普及與提高的平衡
——基于義務(wù)教育平面幾何課程價值研究

張 昆

（淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

與2001年制定的《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗）》（簡稱《實驗稿》）相比，2011年《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（簡稱“新課標”）中，對平面幾何定理九處提出了“探索與證明”的要求，而對于其他內(nèi)容減少了近十個知識點。[1-2]這傳遞給我們的信息是：經(jīng)過十年數(shù)學課程改革探索，在激烈的爭鳴中，對平面幾何課程資源的認識得到了回歸，人們開始意識到平面幾何教育價值重在體現(xiàn)公理化思想的資源，這是實驗幾何或測量（計算）幾何無法比擬的，它其實肩負著培養(yǎng)學生理性思維的使命；必須設(shè)法通過降其量、增其質(zhì)，采用精簡合一的方式，整合進入義務(wù)教育課程的平面幾何資源。

一、平面幾何課程設(shè)計須思考教育價值的核心要素（特別是針對中國傳統(tǒng)文化背景）

近現(xiàn)代以來，為什么早期新文化運動的先驅(qū)特別強調(diào)數(shù)學？主要是為了使他們極力倡導與引進的科學精神與民主精神能夠從此扎根中國，并獲得發(fā)展的群體智力的支持。當今之時，中華民族的偉大復興，中國夢的完滿實現(xiàn)，也必定要像西方文藝復興一樣，首要的任務(wù)就是通過教育培養(yǎng)理性思維，弘揚理性精神，使其支撐科學、技術(shù)的發(fā)展，實現(xiàn)人盡其才，從而獲得物盡其用的途徑。依據(jù)平面幾何的特點——在圖形直觀支持下的邏輯思維，它的推理論證知識是這一年齡段學生最為優(yōu)質(zhì)的課程資源。

就義務(wù)教育階段學生的思維方式、思維品質(zhì)而言，初中階段是人的以自我為中心的主觀意識轉(zhuǎn)化到探究客觀世界的各種因果關(guān)系形成客觀意識的關(guān)節(jié)點，也是各項思維品質(zhì)分化的關(guān)鍵時期，在這一時期中，能否經(jīng)由教育促進理性啟蒙，科學啟蒙，是形成奠基其一生思維模式、發(fā)現(xiàn)意識，理性精神、科學精神與求真精神等內(nèi)在品質(zhì)的基石。理性精神恰恰是我們中國長期優(yōu)勢古典文化（據(jù)知名的哲學家、儒學大師牟宗三先生的研究，在中國傳統(tǒng)上占主導地位的儒文化中，開不出理性精神[3]）中所缺乏的。對此，數(shù)學義務(wù)教育的選材、編制、教授等方式就顯得極其重要，應該將培養(yǎng)理性精神放在一個更加突出的位置上。

對于平面幾何知識，改革爭論的焦點在于，以何種形式（實驗幾何、測量幾何還是推理幾何）進入義務(wù)課程，或者是這幾種形式的幾何學所占比例份額分配如何，再或者是這幾種幾何形式如何依據(jù)學生的心理環(huán)境整合成一個穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。這會對學生的基礎(chǔ)知識的奠基與思維方式的養(yǎng)成起著不同的作用，產(chǎn)生不同的結(jié)果，是決定平面幾何知識教育價值發(fā)揮程度的先決條件要素。

眾所周知，自然科學發(fā)展到后期，差不多是按照歐式幾何結(jié)構(gòu)構(gòu)成的，自然科學要把已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的真理性材料結(jié)合成幾個互相獨立的公理，將它們演繹起來，形成一種體系，經(jīng)過這一體系，可以借助于已經(jīng)掌握的確定的知識，探求還有哪些具有不確定因素的未知材料，從而變未知為已知，形成新知識。平面幾何以其至精至簡的方式從直觀上展示了這種思想方式的要點，因此，平面幾何公理化體系對科學的入門與深造具有基礎(chǔ)性的（示范）作用。

