結(jié)構(gòu)極值響應估計方法的有效性研究

黃孝帝， 顧 穎， 何 軍

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

0 引言

除了模擬方法，人們也提出了其他類型的結(jié)構(gòu)極值響應估計方法.Michaelov等[8]假設結(jié)構(gòu)極值響應分布等價于隨機響應穿越事件的分布，提出非平穩(wěn)高斯激勵下線性結(jié)構(gòu)極值響應的估計方法.He[9]利用結(jié)構(gòu)響應穿越事件的Poisson分布假定，由Rice穿越率計算式和結(jié)構(gòu)響應及其導數(shù)的聯(lián)合分布，建立了結(jié)構(gòu)非線性響應的極值估計方法.相對而言，這些非模擬方法的計算效率要低于加速模擬方法.

筆者的主要目的為對Grigoriu等提出的加速模擬方法和He等提出的加速模擬方法進行對比研究，對比分析這兩種加速模擬方法的計算效率和計算精度，為進行結(jié)構(gòu)極值響應估計提供算法選擇方面的建議和參考.

1 加速模擬方法的一般流程

加速模擬方法的基本思想是預先假設結(jié)構(gòu)極值響應服從某類分布，再通過建立基于樣本的分布參數(shù)估計方法，然后利用隨機模擬方法生成有限容量的響應樣本，從而估計出分布參數(shù)及結(jié)構(gòu)極值響應分布.與直接模擬方法相比，加速模擬方法需要更少的響應樣本估計極值響應的分布尾部，從而提高了結(jié)構(gòu)極值響應尾部估計的效率.另一方面，因為加速模擬方法在本質(zhì)上仍然屬于一種隨機模擬方法，因此，該類方法也適用于任何具有確定性解的結(jié)構(gòu)隨機振動問題，具有廣泛的工程適用性.

目前的加速模擬方法主要有兩種：一種是Grigoriu等提出的基于廣義極值分布假定的加速模擬方法;另一種是He等提出的基于移位廣義對數(shù)正態(tài)分布的加速模擬方法.這兩種算法具有相同的流程，如圖1所示.這兩種加速模擬方法的區(qū)別之處在于采用了不同的極值分布假設及其參數(shù)估計方法.關于GEV和SGLD的函數(shù)形式和參數(shù)估計方法，將分別在本文的第2小節(jié)和第3小節(jié)進行詳細介紹.

圖1 加速模擬方法流程圖Fig.1 Flow chart of accelerated simulation method

2 GEV分布及其參數(shù)估計

(1)

式中：μ∈R、σ>0和ξ∈R分別為位置參數(shù)、尺度參數(shù)和形狀參數(shù).

GEV函數(shù)的定義域為{y:1+ξ(y-μ)/σ>0}.當ξ趨于0時，G(y)趨于Gumbel分布.

目前存在多種GEV的參數(shù)估計方法，在其加速模擬方法中，Grigoriu等采用了最大似然法進行參數(shù)估計.GEV的對數(shù)似然函數(shù)為：

(2)

式中：nb為響應樣本數(shù).

當ξ=0時，上述似然函數(shù)可以簡化為：

nblgσ.

(3)

使似然函數(shù)取最大值的參數(shù)μ、σ、ξ值為GEV分布參數(shù)的最大似然估計.

需要說明：在筆者采用的數(shù)學軟件Mathematica中，不需要確定參數(shù)am和bm，直接由獨立樣本估計P(Mm

3 SGLD及其參數(shù)估計

移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)由移位對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)冪分布構(gòu)成，用于近似具有一定偏態(tài)系數(shù)和峰度系數(shù)的分布[9].因此，適用于近似結(jié)構(gòu)極值響應的分布.SGLD的累積分布函數(shù)：

b

(4)

式中：b為位置參數(shù)；θ為尺度參數(shù)；σ、r為形狀參數(shù).

雖然SGLD有4個參數(shù)，但獨立參數(shù)只有σ和r，因為b和θ可由參數(shù)σ和r的值確定[9].為了有效估計參數(shù)σ和r，確保尾部估計的精確性，He等提出了一個兩支撐點方法.兩支撐點方法假設由樣本估計出極值響應的兩個較大超越概率P1=0.1和P2=0.01及其響應樣本點y1和y2，從而得到下面的非線性方程：

(5)

(6)

利用參數(shù)σ和r與b和θ的關系式，由迭代方法求解方程(5)和(6)，可得到SGLD的參數(shù)估計值，進而得到結(jié)構(gòu)極值響應的近似分布SGLD.因為可由較少的響應樣本估計概率P1和P2，因此，提高了結(jié)構(gòu)極值響應及其分布尾部的估計效率，加速了隨機模擬的收斂速度.

