壓電材料雙曲殼熱彈耦合作用下的混沌運(yùn)動?

李林利 薛春霞

(中北大學(xué)理學(xué)院,太原 030051)

(2018年9月15日收到;2018年11月14日收到修改稿)

運(yùn)用彈性力學(xué)有限變形基本理論推導(dǎo)出了壓電材料雙曲殼在外激力和溫度場作用下的非線性振動方程和協(xié)調(diào)方程.通過Bubnov-Galerkin原理,得到該結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)方程.利用Melnikov方法,得到系統(tǒng)產(chǎn)生Smale馬蹄變換意義下混沌的條件,用四階Runge-Kutta法編寫程序?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解,并繪制出相應(yīng)的分岔圖、Lyapunov指數(shù)圖、相軌跡圖以及Poincaré截面圖,分析了溫度場對壓電材料雙曲殼系統(tǒng)的非線性特性的影響.仿真結(jié)果表明,隨著溫度的升高,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn),溫度場的改變可影響和控制系統(tǒng)的振動特性.

1 引 言

隨著現(xiàn)代高新科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,壓電材料作為智能材料的一種,具有薄而輕、成本低、響應(yīng)速度快、轉(zhuǎn)換效率高、壽命長等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于眾多高科技設(shè)備和壓電智能器件中.而雙曲殼結(jié)構(gòu)作為工程中常見的結(jié)構(gòu)之一,常在機(jī)械場和溫度場等多場作用的環(huán)境下工作,其動力特性對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)安全有重要影響.因此對壓電材料雙曲殼在熱彈耦合作用下的動力學(xué)分析具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值.國內(nèi)外學(xué)者針對普通彈性梁板結(jié)構(gòu)在熱、電、磁多物理場耦合作用下混沌非線性動力學(xué)行為的研究,已取得了一定的成果[1-5].薛春霞等[6]分析了磁感應(yīng)強(qiáng)度和外載荷對金屬薄板振動特性的影響.陳趙江等[7]通過實(shí)驗(yàn)方法和理論推導(dǎo)對高功率超聲脈沖激勵下金屬薄板的振動特性進(jìn)行了分析研究.與此同時(shí),對一些特殊功能材料板振動問題的研究也取得了顯著成就[8,9].Hao等[10]首次在熱環(huán)境下分析了簡支功能梯度材料(FGMS)矩形板在橫向和平面激勵下的非線性動力學(xué)問題.栗蕾[11]系統(tǒng)地研究了考慮初始缺陷的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)行為和系統(tǒng)整體穩(wěn)定性等問題.周運(yùn)朱[12]通過幾何非線性和幾何材料雙重非線性,分析和考察了復(fù)雜曲面單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性能.曹洲等[13]分析了各物理參數(shù)和溫度場對功能梯度夾層雙曲殼自由振動固有頻率的影響.此外,數(shù)值模擬驗(yàn)證非線性系統(tǒng)的混沌動力學(xué)特性方面的研究對理論的分析奠定了必要的基礎(chǔ)[14-16].

綜上所述,對于雙曲殼結(jié)構(gòu)在熱彈耦合作用下的混沌運(yùn)動研究的較少.本文以壓電材料雙曲殼結(jié)構(gòu)為研究對象,通過MATLAB軟件建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,對在溫度場和簡諧外激勵共同作用下的非線性振動行為進(jìn)行分析.結(jié)果表明,溫度場的改變可影響和控制系統(tǒng)的振動特性.

2 壓電材料雙曲殼的基本方程

薄殼振動理論的基本假設(shè):

1)變形前垂直中曲面的直線在變形后仍保持直線,并垂直中曲面;

2)沿中曲面垂直方向的法向應(yīng)力忽略不計(jì);

3)忽略不計(jì)轉(zhuǎn)動慣性力矩和面內(nèi)慣性力.

四邊簡支壓電材料雙曲殼模型如圖1所示,在雙曲殼模型的中面建立正交曲線坐標(biāo)系(x1,x2,x3),坐標(biāo)原點(diǎn)為o點(diǎn).圖中x1,x2分別是中面曲率線方向,x3表示沿著厚度的方向,向上為正方向;a表示沿x1坐標(biāo)方向的中面曲線長度,b表示沿x2坐標(biāo)方向的中面曲線長度;R1,R2分別表示x1,x2坐標(biāo)方向上的曲率半徑;h表示雙曲殼的厚度.

圖1 壓電材料雙曲殼模型Fig.1.Hyperbolic shell model for piezoelectric materials.