但要特別注意的是，科學真理的標準是以感官所得的原始實在性，即是以用其在物理實在性中的實用性程度來衡量的；而數(shù)學真理的標準是以沒有邏輯上（盡管這種邏輯性的起始處——公理或定義——具有經(jīng)驗性，除此之外，都具有嚴格的邏輯要求）的矛盾，制約此種創(chuàng)造性形式之規(guī)律的普遍性，新形式與原先形式之間的血源聯(lián)系來衡量的。如此，形成的數(shù)學文化規(guī)范中的至關(guān)重要的因素乃理性思維，數(shù)學思維方式中的最具價值的要素是以公理化思想支持的理性探索精神。平面幾何知識教育價值的最為突出之處就是由此幫助十二三歲的受教育者形成公理系統(tǒng)的言必有據(jù)的思維方式，感受理性探索精神。

然而，《實驗稿》的處理，雖然擁有平面幾何如此優(yōu)質(zhì)資源，卻沒有充分發(fā)揮它的育人價值，它更重視學生平面幾何的經(jīng)驗性，而忽視了理性探索精神，邏輯思維（理性思維的基石）沒有得到應有的訓練。這是因為在設(shè)計平面幾何課程時，更多地依據(jù)了衡量科學真理的早期標準，而是忽視數(shù)學真理的標準。事實上，這不是數(shù)學教育家有意為之，而是為了解決平面幾何的“推理難教”與（普及性、大眾化）義務(wù)教育的重要理念“人人能學”之間產(chǎn)生了矛盾的結(jié)果。

為什么要普及義務(wù)教育？普及的重要目的就在于提高全體受教育者（未來的公民）的素質(zhì)，這是中華民族偉大復興，實現(xiàn)中國夢，所需要的智力資源的根本保證。如何造就高素質(zhì)的人是教育的本質(zhì)要義，這不證自明，它的重要性無以復加。要實現(xiàn)中華民族偉大復興，不要只考慮知識是否有現(xiàn)實中的好處（實用性一面），或應用中的方便（如考試是否容易出題等），這些太表面化了，沒有考慮到滋養(yǎng)學生的意識結(jié)構(gòu)、思維方式、發(fā)現(xiàn)真理的途徑、以此生成創(chuàng)新動力的基礎(chǔ)要求。教育畢竟是整個社會文化取向的事情，推動全體公民的素質(zhì)提升的事情，它需要特別重視學生良好的思維方式的發(fā)生與發(fā)展，優(yōu)秀心理特質(zhì)的萌發(fā)與形成。

一方面，為什么數(shù)學教育在整個基礎(chǔ)教育中負有如此重大的分量？例如，在我國教育的現(xiàn)階段，數(shù)學教育貫穿了一個人所受基礎(chǔ)教育的自始至終的過程。另一方面，隨著現(xiàn)代計算工具（如計算機等）的發(fā)展，還有必要設(shè)置數(shù)學課程嗎（從實用性上來說，許多實用性的計算工作不都可以用機器代勞了嗎）？這不是一個簡單的現(xiàn)象性問題，而是一個嚴肅的問題，是一個整體結(jié)構(gòu)性的問題，是人的素質(zhì)的內(nèi)在訴求，是整個社會（中華民族）的科技水平高低的決定性基礎(chǔ)（數(shù)學教育應完善學生思維結(jié)構(gòu)、深化認識的層次），是保證科學進步人的智力的基礎(chǔ)，是國家與國家之間競爭的智力憑依，否則，中華民族憑什么可以屹立于世界民族之林？憑什么可以實現(xiàn)偉大復興？

