正交各向異性路基路面在移動(dòng)荷載作用下的空間動(dòng)力響應(yīng)

王 博， 張春麗,2， 祝彥知

(1.鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2.中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院，河南 鄭州 450007； 3.中原工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 450007)

0 引言

在實(shí)際工程中，移動(dòng)荷載并非直接作用在地基表面，而是通過路面將荷載分布到地基表面．路基路面動(dòng)力學(xué)問題一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,文獻(xiàn)[1-3]用解析法、文獻(xiàn)[4-5]利用半解析方法、文獻(xiàn)[6]利用模型試驗(yàn)與數(shù)值仿真方法、文獻(xiàn)[7]利用有限元軟件研究了路基路面動(dòng)力響應(yīng)問題．文獻(xiàn)[8]通過現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試揭示了行車荷載下瀝青路面和地基的動(dòng)力影響規(guī)律．文獻(xiàn)[9]研究了橫觀各向同性地基上無限板的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，并用數(shù)值結(jié)果表明，采用各向同性介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)模型，不能準(zhǔn)確描述具有明顯各向異性特性地基的動(dòng)力性能，需要建立更符合實(shí)際情況的各向異性地基模型來研究移動(dòng)荷載作用下路基路面的動(dòng)力響應(yīng)．文獻(xiàn)[10-12]研究了正交各向異性地基及覆無限大板的平面應(yīng)變問題的動(dòng)力響應(yīng)．對(duì)移動(dòng)荷載作用下地基板的動(dòng)力響應(yīng)問題，目前研究工作主要集中在對(duì)各向同性或橫觀各向同性地基的動(dòng)力研究，以及正交各向異性地基平面應(yīng)變問題研究，但動(dòng)荷載作用下正交各向異性無限大板的空間動(dòng)力響應(yīng)鮮見報(bào)道．

筆者建立正交各向異性彈性地基上覆無限大彈性板的路基路面三維空間力學(xué)模型，研究在車輛荷載作用下板和地基的動(dòng)力響應(yīng)．對(duì)移動(dòng)矩形諧振荷載作用下公路路面板動(dòng)力穩(wěn)態(tài)問題進(jìn)行了算例分析，研究了土體參數(shù)對(duì)板位移的影響規(guī)律．

1 直角坐標(biāo)系下的振動(dòng)方程

1.1 力學(xué)模型

車輛移動(dòng)荷載函數(shù)一般能通過傅里葉級(jí)數(shù)展開為若干個(gè)簡(jiǎn)諧荷載之和.筆者把車輛荷載簡(jiǎn)化為勻速移動(dòng)均布矩形簡(jiǎn)諧荷載，用Kirchhoff小變形無限大彈性薄板來模擬路面，用彈性半空間來模擬路面以下的土體．

假設(shè)薄板受橫向荷載q(x1,y1,t)=

以速度c沿x1軸正向移動(dòng)，則在板底必有地基反力p(x1,y1,t)，根據(jù)作用力與反作用力定律，在地基表面同樣有作用力p(x1,y1,t)，且方向相反，如圖1所示．

1.2 坐標(biāo)變換

圖1 半空間上覆無限大彈性板的力學(xué)模型Fig.1 Mechanics model of elastic plate on half space

(1)

各變量在移動(dòng)坐標(biāo)系下可以表述為：

Ψ(x1-ct,y1,z1,t)=Ψ(x,y,z)eiωt;

(2a)

(2b)

(2c)

1.3 基本方程

筆者僅分析穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)問題，彈性地基上彈性地基板在動(dòng)力荷載作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程:

(3)

對(duì)于正交各向異性彈性地基上作用動(dòng)荷載的空間問題，有方程:

(4)

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

(5e)

(5f)

式中：ux、uy、uz分別表示沿移動(dòng)坐標(biāo)系x、y、z方向的位移；σx、σy、σz、τyz、τzx、τxy為土體應(yīng)力分量；c11、c12、c13、c22、c23、c33、c44、c55、c66為正交各向異性地基的9個(gè)相互獨(dú)立的彈性常數(shù)．

