☉江蘇省吳江中學(xué) 苗春蘭
高考試題的命題原則是按照考試大綱來(lái)完成的,注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、能力和方法的考查,很多時(shí)候?qū)W生可以通過(guò)“通性通法”來(lái)完成解題.隨著教育改革的發(fā)展,高考數(shù)學(xué)更加注重對(duì)學(xué)生能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查,近些年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題中的部分問(wèn)題出現(xiàn)了“難題競(jìng)賽化”的趨勢(shì),很多數(shù)學(xué)題都來(lái)源于數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.作為一線高中數(shù)學(xué)教師,要正視數(shù)學(xué)競(jìng)賽,完全可將它作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的必要補(bǔ)充,在例題上加以延伸和拓展,從而提高學(xué)生的解題視野,以及數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果.
隨著教育改革的實(shí)施,高考數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的考查不僅在知識(shí)與解題技巧上,更加注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的考查.通過(guò)對(duì)近些年的高考數(shù)學(xué)試題的分析,我們不難發(fā)現(xiàn),很多題型涉及了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的相關(guān)知識(shí).并且,我國(guó)朱華偉研究院提出了“競(jìng)賽數(shù)學(xué)正在逐漸向中學(xué)數(shù)學(xué)滲透,促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革”的意見(jiàn),數(shù)學(xué)競(jìng)賽能夠給高中數(shù)學(xué)注入新鮮的血液.由此可見(jiàn),高考數(shù)學(xué)與競(jìng)賽數(shù)學(xué)之間有著密切的聯(lián)系.我們將近些年的部分高考數(shù)學(xué)壓軸題與數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題加以對(duì)比,就會(huì)輕易發(fā)現(xiàn)這些題目在本質(zhì)上是一樣的,都是由數(shù)學(xué)競(jìng)賽中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想演化而來(lái).不同的是,高考數(shù)學(xué)將這一問(wèn)題劃分成了幾個(gè)“臺(tái)階”,學(xué)生能夠一步一步來(lái)完成.數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題以它獨(dú)特的視角和創(chuàng)新性的特征受到了很多出題者的青睞,他們更愿意選擇這類題型來(lái)考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和思維來(lái)解決非常規(guī)問(wèn)題的能力,把高考數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)競(jìng)賽相結(jié)合的命題方式將成為未來(lái)高考數(shù)學(xué)的命題新趨勢(shì).
競(jìng)賽數(shù)學(xué)中涵蓋了大部分的高考數(shù)學(xué)考試大綱中的內(nèi)容,它的形式更加靈活,內(nèi)容更加豐富,借助這一特點(diǎn),能夠創(chuàng)造出更加新穎的高考數(shù)學(xué)試題.在高考數(shù)學(xué)中,很多試題就是借助數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的相關(guān)定理為背景來(lái)設(shè)計(jì)的.例如,特征方程就是高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的以數(shù)學(xué)競(jìng)賽定理為背景的試題.像an+1=p·an+q·an-1的二階遞推式求通項(xiàng)公式的問(wèn)題,就可以借助特征方程x2=p·x+q來(lái)快速求解.其中,如果方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根x1,x2,那么就可以構(gòu)造出兩個(gè)等比數(shù)列{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an},進(jìn)而求出通項(xiàng){an+1-x1·an}和{an+1-x2·an},再將an+1、an看成未知數(shù)求出an的表達(dá)式;如果方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根,則先求出an+1-x1·an,然后再用待定系數(shù)法求出an的表達(dá)式.
例1已知數(shù)列{xn},其中(n≥3),如果limn→∞xn=2,求x1的值是多少?
學(xué)生在解決這一問(wèn)題的時(shí)候,如果按照常規(guī)思路將原式進(jìn)行轉(zhuǎn)化得出難度較大,借助特征方程的相關(guān)知識(shí),能夠順利的完成求解.
在該類型的考題中,還有些問(wèn)題涉及“伯努利——?dú)W拉裝錯(cuò)信箋”問(wèn)題,該類題型的意思如下:著名的瑞士數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題:某一人寫(xiě)了n(n∈N+)封信,并且都寫(xiě)上了對(duì)應(yīng)的地址,那么此人裝錯(cuò)所有信封的幾率是多少呢?之后,瑞士的一位數(shù)學(xué)家歐拉提出了運(yùn)用數(shù)列的方法解決這一問(wèn)題],歐拉提出的這一方法,關(guān)鍵在于尋找目標(biāo)數(shù)列的遞推公式xn+2=(n-1)(xn+1+xn),難點(diǎn)就在于如何求解這一通項(xiàng)公式.當(dāng)n≥2時(shí),上式就可以化簡(jiǎn)為伯努利——?dú)W拉裝錯(cuò)信箋的問(wèn)題常常游走在高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽題型之間,如果學(xué)生在高考前期接觸了這類競(jìng)賽型,那么他們就能夠運(yùn)用這一知識(shí)點(diǎn)快速地完成解題.
