三維各向同性諧振子的幾何動(dòng)量分布?

劉全慧 張夢(mèng)男 肖世發(fā)2) 尋大毛1

)(湖南大學(xué)物理與微電子科學(xué)學(xué)院,理論物理研究所,長(zhǎng)沙 410082)

2)(嶺南師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湛江 524048)

3)(江西科技師范大學(xué)通信與電子學(xué)院,南昌 330013)

(2018年9月3日收到;2018年11月6日收到修改稿)

盡管幾何動(dòng)量最初的引入是為了描述超面上的運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量,卻不需要限制在真實(shí)的曲面上.如果一個(gè)曲線坐標(biāo)系包含了超面族和超面上的法向矢量作為一個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量,幾何動(dòng)量可以定義在超面族上,并參與構(gòu)造對(duì)易力學(xué)量完全集.在三維各向同性諧振子中,采用球坐標(biāo)描述,存在等效球面,并在球面族上建立對(duì)易力學(xué)量完全集.因此,三維各向同性諧振子同時(shí)具有動(dòng)量和幾何動(dòng)量分布.這兩個(gè)動(dòng)量的差,可以定義為徑向動(dòng)量,從而使得徑向動(dòng)量可以測(cè)量.那么,通過(guò)幾何動(dòng)量,可以顯示出狄拉克引進(jìn)的徑向動(dòng)量的物理意義,而不是一直認(rèn)為的那樣完全不具有觀測(cè)意義.

1 引 言

為了恰當(dāng)?shù)孛枋黾s束在超曲面上粒子的量子運(yùn)動(dòng),2011年正式引入了幾何動(dòng)量[1],2015年幾何動(dòng)量獲得實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證[2].如何把這一動(dòng)量納入到狄拉克正則量子化的框架之中,2012年至2018年間進(jìn)行了一系列的探索[3-12],2018年這一問(wèn)題獲得解決[11,12].

幾何動(dòng)量、幾何勢(shì)能等幾何量[1,3,9,10]可以循如下步驟而獲得.把幾何面想象成有均勻厚度的一個(gè)薄層,如果在這個(gè)薄層中定義動(dòng)量,然后讓薄層的厚度趨于零,在經(jīng)典力學(xué)中,和直接在曲面上定義動(dòng)量完全一樣.但是,在量子力學(xué),情況則完全不同.首先需要在這個(gè)薄層中寫(xiě)下薛定諤方程,然后讓薄層的厚度趨于零,則薛定諤方程分離成兩個(gè)獨(dú)立的部分,一個(gè)沿曲面法向方向的方程,一個(gè)沿曲面切向方向的方程.法向方向的運(yùn)動(dòng),由于自由度凍結(jié),僅僅處在基態(tài)上.這時(shí)可以發(fā)現(xiàn)切向運(yùn)動(dòng)的微分算符會(huì)多出依賴(lài)于曲率的項(xiàng),例如動(dòng)量由-i變?yōu)槿缦滤惴鹥Σ,動(dòng)能算符-2?2/(2μ)→-2?2LB/(2μ)+Vg,

其中n為超曲面上的單位法矢量,梯度算符?定義在超曲面所嵌的平直空間中,?Σ為曲面上的梯度算符,?2LB為曲面上的Laplace-Beltrami算符.因?yàn)樵谌我饩S的超曲面上,-?·n定義為曲面的平均曲率,幾何勢(shì)能也依賴(lài)于平均曲率,所以(1)式中的算符pΣ稱(chēng)之為幾何動(dòng)量,Vg稱(chēng)之為幾何勢(shì)能.這樣定義的幾何動(dòng)量、幾何勢(shì)能不因曲面上參數(shù)的改變而改變,都是幾何不變量.很容易想到,任何包含幾何動(dòng)量和Laplace-Betrami算符及其冪次的力學(xué)量,都將出現(xiàn)依賴(lài)平均曲率的項(xiàng)[9,10].

從引入動(dòng)量的過(guò)程可以看出,動(dòng)量可以不必建立在真實(shí)的曲面上.設(shè)超面為N維,曲面的附近有一點(diǎn),則這一點(diǎn)的位置可以按如下兩種方式?jīng)Q定下來(lái).第一種方式很簡(jiǎn)單,就是在曲面的高一維的平直空間中,直接用直角坐標(biāo)描述,即r=(x1,x2,···,xN+1).第二種方式就是采用所謂的高斯法向坐標(biāo),即N個(gè)坐標(biāo)為曲面內(nèi)的坐標(biāo)參數(shù),不妨設(shè)為(α1,α2,···,αN),第N+1個(gè)坐標(biāo)取在曲面的法線方向上,不妨設(shè)為β.毫無(wú)疑問(wèn),這兩種方法完全等價(jià),即二者之間可以進(jìn)行坐標(biāo)變換,