2 振動(dòng)方程的求解

2.1 邊界條件

彈性地基半空間表面邊界條件為：

(6a)

(6b)

對(duì)于簡(jiǎn)諧荷載，所有分量均有因子eiωt，因此為了書寫方便，在求解時(shí)先略去因子eiωt．當(dāng)板置于地基上并與之共同工作時(shí)，板底面與地基表面的垂直位移相同，同時(shí)板與地基光滑接觸[13],則有應(yīng)力和變形協(xié)調(diào)邊界條件：

σz(x,y,0,t)=-p(x,y)；

(6c)

τzx(x,y,0,t)=0；

(6d)

τyz(x,y,0,t)=0；

(6e)

uz(x,y,0,t)=w(x,y,t).

(6f)

2.2 求解方程

對(duì)坐標(biāo)x、y的Fourier變換定義如下：

(7a)

相應(yīng)的逆變換為：

(7b)

式中：ξ、η為Fourier變換參數(shù)．

對(duì)板的動(dòng)力方程式(3)做關(guān)于x、y的Fourier變換，得到

(8)

式中：L=D(ξ2+η2)2+m(-c2ξ2+2ωcξ-ω2)．

對(duì)彈性半空間體的動(dòng)力方程式(4)同樣做Fourier變換，并改寫成矩陣形式:

(9)

式中：A11=-c55；A22=-c44；A33=-c33；B13=-iξ(c13+c55)；B23=-iη(c23+c44)；D11=c11ξ2+c66η2+ρ(-c2ξ2+2ωξc-ω2)；D12=ξη(c12+c66)；D22=c66ξ2+c22η2+ρ(-c2ξ2+2ωξc-ω2)；D33=c55ξ2+c44η2+ρ(-c2ξ2+2ωξc-ω2)．

設(shè)方程(9)的解為：

(10)

把式(10)帶入方程(9)得特征方程：

a1λ6+a2λ4+a3λ2+a4=0，

(11)

特征方程(11)為復(fù)系數(shù)一元六次方程，其根為±λ1,±λ2,±λ3，(Re[λj]≥0,j=1,2,3)，可表示為:

(12a)

(12b)

(12c)

對(duì)于z≥0的正交各向異性半空間的動(dòng)力分析問題，當(dāng)z→∞時(shí)，ux、uy、uz均應(yīng)趨于零,則矩陣方程(9)的解為：

(13a)

(13b)

(13c)

利用應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間的關(guān)系，可以得到應(yīng)力變量的表達(dá)式：

(13d)

(13e)

對(duì)邊界條件式(6c)～(6f)做關(guān)于x、y的Fourier變換,可以求得：

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

將式(14a)～(14c)代入式(13d)～(13e)，并令線性方程組系數(shù)為：

(15)

則待定系數(shù)Fj(j=1、2、3)為:

(16)

式中：Δ=p3q2r1+p1q3r2+p2q1r3-p2q3r1-p3q1r2-p1q2r3．

將式(16)代入式(13c),得到地基的豎向位移為:

(q2r1-q1r2)e-λ3z].

(17)

將式(8)和式(17)帶入位移邊界條件(14d)，推出地基反力即接觸應(yīng)力的大小為：

(18)

板撓度為：

(19)

對(duì)薄板作用的橫向荷載做關(guān)于x、y的Fourier變換，可以求得：

(20)

對(duì)式(13)、(18)、(19)、(20)施加關(guān)于x和y的Fourier逆變換，就可以得到移動(dòng)諧振荷載作用下正交各向異性介質(zhì)在直角坐標(biāo)系下響應(yīng)的積分形式解．由于文章篇幅有限，僅給出板位移的積分表達(dá)式：

(21)