例2有個(gè)人給他的6不同的朋友寫(xiě)了6封不同的信,然后又寫(xiě)了6個(gè)信封,那么此人在投放信件的時(shí)候,有幾種方法使得信箋和收件人都不相同?
問(wèn)題分析:如果早期接觸過(guò)“伯努利——?dú)W拉裝錯(cuò)信箋”問(wèn)題,就可以直接應(yīng)用這一結(jié)論得出所以,此人有265種方法使得信箋和收件人都不相同.
以數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題技巧為背景的高考數(shù)學(xué)試題的解題技巧有很多,下面主要介紹構(gòu)造法的應(yīng)用.在高考數(shù)學(xué)試題的解題中,我們需要通過(guò)構(gòu)造條件與結(jié)論之間的“橋梁”來(lái)實(shí)現(xiàn)解題,期中構(gòu)造橋梁的方法就是“構(gòu)造法”.構(gòu)造法是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中較為常用的一種解題技巧,主要包括構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造坐標(biāo)和構(gòu)造向量等,需要學(xué)生借助自身敏銳的觀察能力和扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)來(lái)完成.
構(gòu)造函數(shù)法就是通過(guò)對(duì)題目的透徹分析,然后構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的函數(shù),并借助函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)完成求解.
例3如果不等式的解集區(qū)間為[a,b],并且b-a=1,那么k的值是多少?
問(wèn)題分析:通過(guò)觀察我們不難發(fā)現(xiàn),題目中給出的不等式為無(wú)理不等式,利用不等式的相關(guān)知識(shí)解決起來(lái)難度較大,因此我們可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式進(jìn)行求解.令,通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以看出,半圓在直線y=k(x+1)下方時(shí),x∈(1,2),此時(shí)直線y=k(x+1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)
構(gòu)造方程就是根據(jù)已知條件中的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)造出新的方程和方程組,并借助方程的相關(guān)知識(shí)完成解題,在構(gòu)造方程進(jìn)行解題的過(guò)程中,關(guān)鍵在于挖掘題目中能夠構(gòu)造方程的隱含條件.
例4已知x,y均為實(shí)數(shù),如果4x2+y2+xy=1,那么2x+y的最大值是多少?
問(wèn)題分析:面對(duì)這一題目,常規(guī)的解題思路是借助不等式a2+b2≥2ab的變形去求解,這樣的解題過(guò)程較為復(fù)雜.題目中隱含著2x+y和2xy之間的數(shù)量關(guān)系,如果我們通過(guò)構(gòu)造方程的形式來(lái)進(jìn)行求解,那么整個(gè)解題過(guò)程就會(huì)變得更加簡(jiǎn)單.將4x2+y2+xy=1變形可得(2x+y)2-3xy=1,令t=2x+y,則,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得知2x,y分別是方程的兩個(gè)根.又因?yàn)閤,y均為實(shí)數(shù),那么2x,y也為實(shí)數(shù)0,則所以2x+y的最大值是
構(gòu)造坐標(biāo)法就是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的方式,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題去求解,同樣,我們也可以根據(jù)解題需要,將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題去求解.
例5已知在△ABC中,AB=2,那么該三角形的最大面積是多少?
問(wèn)題分析:常規(guī)的解題思路是利用三角形的面積公式去求解,這樣的求解步驟較多,容易出錯(cuò).這就要求學(xué)生打破思維,創(chuàng)造性地運(yùn)用坐標(biāo)法去求解.以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,那么A(-1,0),B(1,0),設(shè)C(x,y),因?yàn)?,所以,整理可得(x-3)2+y2=8(y≠0).所以當(dāng)時(shí),三角形的面積最大是
高考數(shù)學(xué)試題與數(shù)學(xué)競(jìng)賽有著密切的聯(lián)系,很多數(shù)學(xué)競(jìng)賽部分的知識(shí)被靈活地運(yùn)用到了高考數(shù)學(xué)中,以此來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維能力,研究高考數(shù)學(xué)試題與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的聯(lián)系對(duì)于提高數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義.