懂，不理解，導(dǎo)致丟分。

二、數(shù)學(xué)模型的培養(yǎng)

1.基于教材，培養(yǎng)學(xué)生建模

高中利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的實(shí)際問(wèn)題也越來(lái)越多。以教材為主要載體，讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的一個(gè)很好的切入點(diǎn)[1];讓學(xué)生能夠主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)角度看問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的方案。能使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)概念及其性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)概念及其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)生活實(shí)際各個(gè)方面的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。為了使學(xué)生更好地建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)具體到一般，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律是建立數(shù)學(xué)模型的一種有效方法。必要情況下，對(duì)學(xué)生生疏的背景，如物理方面的知識(shí)，應(yīng)適當(dāng)予以復(fù)習(xí)或補(bǔ)充，數(shù)學(xué)模型方法，是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法。教師在教學(xué)中要善于充實(shí)教材、處理教材，調(diào)整教材，利用教材培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

2.貼近生活，提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題

由于數(shù)學(xué)模型具有很強(qiáng)的操作性和較準(zhǔn)確的預(yù)見(jiàn)性，所以在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，存貯運(yùn)輸模型，讓農(nóng)產(chǎn)品花最少的費(fèi)用和時(shí)間上市，實(shí)現(xiàn)農(nóng)民與消費(fèi)者“雙贏”;溫度控制模型，讓鋼鐵的強(qiáng)度和韌性達(dá)到最優(yōu)化;樹(shù)木最佳砍伐時(shí)機(jī)模型，讓我們獲利最優(yōu)的情況下又能確保森林資源的再循環(huán);電力工人檢測(cè)電線，找故障，汽車(chē)的行駛規(guī)律，馬爾薩斯的人口增長(zhǎng)模型等。生活實(shí)踐中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題是一個(gè)很好的教學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題;讓學(xué)生體會(huì)建立函數(shù)模型的目的是解決實(shí)際問(wèn)題，并感受數(shù)學(xué)應(yīng)用就是從實(shí)際中來(lái)，到實(shí)際中去。

3.綜合知識(shí)，進(jìn)行跨學(xué)科交流

數(shù)學(xué)建模的基本思想，有關(guān)物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型使學(xué)生適應(yīng)各學(xué)科的橫向聯(lián)系，能夠建立一些物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，能夠?qū)⑸a(chǎn)實(shí)際、物理研究中的某些問(wèn)題用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決。了解函數(shù)思想在解決物理問(wèn)題時(shí)所發(fā)揮的作用，同時(shí)對(duì)高考中具有導(dǎo)向意義的題目有所認(rèn)識(shí)，了解高考命題趨勢(shì)的發(fā)展，要求學(xué)習(xí)通過(guò)審題，自己抽象出其中的數(shù)量關(guān)系。在通過(guò)老師的幫助加以確認(rèn)之后，再著手進(jìn)行純數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，將各個(gè)學(xué)科的知識(shí)滲透到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與教學(xué)中，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，有助于培養(yǎng)高中生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力[2]。

例如，在高考中具有導(dǎo)向意義的知識(shí)，以物理知識(shí)和簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，并以物理學(xué)科中的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題為背景，要求學(xué)生讀懂題目，抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言。利用函數(shù)的思想、方法去解決問(wèn)題，解題關(guān)鍵是將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，這是函數(shù)思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。生活中不缺乏數(shù)學(xué)，缺乏的是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛。讓學(xué)生大大增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，在生活中也時(shí)時(shí)留意數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1]李秉德，李定仁.教學(xué)論[M].北京：人民教育出版社，1991.

[2]羅小偉.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].南寧：廣西民族出版社，2000.