波利亞數(shù)學(xué)解題思想在有余數(shù)除法中的應(yīng)用

萬敏

摘 要 本文主要探究用波利亞數(shù)學(xué)解題的基本思想來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)解題法的探究過程，期待能優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法，為數(shù)學(xué)課堂提供理論和實(shí)踐參考，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成有邏輯性，層次性，嚴(yán)密性的數(shù)學(xué)解題思想。本文以《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”題目為例，探究以學(xué)生為主體，應(yīng)用波利亞數(shù)學(xué)解題的基本思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題理論和實(shí)踐的微課堂。

關(guān)鍵詞 波利亞數(shù)學(xué)解題思想 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)解題 微課

中圖分類號：O13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.12.013

The Application of Polya's Idea of Mathematical Problem Solving

in Division with Remainder

WAN Min

（College of Mathematics and Statistics in Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004）

Abstract This paper mainly explores the basic idea of using polya mathematical problem solving to guide the primary school mathematical problem solving method exploration process， looking forward to optimize the primary school mathematical problem solving method， to provide theoretical and practical reference for the mathematics classroom， to cultivate students to develop logical， hierarchical， strict mathematical problem solving thought. In this paper， the topic of "the unknown number of things" in "Sunzi suanjing" is taken as an example to explore the micro-class in which students are the main body and the basic thought of solving mathematical problems is applied to guide the theory and practice of solving mathematical problems.

Keywords Polya mathematics problem solving thought; mathematics core accomplishment; mathematics problem solving; micro-class

教會學(xué)生如何思考是開設(shè)數(shù)學(xué)課程的主要目的。教會學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中的思考訓(xùn)練可以鍛煉學(xué)生的獨(dú)立思考能力、判斷能力、獨(dú)創(chuàng)性和想像力。George Polya認(rèn)為“教會思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該傳授知識，而且也應(yīng)當(dāng)去發(fā)展學(xué)生運(yùn)用能力，在技能、技巧、思考方式和思維習(xí)慣。[1]所以本文以波利亞數(shù)學(xué)解題的基本思想為指導(dǎo)?；诓ɡ麃啍?shù)學(xué)解題的基本思想，根據(jù)波利亞怎樣解題表，實(shí)現(xiàn)弄清問題，擬定計劃，實(shí)現(xiàn)計劃，回顧檢驗(yàn)的四部曲解題過程。用理論來優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法，提供理論和實(shí)踐參考，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成有邏輯性，層次性，嚴(yán)密性的數(shù)學(xué)解題思想。案例選自南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”題目，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性，并體會到中國數(shù)學(xué)的博大精深。在例題講解中，立志于滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將數(shù)形結(jié)合思想，類比思想穿插其中，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的靈活性，為以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)插值法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，建立堅實(shí)的基礎(chǔ)。

1 波利亞數(shù)學(xué)教育思想簡述

波利亞數(shù)學(xué)教育的根本目的是發(fā)展學(xué)生的解決問題的能力，教會學(xué)生思考。其兩大原理是理解數(shù)學(xué)和理解教學(xué)法。三條原則分別是：（1）主動學(xué)習(xí)，學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它。（2） 有最佳動機(jī)，重視引入問題，盡量詼諧有趣，在做題前讓學(xué)生猜該題的結(jié)果，激發(fā)興趣，培養(yǎng)探索習(xí)慣。（3）講解過程中循序漸進(jìn)，人類知識以直觀開始，由直觀進(jìn)至概念，形成結(jié)構(gòu)。 基于三條原則，優(yōu)化學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生經(jīng)歷探索，闡明，吸收，三大學(xué)習(xí)過程。[2]

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)簡述

教育部在《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》提出，創(chuàng)建“核心素養(yǎng)體系”，聚焦本學(xué)科的本位核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，學(xué)科育人價值。其中邏輯推理，本案例主要圍繞直觀想象和邏輯推理。

2.1 直觀想象

本文案例用畫圓來分析包含問題，輔助學(xué)生理解題意，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想。案例中滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力。直觀想象，借助幾何直觀，空聞想象判斷事物的形態(tài)與變化。[3]

2.2 邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素辨。一個是從特殊到一般的推理，歸納、類比，二是一般到特殊的推理，演繹。邏輯推理是得到結(jié)論、數(shù)學(xué)體系。[3]在本位的案例的拓展題目中，應(yīng)用類比思想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。通過類比，發(fā)現(xiàn)插值問題與“有物不知其數(shù)的問題” 結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“疊加法”解決類似問題。