其中α為N個(gè)曲面中的坐標(biāo)(α1,α2,···,αN)的簡(jiǎn)寫(xiě).把梯度算符寫(xiě)在高斯法向坐標(biāo)中,即

注意到N+1維平直空間中的動(dòng)量算符的定義為p=-i,每個(gè)分量都可以測(cè)量.從高斯法向坐標(biāo)中法向分量的角度看,動(dòng)量的這個(gè)分量-i必須厄米化,即法向的動(dòng)量是

于是

對(duì)于N維的超球面,

由于

即可得(5)式中的第二部分即法向動(dòng)量,也就是所謂的徑向動(dòng)量[13],

對(duì)于二維球面N=2,pr=-i(?r+1/r)n.

眾所周知,徑向動(dòng)量不是數(shù)學(xué)上的自伴算符,故“沒(méi)有觀測(cè)意義”[14-16].但是,狄拉克堅(jiān)持認(rèn)為這是一個(gè)有意義的量子力學(xué)算符,卻沒(méi)有說(shuō)明測(cè)量它的具體方案[13].注意到(5)式中的第一部分即所謂的幾何動(dòng)量,它是自伴算符.為什么(5)式中左邊的算符是自伴算符,右邊的兩個(gè)算符一個(gè)自伴一個(gè)不自伴?這是可能的,因?yàn)槿齻€(gè)算符各自作用的空間不同.(5)式提示出法向動(dòng)量可以定義等效算符

利用這一等效算符,就可以解決法向動(dòng)量不具有自伴性卻可以計(jì)算出不確定度這二者之間的矛盾[17],另外還發(fā)現(xiàn)了幾何動(dòng)量在磁單極-電荷系統(tǒng)中和幾何相位之間的聯(lián)系[18].本文利用三維各向同性諧振子系統(tǒng),通過(guò)動(dòng)量和幾何動(dòng)量之間的關(guān)系,繼續(xù)考察徑向動(dòng)量可測(cè)量性等問(wèn)題.

本文第2節(jié)建立三維各向同性諧振子的動(dòng)量和幾何動(dòng)量的分布普遍理論,第3節(jié)是具體計(jì)算結(jié)果,第4節(jié)是總結(jié).

2 三維各向同性諧振子的動(dòng)量和幾何動(dòng)量的分布普遍理論

2.1 幾何動(dòng)量和包含幾何動(dòng)量的力學(xué)量完備集

在三維直角坐標(biāo)系中,幾何動(dòng)量pΣ的三個(gè)分量的明顯形式是

每個(gè)分量都有完備的本征函數(shù)和本征值[3,19].注意到軌道角動(dòng)量在直角坐標(biāo)系的三個(gè)分量為

這兩組力學(xué)量都不包含對(duì)徑向位置的微分,它們之間的任意一個(gè)都可以和徑向位置算符同時(shí)對(duì)角化.因此,可以選徑向位置算符取某個(gè)確定值的表象中進(jìn)行研究三維各向同性諧振子.取徑向位置為某個(gè)定值,設(shè)為r,這時(shí)就等效于在某個(gè)等效球面上研究這個(gè)問(wèn)題.

不難驗(yàn)證角動(dòng)量與幾何動(dòng)量的分量的對(duì)易關(guān)系滿足SO(3,1)代數(shù),

這樣可以取一個(gè)力學(xué)量完備集為(r,Lz,rpΣz).算符rpz的本征值方程為

不難求得本征值為,γ∈(-∞,∞),相應(yīng)的δ函數(shù)歸一化本征函數(shù)為

即可得三個(gè)力學(xué)量(r,Lz,rpΣz)同時(shí)取確定值的本征函數(shù)集合為

2.2 三維各向同性諧振子

三維各向同性諧振子的哈密頓為[21]

其中i=1,2,3,定態(tài)波函數(shù)可以選為三個(gè)對(duì)易力學(xué)量H(x),H(y),H(z)的共同本征函數(shù),也就是

其中ni=0,1,2,···,

能量本征值為

其中N=nx+ny+nz,第N個(gè)激發(fā)態(tài)具有(N+1)(N+2)/2重簡(jiǎn)并.

在球坐標(biāo)下寫(xiě)出三維各向同性諧振子的哈密頓[21]

定態(tài)波函數(shù)可以選為三個(gè)對(duì)易力學(xué)量H,L2,Lz(符號(hào)取熟知的意義)的共同本征函數(shù),也就是

F(c1,c2,x)為合流超幾何函數(shù),歸一化系數(shù)Nnrl的一般形式較為復(fù)雜,可以參考文獻(xiàn)[18].能量本征值為

其中nr,l=0,1,2,3···,N=2nr+l,第N個(gè)激發(fā)態(tài)依然是(N+1)(N+2)/2重簡(jiǎn)并.