對于橫觀各向同性壓電材料的雙曲殼,在考慮溫度效應(yīng)時(shí)的壓電方程[17]如下:

其中t31=Eα/(1-2υ)為熱-機(jī)械耦合常數(shù),E和υ分別為楊氏模量和泊松比,α為線性膨脹系數(shù);C為比熱,c11,c12,c21,c22,c66表示壓電材料的剛度;e31為壓電系數(shù),ε3為介電系數(shù),m3為熱-壓電耦合常數(shù),E3為電場,T為溫度增量;而σ1,σ2和τ12分別表示x1方向和x2方向的正應(yīng)力和切應(yīng)力;DE表示電位移,S表示熵,α0=C/T0,T0是初始溫度.

應(yīng)用已知的扁殼大撓度幾何方程,得到雙曲殼的位移應(yīng)變關(guān)系為[18]:

其中,k1=1/R1,k2=1/R2.

設(shè)變溫T(x1,x2,x3)=T0(x1,x2)+x3(x1,x2),其中,T0(x1,x2)是初始狀態(tài)時(shí),沿殼體厚度方向分布的平均溫度,(x1,x2)是溫度梯度.設(shè)f1(ξ,η)和f2(ξ,η)是殼體的內(nèi)、外表面的溫度,而且

其中,

薄膜內(nèi)力

彎曲內(nèi)力

雙曲殼的運(yùn)動方程[19]

其中,Q1,Q2分別是垂直于x1軸及垂直于x2軸的截面上單位寬度的橫向剪力.通過引入Airy應(yīng)力函數(shù)φ可以簡化求解過程:

將(7)式代入(5)式,再代入方程(6),由于c11=c22,注意到c11=c12+2c66,可得到壓電材料矩形板的橫向熱振動方程如下:

協(xié)調(diào)方程為:

?Γ為高斯曲率的改變,

由于雙曲殼是扁殼,可近似地由撓度w所產(chǎn)生的中曲面的主曲率和扭率表示

結(jié)合(1),(2)和(7)式,并代入方程(9)中,協(xié)調(diào)方程變型為

方程(8)和(11)是熱彈耦合作用下的薄殼大撓度問題的非線性振動方程組.不考慮材料壓電特性時(shí),對比文獻(xiàn)[20,21],對于熱彈耦合作用下的普通彈性板殼結(jié)構(gòu)該方程組仍適用,故本文的方法和結(jié)論具有可靠性.

四邊簡支的雙曲殼的邊界條件為:

為簡化計(jì)算,令R1=R2=R,引入無量綱參數(shù)ξ=x1/R,η=x2/R,橫向位移w設(shè)為

式中α1= πR/a,β1= πR/b.

由方程(8)得:

將方程(12)代入方程(11),解出應(yīng)力函數(shù)φ再代入方程(8),利用Bubnov-Galerkin原理,由

其中

求得

其中,

引入:w0(t)=f(t)+并代入方程(16),得到:

3 系統(tǒng)非線性分岔與混沌分析

方程(17)可改寫為我們熟悉的非線性動力系統(tǒng)的形式:

(18)式是熱彈耦合作用下的非線性動力學(xué)方程.其中,

λ1,λ2均大于0,便是我們要求的熱彈耦合作用下雙曲殼的大撓度問題的非線性動力系統(tǒng).

雙曲殼在強(qiáng)迫振動作用下的非線性動力系統(tǒng)的無擾動力系統(tǒng)為

系統(tǒng)(19)的Hamilton量為

H值由運(yùn)動的初始條件確定.從物理意義上看,方程(19)可看成是描述單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在外力-λ1x+λ2x2-λ3x3作用下所做的運(yùn)動,而Hamilton量中表示質(zhì)點(diǎn)的動能,表示外力對質(zhì)點(diǎn)所做功的負(fù)值,即為勢能,H代表系統(tǒng)總的機(jī)械能.不同的H值,(20)式代表相平面上不同的曲線.

無擾動系統(tǒng)的Jocabi矩陣為

特征方程為

圖2 同宿軌道Fig.2.Homoclinic orbit.

可解出同宿軌道的參數(shù)方程為

對動力系統(tǒng)定義Melnikov函數(shù)

由Melnikov理論可知,若Melnikov函數(shù)存在零點(diǎn),則穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形相交,存在不變集合,系統(tǒng)有可能會出現(xiàn)混沌.(24)式中等式右端第一項(xiàng)是阻尼力δ˙x沿軌道所做的功,第二項(xiàng)是以τ所處位置為出發(fā)點(diǎn)外力沿軌道所做的功.