毫無疑問，整個社會對數(shù)學科學的理解實際上是依靠基礎(chǔ)教育（經(jīng)由教師教學）來承擔的，但是，義務(wù)教育普通中小學教師的理論水平與獨立思考能力可能達不到如此高度，他們需要教育家與數(shù)學課程專家的引領(lǐng)。不管學生成人后做什么，是極其普通的各行各業(yè)的勞動者，還是政治家、思想家、科學家、軍事家，對他們來說，這一階段的平面幾何學的教育都會收獲巨大，主要是他們形成了理性思維方式，獲得了探究新信息的思維骨架，即使所學的具體知識的相關(guān)細節(jié)完全忘卻了，那種思考問題的方式或原則卻依然始終在他們的思想深處指引其進行各種各樣的探究活動。

誠如懷特海所言：“教育的理想，與其說是知識，不如說是力量，教學的任務(wù)在于把一個孩子的知識轉(zhuǎn)變成一個成人的力量?！盵4]由什么來作為這種轉(zhuǎn)換的承載物，實用性的知識只是極其低層次的載體，它的價值充其量只是促人發(fā)展的一種中介而已，教育的重要性在于借助于這一知識中介發(fā)展學生的最為深刻的思維方式（理性思維是其核心要素），對于十二三歲的正在接受義務(wù)教育的學生而言，平面幾何邏輯推理的知識正是其最為合適的資源，它的重要性由此可見一斑。

因為人的數(shù)學天賦可能有差異，不同的人對數(shù)學能夠接受與領(lǐng)悟的程度也可能有差異，以人為本就是以人在其擁有的特定天賦的基礎(chǔ)上獲得相應相稱的發(fā)展為本，并不在于要學多深的東西，發(fā)展要強調(diào)人的際遇、人的機會，取決于成人對受教育者塑造起來的文化氛圍（這是數(shù)學課程設(shè)計者可以控制的因素，與設(shè)計課程專家理念相關(guān)），因此，我們要通過數(shù)學教育將人類最為優(yōu)質(zhì)的思維方式植入學生的理智之中。

教育在于供給學生一種發(fā)展的基石（學生構(gòu)建起他們終身起作用的思維骨架），講究的是知識的質(zhì)，而非知識的量，知識的數(shù)量與質(zhì)量均有價值，但是，人的素質(zhì)卻一定為更有質(zhì)量的知識所塑造。因為我們的傳統(tǒng)優(yōu)勢文化缺乏理性精神，對處于義務(wù)教育的初中階段的學生來說，平面幾何知識作為理性思維資源的教育價值無可替代。

赫欽斯說：“邏輯是按照專門化的語形的一種陳述，在這種情況下，推理是嚴格論證的。如果普通教育是為了明智的行動而訓練心靈的話，邏輯是不能遺漏的，它是人的心智理解自然的重要力量。邏輯是推理學科的一個關(guān)鍵性的分支。不過還要加上一門以最明確和最嚴格的形式闡明推理的學科。這門學科理所當然要由數(shù)學來承擔，而在數(shù)學學科中主要的是那些歐幾里得公理化的幾何學用以解說的方式。思維的正確性通過歐式幾何進行教學也許比任何別的方式更為直接，更為使人印象深刻。”[5]這對接受義務(wù)教育初中階段的學生來說，尤其重要，因為他們部分人將要離開學校，就有可能再也沒有正式訓練自己的邏輯論證能力的機會了。

因此，就義務(wù)教育初中階段而言，平面幾何要少一些內(nèi)容，但要選擇最好的內(nèi)容——自始至終貫穿著最嚴密證明的內(nèi)容。當然要考慮學生的可接受性與差異性，可以選擇比較容易的但卻使學生足以體會公理化方法的平面幾何知識?！靶抡n標”較好地體現(xiàn)了這種課程設(shè)計思想。

我們知道，幾何學的美，就在于它證明的層次，就在于它有那存在于一切事物中清晰而合乎理性的某種東西。因此，那直線、圓（最簡單優(yōu)美的曲線）就能給受教育者以普遍的事物的教訓。一個兒童，只為他理解有困難，就斷定他懂不了幾何推理論證知識與探究證明的方法，那絕不是真實的；相反，理解有困難，正是必須耐心地領(lǐng)著他們進門的信號。泰勒斯或歐幾里得等古希臘先哲也絕不懂某物的全部幾何學；但是他們所懂的，就是懂得深刻，懂得透徹。