3 基于波利亞解題思想，設(shè)計數(shù)學(xué)解題微課案例

3.1 數(shù)學(xué)解題案例的基本背景

案例選擇南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”題目：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩a，五五數(shù)之剩b，七七數(shù)之剩c，問物幾何？ （學(xué)生已學(xué)過有余數(shù)的除法）

3.2 數(shù)學(xué)解題微課的課堂實(shí)錄分析

階段一：弄清問題。

【片段設(shè)計】問題1：你要求解的是什么？

問題2：隱藏關(guān)鍵信息是什么？

問題3：你能畫張圖，理清思路嗎？畫圖，引入適當(dāng)?shù)姆枴?/p>

【片段實(shí)錄】：

師：南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道的、“物不知數(shù)”題目。請大家將這道“物不知數(shù)”的題目朗讀一遍，請問讀的時候需要注意哪些數(shù)學(xué)信息？

生：要審題，圈出關(guān)鍵詞，找到已知條件，所求問題是什么。

師：正是如此！審好題目，讀懂題目是關(guān)鍵。

師：先請同學(xué)們翻譯下這段文字。

生：已知一個數(shù)被3除余數(shù)是a;被5除余數(shù)是b;被7除余數(shù)是c，求：這個數(shù)是多少？

師：根據(jù)什么原則可以判斷這道題目中的a，b，c可能是幾？

生：根據(jù)余數(shù)比除數(shù)小的原則，一個數(shù)被3除余數(shù)a可以是0、1、2;被5除余數(shù)b可以是0、1、2、3、4;被7除余數(shù)c可以是0、1、2、3、4、5、6。

師：同學(xué)們真棒，一眼就分辨出了這道題就是考察我們是否掌握了余數(shù)定理。

所求的數(shù)要滿足這三個條件中的幾個條件，還是同時滿足，請同學(xué)們分析。

生：老師，我覺得可以用畫圓來分析包含問題。

師：這位同學(xué)真棒！我們可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，畫圓來分析包含問題。

【片段評析】課改后，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的讀題能力，獨(dú)立思考能力，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和。波利亞解題表中，步驟一弄清問題向?qū)W生提出：（1）未知是什么？已知是什么？（2）各部分分開，理清條件。（3）畫圖，理清思路。三個步驟明確指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，讓學(xué)生對問題的思考有邏輯，有層次。滲透數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，用畫圓理解三個條件之間的包含關(guān)系。

階段二：擬定計劃。

【片段設(shè)計】

問題1：是否解決過問題相同，而形式不同題目？

問題2：可解決一個有關(guān)的問題。想出一個更容易解決問題？一個更普遍，特殊問題，類比問題？

【片段實(shí)錄】：

師：現(xiàn)在我們根據(jù)畫圖分析得到，所求的數(shù)可以除以3，5，7分別除盡或有余數(shù)，三個條件滿足一個或幾個都要滿足。這時候我們可以用什么方法？

生：疊加法的方法，可以試試把三個條件寫到同一個式子中。

師：把三個條件寫到同一個式子中時，a，b，c的取值有多種，這時候怎么研究方便？

生：老師，我知道，我們可以取特殊值，具體分析。

生：我們可以從最簡單的入手，取a=1，b=1，c=1。

師：同學(xué)們這個想法非常棒，當(dāng)問題復(fù)雜的時候，我們可以取特殊值，從特殊到試一試。

生：我先找到用3除余1、用5和7除均能除盡的數(shù)—— 70;再找到用5除余1、用3和7除均能除盡的數(shù)—— 21; 找到用7除余1、用3和5除均能除盡的數(shù)—— 15。

生：我還找到這三個圓交集的部分，就是同時能被3，5，7除盡的最小數(shù)為[3，5，7]=105。

【片段評析】學(xué)生通過獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)不能解決所提出的問題。根據(jù)波利亞解題表，教師啟發(fā)學(xué)生可先解決一個更容易著手的有關(guān)問題，一個更普遍的問題，一個更特殊的問題，一個類比的問題。在波利亞解題思想的指導(dǎo)下，學(xué)生思考問題由易到難，由淺入深，從而使學(xué)生的思維更具有層次性，邏輯性。在解題過程中，志在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師的每一次啟發(fā)性提問，對學(xué)生的自主探究引導(dǎo)性話語皆在訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力。