4 兩種加速模擬方法的有效性調(diào)查

4.1 調(diào)查研究1

1-exp(-y)、1/2+(1/π)tan-1y，則可以得到極值分布概率P(y;m)=P(max1≤i≤m{yi}0、bm>0，使得P((Mm-am)/bm

根據(jù)極值定理可得，當m充分大時，對于獨立同分布序列，其概率P[(Mm-bm)/am0、bm>0為規(guī)范化序列,如上可得，G(y)與序列邊緣分布有關，當邊緣分布為高斯分布和指數(shù)分布時，G(y)為exp[-exp(-y)]，當為柯西分布時，G(y)為exp(-1/y).由此可得，P(Mm

表1 基于樣本和通過極值理論得到P(Mm

采用基于移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)假定Carlo模擬得到nb=2 000個響應極值樣本，然后估計分布參數(shù)，如表2所示.

表2 基于樣本得到P(Mm

最后，圖2給出了當邊緣分布為高斯分布、指數(shù)分布、柯西分布時極值分布的精確解和基于廣義極值分布(GEV)、移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)假定的加速模擬方法、基于20 000個樣本的Monte Carlo方法的對比結(jié)果.

圖2 加速模擬方法、蒙特卡洛方法和理論精確解的對比結(jié)果Fig.2 The comparison between accelerated simulation methods and MC method and exact probability

圖2中結(jié)果表明，兩種加速模擬方法對于理想平穩(wěn)過程的極值估計在尾部區(qū)域內(nèi)有著較好的計算精度和效率.而GEV模型對邊緣分布為高斯分布時擬合較差，其余分布結(jié)果較好，特別是對于柯西分布，與理論分布基本一致.而SLGD模型對于尾部情況較GEV模型更好，但是無法得到邊緣分布為柯西分布時的分布參數(shù)，其加速模擬方法都有各自適用范圍.

4.2 調(diào)查研究2

驗證線性振子在隨機激勵作用下加速模擬方法擬合響應極值分布的精確性及有效性.考慮單自由度線性振子受到高斯白噪聲激勵作用，采用加速模擬方法得到振子位移響應及絕對值的極值分布尾部，然后與通過直接Monte Carlo模擬得到分布尾部對比.

取Y(t)為結(jié)構(gòu)位移響應，該結(jié)構(gòu)動力方程定義為：

(7)

Ry(τ)=πS0e-ζw0τ[cos(wdτ)+

(8)

式中：w0為振子固有頻率；wd為有阻尼固有頻率；ζ為阻尼比；S0為譜密度.由于Y(t)為高斯過程，對于τ→∞，可得Ry(τ)lgτ→0，可得序列{Yi}滿足D(u)和D(um)[8]，可得位移響應極值分布漸進于廣義極值分布.采用基于廣義極值分布假定的加速模擬方法估計響應Y(t)的極值分布，通過Monte Carlo模擬得到2 000個極值響應樣本，然后通過參數(shù)估計方法得到廣義極值分布參數(shù)，如表3所示.

表3 廣義極值分布的參數(shù)值

對于位移響應絕對值，由于無法得到較長時間后隨機響應過程的自相關函數(shù)的表達式，不能直接給出序列{|Y|i}是否滿足D(u)和D(um).于是在采用基于廣義極值分布假定的加速模擬方法估計響應Y(t)絕對值的極值分布，首先假設響應絕對值的極值分布服從廣義極值分布，同樣，通過Monte Carlo模擬得到nb=2 000個極值響應樣本，然后通過參數(shù)估計方法得到廣義極值分布參數(shù)值，如表3所示.

采用基于移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)假定的加速模擬方法估計響應極值分布，假設極值分布服從移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)，通過Monte Carlo模擬得到nb=2 000個位移響應極值樣本及位移響應絕對值極值樣本，然后估計分布參數(shù)，具體數(shù)據(jù)如表4所示.

最后，圖3對比了基于廣義極值分布(GEV)、移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)假定的加速模擬方法估計線性振子響應，如圖3(a)所示，響應絕對值極值分布結(jié)果與基于20 000個樣本的Monte Carlo結(jié)果，如圖3(b)所示.