平面幾何知識最突出的特征就是進行邏輯論證，它不僅能證明命題的正確性，獲得推理環(huán)節(jié)與次序的知識，而且能使人避免思想混亂，避免似是而非，還能使人揭示客觀事物的本質(zhì)與規(guī)律，形成邏輯地表達思想、整理科學體系的方法。幾何推理論證可以使人凡事都問個“為什么”，而這正是一個人的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的基礎(chǔ)之所在，也是一個人的科學思維入門的特征。平面幾何追求的是一種理性精神，由于它的推理奠基于圖形的直觀，在從古到今所形成的教育資源中，還沒有一門學科資源能比它更好地培養(yǎng)十二三歲的學生的理性精神。

二、平面幾何課程設(shè)計須強調(diào)實現(xiàn)普及與提高的平衡（特別是針對普及的、大眾的數(shù)學義務(wù)教育理念）

在義務(wù)教育階段的課程設(shè)計中，作為課程資源的平面幾何知識，須特別重視普及性的要求，因為西學東漸后，發(fā)揮平面幾何教育資源功能長期處于高水平的要求（探究命題證明思路的過程非常難）之下，即便是過去，在偏向于精英的教育中，受教育者也感到具有不可承受之重，遑論對于今天的普及的、大眾的義務(wù)教育的受教育者。但是，通過審視新一輪的十數(shù)年數(shù)學基礎(chǔ)教育教學改革實踐，發(fā)現(xiàn)也的確出現(xiàn)了重大問題，在考慮平面幾何知識進入課程時，過多降低了命題證明的要求（如三角形內(nèi)角和定理都不要求證明了），從一個極端走向了另一個極端，如此也極大地損傷了平面幾何知識資源最優(yōu)秀的精華部分——促成學生體驗“必然”的觀念，將數(shù)學降格為實驗科學，抹殺了平面幾何推理知識資源作為范例的最為深沉的教育價值。

回顧一下項武義先生批評美國當代數(shù)學教育的事實，可能對我們理解這種處理平面幾何教育內(nèi)容的缺陷有幫助。他說：“在美國吃數(shù)學教育飯的一些人，他們的數(shù)學，說老實話，實在是難以恭維。正統(tǒng)武功不行就想走邪門歪道，簡直猶如讓中國青年回到山頂洞人去，然后再來一步步發(fā)現(xiàn)?！表椣壬M一步指出，“在人類漫長的歷史中，人類之所以有進步，是因為不但有超群的腦力，而且有文字，懂得世代相承，精益求精。基礎(chǔ)數(shù)學是文明中的瑰寶，我們的教育要讓后一代人承前啟后，并能繼往開來。萬萬不能倒退到從山頂洞人開始做發(fā)現(xiàn)工作。那怎么行呢？”[6]就是說，數(shù)學知識的價值（尤其是教育價值）不是蘊藏于直接經(jīng)驗之中，而更傾向于蘊含于間接經(jīng)驗中。

義務(wù)數(shù)學教育是大眾的數(shù)學教育，具有普及教育的內(nèi)涵，必然要求數(shù)學教育面向每一個作為社會的未來公民，同時，教育目標必須要作出適應這種要求的轉(zhuǎn)變。數(shù)學課程就既不能為少數(shù)“精英”所設(shè)計，又不能僅僅為數(shù)學而數(shù)學，應當置于更加基礎(chǔ)的位置上——要確定數(shù)學更為基本的教育價值，要精簡數(shù)學內(nèi)容以體現(xiàn)與承載這種基本的價值，以此達到具有能賦人性于人的高度，同時，要悉心研究合適的教育途徑。由于學生受思維水平的限制，受教學時間的局限，受授業(yè)方式的影響，使得大眾命題下的數(shù)學教育不可能是嚴格意義上數(shù)學科學的教育，而只能說是數(shù)學文化的教育，但又必須體現(xiàn)數(shù)學文化的精華與基本規(guī)范。