階段四：實(shí)現(xiàn)計劃，取特殊值，引入?yún)?shù)。

【片段設(shè)計】實(shí)施求解計劃，驗(yàn)證每一步是否正確？

【片段實(shí)錄】：師：我們剛才同學(xué)們提到了用疊加法來將這三個條件同時滿足，請同學(xué)們開動腦筋，你能表示出這個數(shù)嗎？

生：我們算出被3，5，7除余1時的特殊值，將這些特殊值分別乘a，b，c即為余數(shù)為a，b，c時的值。

【片段評析】擬定計劃后，教師根據(jù)波利亞解題表，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)施計劃，檢驗(yàn)。

階段四：回顧檢驗(yàn)。

【片段設(shè)計】

總結(jié)方法，能否一題多解。

【片段實(shí)錄】：

師：這道題目解答完成以后，我們應(yīng)該做什么？

生：檢驗(yàn)！

生：我們可以把a(bǔ)，b，c分別等于2，3等其他值帶入，判斷得到的數(shù)是否符合題目條件。

生：我們也可以從頭到尾，依次檢查每一步是否推理有效。

師：同學(xué)們做題真仔細(xì)，做任何題目我們一定不能忘記，要回顧檢驗(yàn)！

師：大家真聰明，和我們古代數(shù)學(xué)家研究的結(jié)果一樣。南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶研究出了這題的系統(tǒng)算法。這就是著名的中國剩余定理。再次回顧下這道題目，你從中學(xué)到了什么，有沒有什么啟示？

生：古人真聰明！我們要好好讀書，像他們一樣探索問題，為后人留下寶貴的財富。

生：今天我學(xué)會了畫圖分析題目，體會到了數(shù)形結(jié)合百般好，以后我要常用。

生：對于有物不知其數(shù)的題目，和我以前看到爸爸看的書中的插值問題看著類似，我們可以借用其的疊加法來解決這類問題。

師：看來同學(xué)們今天收獲很多，古人的智慧令我們驚嘆，我們通過自己的研究努力，也做到了正確求解，并且體會到了，數(shù)形結(jié)合法，類比疊加法的好處。

【片段評析】

（1）先檢驗(yàn)推理是否有效的，取特殊值，檢驗(yàn)符合題意。

（2）教師引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過程，首先培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。明確解題首先弄清題意，明確數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，即有余數(shù)除法的定義、通過類比，發(fā)現(xiàn)插值問題與“有物不知其數(shù)的問題” 結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“疊加法”，并引入?yún)?shù)題目的經(jīng)驗(yàn)），并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合。

（3）在解題方法上，這個案例是類比法的一次成功應(yīng)用，通過類比，發(fā)現(xiàn)插值問題與“有物不知其數(shù)的問題” 結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“疊加法”，并引入?yún)?shù)。

（4）在思維策略上，這采用畫示意圖理解題意，（下轉(zhuǎn)第60頁）（上接第27頁）數(shù)形結(jié)合的方法。類比，發(fā)現(xiàn)插值問題與“有物不知其數(shù) 的問題” 結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“疊加法”，并引入?yún)?shù)，從而解決插值問題。

（5）教師揭示案例源自南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”題目，在情感上使學(xué)生體會到學(xué)習(xí)的趣味性，中國數(shù)學(xué)文化的博大精深。

4 基于核心素養(yǎng)的案例拓展應(yīng)用

教師在教學(xué)生解題時，要做到一題多解、一題多變，一題多用。通過類比，發(fā)現(xiàn)插值問題與“有物不知其數(shù)的問題” 結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“疊加法”。案變式：

問題：有函數(shù)不知其式，在處取值a，在處取值 b，在處取值 c ，求函數(shù)解析式。

通過類比，發(fā)現(xiàn)插值問題與“有物不知其數(shù)的問題” 結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“疊加法”：

先作函數(shù)p（x） ，在處值為1，在， 處值均為0;

再作函數(shù)q（x），在處值為1，在，處值均為0;

再作函數(shù) r（x） ，在處值為1，在，處值均為0。

通過類比，發(fā)現(xiàn)插值問題與“有物不知其數(shù)的問題” 結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“單因子湊成法”：

不妨設(shè)

參考文獻(xiàn)

[1] George Polya.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第二卷）[M].美國：科學(xué)翻譯出版社.

[2] George Polya.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011：11-1.

[3] 中華人民共和國教育部制定.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.