令

使|sinωτ|<1,得到

且僅當(dāng)(26)式成立時(shí),動力系統(tǒng)(18)具有Smale馬蹄變換意義下的混沌運(yùn)動的閾值條件.如圖3所示,曲線上方表示可能出現(xiàn)混沌的參數(shù)范圍.

圖3 混沌閾值曲線Fig.3.Chaotic threshold curve.

4 數(shù)值計(jì)算

本文通過MATLAB中simulink仿真模塊對系統(tǒng)建模,具體的仿真模型如圖4所示.取雙曲殼結(jié)構(gòu)的材料為BaTiO3陶瓷,材料參數(shù)列于表1.雙曲殼長a=400 mm,寬b=400 mm,厚h=70 mm,曲率半徑R1=R2=500 mm.將這些參數(shù)代入(26)式計(jì)算,通過改變溫度T0的大小,使方程(26)成立時(shí),系統(tǒng)就可能出現(xiàn)Smale馬蹄變換意義下的混沌.

表1 鈦酸鋇材料參數(shù)[22]Table 1.Barium titanate material parameters[22].

利用四階Runge-Kutta法編制數(shù)值仿真程序,通過改變溫度T0得到系統(tǒng)的分岔圖和相對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖,如圖5和圖6所示.可以看出隨著溫度的增加,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn).由圖6可看出,溫度T0在32?C和41?C附近以及36?C—37?C的范圍內(nèi),Lyapunov指數(shù)小于0,對應(yīng)圖5中的周期區(qū);而當(dāng)圖6中的Lyapunov指數(shù)大于0時(shí),對應(yīng)圖5中的混沌區(qū).

圖4 仿真模型Fig.4.Simulation model.

圖5 隨溫度T0變化的分岔圖Fig.5.Bifurcation diagram with temperature T0change.

圖6 隨溫度T0變化的Lyapunov指數(shù)圖Fig.6.Lyapunov exponent diagram varying with temperature T0.

當(dāng)ω0=17 Hz,q0=200 N/m2時(shí),通過改變溫度T0的大小,分別做出熱彈耦合作用下雙曲殼系統(tǒng)的相圖和Poincaré截面圖.

由上面的分析可知,仿真結(jié)果和Melnikov方法的判定一致.此外,仿真結(jié)果反映出的混沌運(yùn)動更加復(fù)雜,隨著溫度的增加,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn),而Melnikov方法是無法得到這樣的結(jié)論的.

由圖7—圖9可以看出,圖7相圖和時(shí)程曲線很規(guī)整,相圖繞了2圈,Poincaré映射為兩個點(diǎn),故代表周期為2的運(yùn)動;同理可知,圖8代表周期為三的運(yùn)動.由圖7和圖8可看出,k周期運(yùn)動有明顯的周期重復(fù)性,對應(yīng)的相圖繞k圈,Poincaré截面圖顯示k個點(diǎn).而圖9的相圖軌跡互不重疊,相互纏繞,Poincaré截面圖也雜亂無章,結(jié)合這組參數(shù)已落在Melnikov函數(shù)和系統(tǒng)分岔圖給定的混沌區(qū),且對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)大于0,因此可判斷圖9代表著混沌運(yùn)動.

從計(jì)算結(jié)果可以看出,壓電材料雙曲殼在四邊簡支的條件下,隨著溫度場的變化,會改變系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài).就物理意義而言,溫度的變化給系統(tǒng)的剛度造成了附加效應(yīng).由(16)式可看出,溫度的變化使l1發(fā)生變化,相當(dāng)于系統(tǒng)的剛度發(fā)生變化,從而影響和改變了系統(tǒng)的振動特性.

圖7 T0=22?C時(shí)的相圖和Poincaré截面圖Fig.7.Phase diagrams and Poincaré section diagrams at T0=22 ?C.

圖8 T0=36?C時(shí)的相圖和Poincaré截面圖Fig.8.Phase diagrams and Poincaré section diagrams at T0=36 ?C.

圖9 T0=45?C時(shí)的相圖和Poincaré截面圖Fig.9.Phase diagrams and Poincaré section diagrams at T0=45 ?C.

5 結(jié) 論

本文研究了熱彈耦合效應(yīng)下簡支的壓電材料雙曲殼的動力學(xué)行為.利用Melnikov理論,推導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動的判據(jù),通過MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,在熱彈耦合作用下系統(tǒng)的振動方程具有明顯的非線性,隨著溫度的增加,運(yùn)動行為較復(fù)雜,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn).因此,控制和調(diào)整溫度場的變化,可實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài),為系統(tǒng)安全性和可靠性提供參考.