專業(yè)自主“用教材教”，重組學(xué)材同課異構(gòu)
——對兩節(jié)“一元二次方程起始課”的評析

☉江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校 王 龍

最近觀摩兩節(jié)“一元二次方程起始課”的同課異構(gòu)，教師都能發(fā)揮專業(yè)自主性，源于教材、高于教材，做到學(xué)材再建構(gòu)，課堂上從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，“漸次豐滿”學(xué)生的已有經(jīng)驗，層層遞進(jìn)，推進(jìn)學(xué)程，均取得較好的教學(xué)效果.當(dāng)然，教學(xué)是遺憾的藝術(shù)，總還有一些教學(xué)設(shè)計與習(xí)題選擇值得商榷，本文先整理兩節(jié)課的教學(xué)流程，并給出評課意見，供研討.

一、兩節(jié)一元二次方程起始課的教學(xué)概述

課例1：一元二次方程起始課

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）基于學(xué)生已有經(jīng)驗引出新知

問題1：同學(xué)們對一元一次方程有哪些認(rèn)識？請先在小組內(nèi)交流一下，再大組匯報.

問題2：先給出3個不同的一元二次方程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與一元一次方程有什么共同點(diǎn)，有什么不同點(diǎn)，未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少.

教學(xué)組織：學(xué)生觀察后歸納出共同特征，類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）歸納一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理得到如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0），這種形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.講評時，可以類比一次函數(shù)的一般形式，引導(dǎo)學(xué)生對比概念之間的聯(lián)系.

接下來，安排一組練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生辨析、鞏固概念.

問題3：以下方程是否為一元二次方程？如果是，請說說二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項；如果不是，請說明理由.

（1）4x2=81；（2）2（x2-1）=3y；（3）3x（x＋1）=4（x＋2）；（4）；（5）關(guān)于x的方程mx2-3x+2=0（m≠0）.

變式題組：（1）若（a-1）x2+ax-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍為______.

（2）已知關(guān)于x的方程（|a|-1）x2+（a-1）x-1=0.

①若它是關(guān)于x的一元二次方程，求a的取值范圍；

②若它是關(guān)于x的一元一次方程，求a的值.

（3）已知關(guān)于x的方程（a-1）x|a|+1+ax-1=0，當(dāng)a為何值時，該方程是一元二次方程？

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）一元二次方程的根的意義

問題4：下面哪些數(shù)是方程x2-x-6=0的解？

-3，-2，-1，0，1，2，3.

問題5：已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程2x2＋kx-1=0的一個根，求k的值.

跟進(jìn)練習(xí)：利用平方根的意義解簡單的一元二次方程.

（1）x2-27=0；（2）（x＋3）2=5；（3）x2-2x+1=16.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）小結(jié)與作業(yè)（略）

簡評：這個課例通過回憶建構(gòu)研究方程的基本模型，通過類比自主建構(gòu)一元二次方程的定義等相關(guān)概念，合作探究簡單的一元二次方程的解法，從學(xué)生已有的一元一次方程經(jīng)驗，類比得出一元二次方程的概念，并共同歸納出一般形式，定義了一元二次方程根的概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根并不具有唯一性.作為學(xué)材重組的追求，教師沒有停留在“照本宣科”的層次，而是繼續(xù)組織學(xué)生利用直接開平方解形如（x＋q）2=p（p≥0）的方程，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程的解法奠定了基礎(chǔ).從課堂教學(xué)過程來看，這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)仍然是一元二次方程及其有關(guān)概念.當(dāng)然，該課例中也有一些習(xí)題的導(dǎo)向不當(dāng)，比如，“問題3”之后的變式題組就是不恰當(dāng)?shù)?，是對概念教學(xué)的歪曲理解，屬于人為編造的“垃圾題”“劣質(zhì)題”，因為這類習(xí)題不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，只是讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)習(xí)題的“無趣”與“坑人”.

課例2：一元二次方程及其解法

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）精選生活現(xiàn)實，列出方程引入課題

開課后先用PPT出示生活問題：如何用一張長16cm、寬12cm的硬紙片做成一個底面積為96cm2的無蓋的長方體盒子？

教學(xué)組織：學(xué)生列出方程解決，出現(xiàn)一個陌生的方程，教師可給出一個方程2x-1=3，讓學(xué)生回顧這是一元一次方程，復(fù)習(xí)一元一次方程的概念，并比較兩個方程是否相同，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗給這種新的方程取個名字（一元二次方程），引出課題，教師板書.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）類比歸納，生成新知

師：能嘗試給一元二次方程下個定義嗎？

①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2（注意是合并同類項之后）；③整式方程.（教師完善一元二次方程的定義的板書）進(jìn)一步指出，一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0），這種形式叫作一元二次方程的一般形式.