3 算例分析

算例模型如圖1所示，給出移動(dòng)諧振荷載作用下某公路路面板位移影響數(shù)值結(jié)果．作用在板上的荷載半長(zhǎng)度b=0.075 m，l=0.075 m，峰值q0=100 kPa，荷載頻率f=16 Hz，移動(dòng)速度c=35 m/s．板彈性模量3.0×1010Pa，泊松比0.15，板厚0.25 m，密度2 400 kg/m3．土體彈性參數(shù)Ex=50 MPa，μxy=0.25，Gyz=20 MPa，Gzx=24 MPa，Gxy=15 MPa，ρ=1 815 kg/m3．引入描述土體正交各向異性參數(shù)之間的比例系數(shù)km(m=1、2、3、4)，令Ey=k1Ex，Ez=k2Ex，μxz=k3μxy，μyz=k4μxy．當(dāng)km=1時(shí)，土體為各向同性．

μij本身變化不大，它對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響可以忽略不計(jì)[13]，取k3=1.2，k4=1.6．彈性系數(shù)c11～c55和Ei、μij、Gij之間的關(guān)系見文獻(xiàn)[14]．

圖2和圖3分別為k2=0.8，僅改變k1時(shí)的板位移沿x方向的波形圖(y=0)和y方向的波形圖(x=0),圖4和圖5分別給出k1=1.2，僅改變k2時(shí)的板位移在x方向的波形圖(y=0)和在y方向的波形圖(x=0),其中km=1對(duì)應(yīng)的圖形表示各向同性土體時(shí)的板變形．

圖2 不同土體Ey時(shí)板位移在x方向的波形(y=0)Fig.2 Plate deformation curves in the direction of x due to different Ey(y=0)

圖3 不同土體Ey時(shí)板位移在y方向的波形(x=0)Fig.3 Plate deformation curves in the direction of y due to different Ey(x=0)

圖4 不同土體Ez時(shí)板位移在x方向的波形(y=0)Fig.4 Plate deformation curves in the direction of x due to different Ez(y=0)

圖5 不同土體Ez時(shí)板位移在y方向的波形(x=0)Fig.5 Plate deformation curves in the direction of y due to different Ez(x=0)

從圖2～5可以看出,土體的各向異性對(duì)板沿x和y方向的位移都有較大影響.在x方向的波形中，負(fù)的最大位移均出現(xiàn)在荷載作用范圍外的左側(cè)，曲線不對(duì)稱；在y方向的波形中，板位移曲線關(guān)于y=0對(duì)稱.隨著k1即Ey的增加，板位移最大值略有增加，各向同性時(shí)的最小，k1=1.2和k1=2時(shí)的曲線在離荷載作用中心點(diǎn)約2 m范圍內(nèi)非常接近.隨著k2即Ez的增加，板位移的最大值卻明顯減小，各向同性時(shí)的值僅大于k2=2的值.離荷載中心點(diǎn)較遠(yuǎn)處的板位移曲線有明顯的振動(dòng)，但是振幅較小并趨于平緩，且在某些范圍內(nèi)有負(fù)值出現(xiàn)．如果板的變形過大，可以適當(dāng)增加土體z向的彈性模量Ez，或者減小y向的彈性模量Ey．

4 結(jié)論

筆者研究了移動(dòng)諧振荷載作用下正交各向異性地基上覆無限大板的空間動(dòng)力響應(yīng)問題，得到了動(dòng)力響應(yīng)的積分形式解．對(duì)移動(dòng)諧振荷載作用下公路路面板動(dòng)力穩(wěn)態(tài)問題進(jìn)行了算例分析并進(jìn)行了參數(shù)分析，研究了土體參數(shù)對(duì)板位移影響規(guī)律．?dāng)?shù)值分析結(jié)果表明：(1)考慮土體的正交各向異性更能準(zhǔn)確描述路基路面相互作用的動(dòng)力響應(yīng)；(2)Ey對(duì)板變形影響很小，而Ez對(duì)板變形的影響卻很大，要綜合考慮各種因素設(shè)計(jì)合適的地基彈性模量．