數(shù)學教育的價值與其說是數(shù)學知識的積累，不如說是培養(yǎng)數(shù)學思維習慣、數(shù)學觀念，最終促成受教育者形成數(shù)學的思維方式。大眾的、素質(zhì)的數(shù)學教育作為新型的教育價值觀，就這種意義上說，數(shù)學教育是普及的，把數(shù)學作為一種文化的教育。所以，重視數(shù)學教育中的文化觀念是素質(zhì)教育的基本內(nèi)涵和要求。如此，數(shù)學題材的范圍擴展了，內(nèi)容豐富了，這是符合數(shù)學教育的目的，是全面貫徹數(shù)學教育適合社會大眾的需要：數(shù)學知識的直接應用，數(shù)學文化對提高人們思維水平的間接作用等。但是，不能偏廢，在我們的文化背景中，數(shù)學教育尤其要設(shè)法體現(xiàn)數(shù)學文化理性思維的核心價值（也是數(shù)學文化的最為突出的規(guī)范）。

普及的、大眾的數(shù)學教育的著眼點就是要放在使數(shù)學教育適應多數(shù)學生的智力發(fā)展狀況的上面，要克服學術(shù)主義（在培養(yǎng)的目標上只重視學者型人才的作法）的傾向；普及的、大眾的數(shù)學教育強調(diào)數(shù)學應為大眾所理解、所掌握、所利用，使得數(shù)學成為公民適應社會生活并借此促進社會發(fā)展的有力武器；普及的、大眾的數(shù)學教育不是要求數(shù)學的高難度，而是要求應用數(shù)學知識解決實際問題的數(shù)學思維方法為一般公民所掌握，使得數(shù)學成為大眾文化的一個部分；普及的、大眾的數(shù)學教育應充分體現(xiàn)數(shù)學的教育功能，即不僅重視數(shù)學的思維發(fā)展功能，更要重視對社會公民的世界觀、行為方式、道德規(guī)范的培養(yǎng)，因為數(shù)學思維不單單是弄懂數(shù)量關(guān)系、空間形式，而且是一種研究事物和現(xiàn)象的方法，是一種推理的方式，是發(fā)現(xiàn)真理的一種非常重要的手段，也是磨礪意志、包含辯證法及其應用的一門學科。

然而，普及工作和提高工作是不能截然分開的。普及工作若是永遠停留在一種較低的水平上，這就有可能使本來可以獲得較好數(shù)學發(fā)展的學生失去發(fā)展的動力，逼迫他們趨向于較低的數(shù)學教育目標，普及工作更不能丟棄作為文化的數(shù)學教育的核心價值——理性精神的教育目標，否則這樣的普及數(shù)學教育還有什么意義呢？受教育者及其家長、更重要的是我們的社會（中華民族）要求普及數(shù)學教育，跟著也就要求提高數(shù)學教育的水平。而這種提高，不是從空中提高，不是關(guān)門提高，而是在普及的基礎(chǔ)上提高。這種提高，為普及所決定，同時又給予普及的方向，給普及以指導。所以我們的提高，是在普及基礎(chǔ)上的提高；我們的普及，是在提高指導下的普及。[7]有了普及的基礎(chǔ)，便有了提高的平臺，有了提高的平臺，又為更高層次的普及提供了新的基礎(chǔ)，使普及與提高形成良性螺旋上升。