2.3 對(duì)態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)進(jìn)行動(dòng)量和幾何動(dòng)量分析的一般理論

相同能量本征值的兩組基(20)和(25)之間相差一個(gè)幺正變換[21].本征態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)上給定N=2nr+l時(shí),是直角坐標(biāo)下的(N+1)(N+2)/2個(gè)狀態(tài)的組合,即

其中求和∑′表示對(duì)nx+ny+nz=N的所有可能求和,而且滿足

當(dāng)N=0,c(0,0,0)=1.當(dāng)N=1,c(nx,ny,nz)可以是一個(gè)矩陣,具體形式如下[21]

一般情況下,c(nx,ny,nz)是一個(gè)(N+1)(N+2)/2維的方陣,需要具體計(jì)算,這里不做展開(kāi).

下面給出在態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)上進(jìn)行動(dòng)量分析的一般方法.注意到對(duì)各向同性諧振子,考察空間一個(gè)方向就可以了,不妨選為z方向.對(duì)Ψnr,l,m(r,θ,φ)做如下展開(kāi):

測(cè)量完成之后粒子動(dòng)量取γ值的概率為

其中利用到了等式

下面建立在態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)上進(jìn)行幾何動(dòng)量分析的一般理論.

注意到于是問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何求得系數(shù)(γ),也就是對(duì)締合Legendre函數(shù)進(jìn)行幾何動(dòng)量z分量的本征函數(shù)進(jìn)行展開(kāi),即

于是(35)式化為

也就是,(γ)是函數(shù)換.不難得到在l=0,1時(shí)展開(kāi)系數(shù)(γ)的具體形式如下:的傅里葉變

其他更多的υm l(γ)的具體形式可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[3].

2.4 在Ψnr,l,m(r,θ,φ)上對(duì)動(dòng)量和幾何動(dòng)量的測(cè)量以及意義

2.3 小節(jié)中建立了在態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)上測(cè)量動(dòng)量及幾何動(dòng)量的z分量的一般結(jié)果.給定動(dòng)量和幾何動(dòng)量的某個(gè)確定間隔范圍內(nèi)γ→γ+dγ,概率分別為在實(shí)際測(cè)量這兩個(gè)動(dòng)量時(shí),實(shí)驗(yàn)上直接記錄是和這兩個(gè)量的差,具有鮮明的物理意義.

注意到徑向動(dòng)量可以通過(guò)(8)式來(lái)定義,也就是可以通過(guò)如下方式來(lái)定義,

這樣,如果測(cè)量pr的z分量,在實(shí)驗(yàn)上直接得到的結(jié)果是在其他分量上,也可以進(jìn)行類(lèi)似測(cè)量.

至此發(fā)現(xiàn),即使(4)和(7)式中的徑向動(dòng)量本身由于不具有自伴性而不可以測(cè)量,經(jīng)過(guò)等效定義就完全可以測(cè)量.不過(guò)這個(gè)測(cè)量是對(duì)兩個(gè)力學(xué)量單獨(dú)測(cè)量后的結(jié)果的差.

因此,對(duì)動(dòng)量和幾何動(dòng)量的測(cè)量,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)徑向動(dòng)量的測(cè)量.從而解決了徑向動(dòng)量本身由于不具有自伴性而不可以測(cè)量卻存在不確定度的矛盾.這個(gè)矛盾較長(zhǎng)時(shí)間是一個(gè)疑難[13-17].

3 三維各向同性諧振子的動(dòng)量和幾何動(dòng)量分布的結(jié)果

下面利用第2節(jié)建立起來(lái)的一般理論,給出在一些態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)測(cè)量動(dòng)量和幾何動(dòng)量的具體結(jié)果. 基態(tài)Ψ0,0,0(r,θ,φ)= ψ0(x)ψ0(y)ψ0(z)最簡(jiǎn)單.z方向的動(dòng)量的分布是

圖1 基態(tài)上的幾何動(dòng)量(實(shí)線)和動(dòng)量(點(diǎn)劃線)z分量的概率分布,徑向動(dòng)量(虛線)z分量的測(cè)量值(靠近橫軸)Fig.1.Probabilities of z-axis component of momentum(solid line)and geometric momentum(dashed line),and measurement values of radial momentum(dotted line),for ground state Ψ0,0,0(r,θ,φ).