表4 移位廣義對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)值

圖3 加速模擬方法估計線性振子響應極值分布與蒙特卡洛方法對比結(jié)果Fig.3 The comparison between caccelerated simulation methods and MC method for estimating the extreme distribution of linear oscillator response

圖3表明，兩種加速模擬方法對于線性結(jié)構(gòu)下受隨機激勵作用的結(jié)構(gòu)響應極值估計有較好的效率和精度，SGLD模型與極值分布尾部有著更好的擬合.對于隨機響應為平穩(wěn)過程時，且無論是否滿足相依關系，從擬合結(jié)果來看，GEV模型都與極值分布擬合較好.

4.3 調(diào)查研究3

驗證非線性單自由度振子在隨機地震激勵作用下加速模擬方法擬合響應極值分布的精確性及有效性.考慮非線性單自由度振子受到Kanai-Tajimi隨機地震波激勵作用，采用加速模擬方法得到振子位移響應及響應絕對值的極值分布尾部，然后與通過直接Monte Carlo模擬得到分布尾部對比.

其結(jié)構(gòu)動力方程為:

(9)

式中：Y(t)為結(jié)構(gòu)位移響應；w0=π；ζ0=0.05.層間滯變恢復力fs定義為:

fs=k[αY+(1-α)Z],

(10a)

(10b)

取f(t)為Kanai-Tajimi隨機地震波激勵，其功率譜密度函數(shù)為:

(11)

式中:S0=0.016 7；wf=15.7；ζf=0.6.

取持續(xù)時間t=20，每隔Δt=0.02取結(jié)構(gòu)響應Y(t)值及絕對值構(gòu)成響應序列{Yi}和{|Y|i}，通過Monte Carlo模擬得到數(shù)量nb=2 000組結(jié)構(gòu)反應值序列{Yi}和{|Yi|}，最后得到2 000個響應及響應絕對值的極值樣本.分別采用基于移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)和廣義極值分布(GEV)假定的加速模擬方法估計響應極值分布，假設極值分布分別服從廣義極值分布(GEV)和移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)，通過樣本估計方法得出GEV和SGLD參數(shù)，如表5、6所示.

表5 廣義極值分布的參數(shù)值

最后，圖4對比了基于廣義極值分布(GEV)、移位廣義對數(shù)正態(tài)分布(SGLD)假定的加速模擬方法估計非線性振子響應，如圖4(a)所示，響應絕對值的極值分布的結(jié)果與基于20 000個樣本的Monte Carlo結(jié)果，如圖4(b)所示.

圖4 加速模擬方法估計非線性振子響應極值分布與蒙特卡洛方法對比結(jié)果Fig.4 The comparison between accelerated simulation methods and MC method for estimating the extreme distribution of nonlinear oscillator response

圖4表明，兩種加速模擬方法對于非線性結(jié)構(gòu)下受隨機激勵作用下的結(jié)構(gòu)響應極值估計也有較高的效率和精度，顯示了兩種方法適用廣泛，其中SGLD模型顯示了更好的計算精度.而采用廣義極值分布的加速模擬方法，雖然無法確定響應是否滿足廣義極值分布的適用條件，且未能解決不滿足相依關系的平穩(wěn)過程的極值分布估計的理論問題，但是尾部擬合情況依然較好，仍可以建議作為極值分布估計的有效方法.

5 結(jié)論

筆者對比分析了基于廣義極值分布和移位廣義對數(shù)正態(tài)分布的加速模擬方法，驗證了兩種方法在解決估計結(jié)構(gòu)響應極值分布的有效性，避免了直接蒙特卡洛模擬中計算費用過大和效率過低的問題.通過理想分布和單自由度振子模型，證明了該方法能高效地達到微小失效概率至10-3～10-6，滿足結(jié)構(gòu)設計及可靠度研究要求，適用于一般結(jié)構(gòu)隨機振動問題，具有廣泛的工程適用性.通過理論和應用的研究，得到的主要結(jié)論有：

(1)筆者通過分析兩種加速模擬方法，GEV模型和SGLD模型相比于直接蒙特卡洛模擬，效率能達到10倍以上，計算精度在10-3以上，其兩種方法均適用于結(jié)構(gòu)隨機響應極值分布尾部估計.

(2)GEV模型基于極值定理，對滿足一定條件的序列極值分布有著嚴格的理論證明，對于一般情況，無法給出完整的理論分析證明，但是從筆者分析發(fā)現(xiàn)，GEV對一般情況仍有較好的計算精度與效率.SGLD模型是根據(jù)SGLD分布能擬合多種分布，以此來擬合極值分布.

(3)在對結(jié)構(gòu)響應極值分布估計中，在同等計算效率下，SGLD精度優(yōu)于GEV，而且不受條件限制，但對于樣本方差過大、均值過大的特殊情況，無法得出分布參數(shù).