鞏固訓(xùn)練：

題1：關(guān)于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？說明你判斷的依據(jù).

題2：將下列方程化成一元二次方程的一般式，并說出各項及二次項、一次項的系數(shù)：

①（x+1）2-2（x-1）2=6x-5；②3x（x-1）=（x+2）-4；③（x+2）（x-4）=7.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）探究特殊形式的一元二次方程的解法

問題：以x2-4=0為例，來研究一元二次方程的解法.

教學(xué)組織：根據(jù)之前乘方、開方互為逆運(yùn)算的經(jīng)驗，請學(xué)生嘗試解這個方程.

變式跟進(jìn)：小組研究方程3x2-5x=0和x2-2x-15=0的解法.

教學(xué)組織：學(xué)生聯(lián)想到利用因式分解來降次，轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程求解.針對學(xué)生探索出來的解法進(jìn)行評析，引導(dǎo)學(xué)生說明是如何解出的，悟出并歸納概括解一元二次方程的基本思想——降次.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）課堂小結(jié)，檢測反饋（略）

簡評：這節(jié)課開課階段選擇從生活現(xiàn)實出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生列出一元二次方程后，類比一元一次方程來定義，并通過題組進(jìn)行新知的訓(xùn)練，然后從特殊的一元二次方程出發(fā)，讓學(xué)生運(yùn)用直接開方法求解，在此基礎(chǔ)上研究較為復(fù)雜的一元二次方程的解法，學(xué)生獨(dú)立摸索出因式分解降次求解之后，引導(dǎo)學(xué)生感悟并概括“降次”是高次方程求解的關(guān)鍵.

二、評課與商榷

1.踐行“用教材教”，基于學(xué)情重組教材

兩節(jié)課都體現(xiàn)了教師的專業(yè)自主意識，沒有拘泥于教材第1小節(jié)的內(nèi)容，大膽重組教材內(nèi)容，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容較為充實，而不是以大量的訓(xùn)練一元二次方程的定義、解的定義的習(xí)題來延長教學(xué)時間.從教學(xué)內(nèi)容的選定也可看出這些教者基于學(xué)情精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容的良苦用心，從教學(xué)效果來看，學(xué)生在這些問題的驅(qū)動之下，自然而然得出定義、解法等教學(xué)內(nèi)容，說明教師“用教材教”是成功的.

2.習(xí)題變成“問題”，問題驅(qū)動推進(jìn)學(xué)程

相比較而言，“課例1”是以很多“問題串”來驅(qū)動學(xué)程，教學(xué)進(jìn)程緊湊，學(xué)生的思維被充分調(diào)動，并“卷入”到課堂教學(xué)中來，思維含金量高，比如，獨(dú)立思考的人數(shù)多，且獨(dú)立思考的問題有質(zhì)量，在思考之后學(xué)生在小組內(nèi)能夠有效合作，合作學(xué)習(xí)質(zhì)量高，隨后在全班交流中，學(xué)生能積極主動展示，形式多樣，展示規(guī)范有質(zhì)量.相對而言，“課例2”中學(xué)生的活躍度不及“課例1”，可能與預(yù)設(shè)的問題有關(guān)，比如，有些問題過分簡單，有些問題偏難，特別是解法探究的最后階段，涉及兩個需要因式分解的一元二次方程，較有難度.建議選取能運(yùn)用直接配方法求解的一元二次方程，這樣學(xué)生可以從直接開方法拾級而上，想到配成完全平方式，再運(yùn)用開方法求出方程的根.

3.課堂小結(jié)值得重視，加強(qiáng)前后關(guān)聯(lián)呼應(yīng)

從兩節(jié)課來看，課堂小結(jié)都比較常規(guī)，無甚新意，所提小結(jié)問題也多是泛泛而談，沒有體現(xiàn)“聚意點(diǎn)睛”和“生長發(fā)展”的小結(jié)特點(diǎn).比如，我們可安排學(xué)生回看本課所學(xué)，從什么問題出發(fā)？如何得到新的概念？基于怎樣的“研究路徑”開展這節(jié)課的研究或?qū)W習(xí)？研究過程中遇到了哪些困難？是如何攻克這些困難的？還有哪些問題需要繼續(xù)研究？我們可以運(yùn)用怎樣的方法繼續(xù)開展研究？本課解題練習(xí)中哪道習(xí)題給你留下了深刻的印象？你有怎樣的解題經(jīng)驗與同學(xué)們分享？這樣來設(shè)計課堂小結(jié)問題，就可以使得學(xué)生能對本課所學(xué)進(jìn)行全面的回顧和反思，前后的教學(xué)環(huán)節(jié)得到了關(guān)聯(lián)與呼應(yīng)，而且對后續(xù)學(xué)習(xí)展開了眺望，追求“生長式小結(jié)”，是值得我們積極踐行的.