第一激發(fā)態(tài)是一個(gè)三重簡(jiǎn)并的態(tài),首先考慮態(tài)

易知z方向的動(dòng)量的分布是依然是(41)式,幾何動(dòng)量z方向的分布是(38)式中的(γ)=態(tài)Ψ0,1,1(r,θ,φ)上的幾何動(dòng)量(實(shí)線)和動(dòng)量(點(diǎn)劃線)z分量的概率分布,徑向動(dòng)量z分量的測(cè)量值如圖2所示.

第一激發(fā)態(tài)中的第二個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)是Ψ0,1,-1(r,θ,φ). 這個(gè)態(tài)上的幾何動(dòng)量和動(dòng)量z分量的概率分布以及徑向動(dòng)量z分量的測(cè)量值也如圖2所示.

第一激發(fā)態(tài)中的第三個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)是Ψ0,1,0(r,θ,φ),

容易算符z方向的動(dòng)量的分布是

圖2 態(tài)Ψ0,1,1(r,θ,φ)上的幾何動(dòng)量(實(shí)線)和動(dòng)量(點(diǎn)劃線)z分量的概率分布、徑向動(dòng)量(虛線)z分量的測(cè)量值Fig.2.Probabilities of z-axis component of momentum(solid line)and geometric momentum(dashed line),and measurement values of radial momentum(dotted line),for ground state Ψ0,1,1(r,θ,φ).

圖3 態(tài)Ψ0,1,0(r,θ,φ)上的幾何動(dòng)量(實(shí)線)和動(dòng)量(點(diǎn)劃線)z分量的概率分布、徑向動(dòng)量(虛線)z分量的測(cè)量值Fig.3.Probabilities of z-axis component of momentum(solid line)and geometric momentum(dashed line),and measurement values of radial momentum(dotted line),for ground state Ψ0,1,0(r,θ,φ).

圖1 至圖3清楚地顯示出,在一個(gè)確定的定態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)上,在空間的某個(gè)確定方向,動(dòng)量分布和幾何動(dòng)量分布不但趨勢(shì)完全一樣,而且數(shù)值上也相差無(wú)幾.由此可以合理地推測(cè)出,在這種定態(tài)下,在經(jīng)典極限下,動(dòng)量和幾何動(dòng)量其實(shí)是同一個(gè)概念.不需要復(fù)雜的計(jì)算,就可以直接理解這個(gè)結(jié)論.在定態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)上,如果量子數(shù)很大,徑向位置將集中在一個(gè)較薄的球殼內(nèi),也就是粒子將在一個(gè)球面上運(yùn)動(dòng).從幾何動(dòng)量的定義,就是粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量.對(duì)于各向同性諧振子,在任何方向上,這個(gè)球面上的粒子,就是一個(gè)諧振運(yùn)動(dòng),動(dòng)量和幾何動(dòng)量都將出現(xiàn)同樣的諧振運(yùn)動(dòng)特征[3].

圖1至圖3同時(shí)清楚地顯示出,在一個(gè)確定的定態(tài)Ψnr,l,m(r,θ,φ)上,在空間的某個(gè)確定方向,動(dòng)量分布和幾何動(dòng)量分布之間仍有差別.這個(gè)差別正好可以定義為徑向動(dòng)量在該方向上的分量.從量子測(cè)量理論的角度,徑向動(dòng)量是一個(gè)可觀測(cè)量,而且徑向動(dòng)量的平均值為零.

4 結(jié) 論

最初引入幾何動(dòng)量的目的是為了給約束在超面上運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩x,后來(lái)發(fā)現(xiàn)可以用來(lái)描述粒子在全空間的運(yùn)動(dòng)在超面上的投影.很多曲線坐標(biāo)系就由超面族和超面上的法向矢量作為一個(gè)坐標(biāo)軸而構(gòu)成,因此幾何動(dòng)量成為這些曲線坐標(biāo)系下的一個(gè)力學(xué)量.在三維各向同性諧振子中,采用球坐標(biāo)描述,存在球面族.由于超面上的幾何動(dòng)量必須投影到高一維的平直空間,而三維各向同性諧振子本身就在三維平直空間中進(jìn)行描述,因此同時(shí)具有動(dòng)量和幾何動(dòng)量分布.這兩個(gè)動(dòng)量的差,可以定義為徑向動(dòng)量,從而使得徑向動(dòng)量可以測(cè)量.通過(guò)各向同性諧振子基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)上的具體計(jì)算發(fā)現(xiàn),動(dòng)量和幾何動(dòng)量的分布定性上近似,定量上相差不大.定量上的這個(gè)差別,就是徑向動(dòng)量的貢獻(xiàn).從而通過(guò)幾何動(dòng)量,可以顯示出狄拉克引進(jìn)的徑向動(dòng)量的物理意義.