我們知道，數(shù)學發(fā)展到今天，數(shù)學家正在研究的純數(shù)學（乃至于某些應用數(shù)學）都已經(jīng)很難為普通的公民所理解，這些數(shù)學也不是他們所必需的。那么，怎樣在普及的基礎(chǔ)上提高呢？我們應該從更為積極的態(tài)度出發(fā)，把一些未來社會公民所必需的數(shù)學思想方法、數(shù)學意識和數(shù)學觀念（比如說，對義務(wù)教育階段學生的理性思維）等盡快大眾化，使它們變得相對地易于理解，以便不久的將來，我們的中學生能夠更容易地學習它、掌握它，使得數(shù)學思想方法大眾化，并使其在數(shù)學課程的設(shè)計中充分體現(xiàn)，從而實現(xiàn)普及后的提高與在提高后的基礎(chǔ)上的普及。

由此，我們得承認，普及的確是一種目的，但卻是低層次的目的，它更傾向于是一種手段。說它是一種目的，因為要保證作為社會的公民，必須具有數(shù)學公理化的思維方式思考問題。事實上，我們生活中基本的道德準則就是通過公理的形式要求青少年掌握的，它不加證明，卻可以作為學生成長中的道德知識的基礎(chǔ)，不過我們很難將它組織成像平面幾何知識類似的公理化、系統(tǒng)化的結(jié)構(gòu)。具有應用證據(jù)說話的能力，奠基整個社會運行的公正性，保證作為民主社會的每一個公民應有的素質(zhì)水平。說它是手段，指的是普及提供了提高的平臺，通過普及可以保證數(shù)學學術(shù)的自身發(fā)展，及其奠基于此的科學技術(shù)的發(fā)展，否則，何談中華民族的偉大復興！

我國的數(shù)學教育歷史久遠，但一直是注重實用性，從而把數(shù)學當成一種技術(shù)與技能的教育，一種“匠”的意識，結(jié)果是在數(shù)學的故鄉(xiāng)卻失去了生機。近現(xiàn)代時期，我們的數(shù)學沒有融入世界的主流。在巨著《古今數(shù)學思想》的序言中，克萊因說：“為著不使資料漫無邊際，我忽略了幾種文化，例如中國的、日本的與瑪雅的文化，因為他們的工作對于數(shù)學思想的主流沒有重大的影響?！盵8]從普及與提高關(guān)系的觀點出發(fā)，我們就不應僅僅把平面幾何的教育局限在經(jīng)驗性的普及的基礎(chǔ)之上，而是將其看作是一種文化規(guī)范，一定要有合理的提高的一個層面，不能忽視推理的要求，它承載著培養(yǎng)理性思維的神圣使命。

三、結(jié)語

在我們研究“新課標”的平面幾何知識進入義務(wù)教育課程時，要特別考量平面幾何推理論證的思維方式的教育價值及其實現(xiàn)的過程，要認真地思考如何提升進入課程的平面幾何知識的質(zhì)量，以彌補減少其數(shù)量的損失，我們要做的是對平面幾何知識精中求簡的工作。這是一個重大的課題，項武義先生已經(jīng)作了專門的思考。[9]發(fā)現(xiàn)這是在設(shè)計平面幾何課程的大方向上提供了選擇的取向，但還遠遠不夠，還必須在平面幾何課程設(shè)計的實踐上進行更加深入的研究。

我們知道，在古希臘時期，歐式幾何是那些高級知識分子們在柏拉圖學園中所要學習的教材，現(xiàn)在我們要求正在接受義務(wù)教育的初中學生懂得平面幾何推理論證的知識，這對學生來講定會帶來困難，所以在設(shè)計數(shù)學課程、選擇平面幾何知識資源時，課程設(shè)計者要想辦法對此更深刻、更返璞歸真地理解，教師將其教得簡樸精到、從更精深的層面突出最為基本的平面幾何知識內(nèi)涵的思維方式的價值，務(wù)必能夠把它精簡合一——增其質(zhì)、降其量——達成在普及的基礎(chǔ)上提高，在提高的指導下普及的目的，從而實現(xiàn)普及與提高的平衡?！?/p>