三維空間瞬時聲源的純方位角估計性能分析

汪 海,崔遜學

(陸軍炮兵防空兵學院,合肥 230000)

1 引 言

近年來目標定位技術越來越受到人們的重視,定位技術分為有源和無源兩種[1].相對于雷達等有源定位而言,無源定位具有很強的隱蔽性和抗干擾性[2].到達時間差(Time Difference of Arrival,TDOA)作為無源定位的一種關鍵技術成為了一個新的研究方向[3,4].最近國內外研制出一些基于TDOA 技術的槍聲定位系統(tǒng),類似的聲測系統(tǒng)在反恐安全、戰(zhàn)場探測和其他領域具有重要應用背景[5].

無源定位包括無源測向和無源測距兩類[6].當槍聲、炮聲和炸點等脈沖聲波抵達傳聲器徑向距離很遠時,人們難以直接通過TDOA 雙曲線交叉方法精確估計聲源坐標[7,8].但如果在不同位置分散部署多個陣列,利用各陣列的TDOA 測量值可估計出瞬時聲源的波達方向(Direction of Arrival,DOA)[9],這種技術方案也是本文研究的立足之點.

隨著傳感器、通信以及電子信息技術的發(fā)展,基于TDOA的聲陣列定位算法得到了較充分的研究,到達時差方法常用于長基線聲陣列對目標的定位.隨著硬件設備性能的提升和數據采集器時間同步精度的提高,短基線聲陣列采集的TDOA測量精度也越來越高.短基線時差測向相對于長基線來說,更具有應用優(yōu)勢,其優(yōu)點在于維護方便,時間同步精度容易控制,接收的目標信號不易受氣溫和風向等影響[10].這些優(yōu)點恰恰是戰(zhàn)場應用所必需的.

為了滿足低空目標和地面目標的被動聲定位需求,提高戰(zhàn)場瞬時聲信號方位角的測向精度[11].本文對方位角/俯仰角聯合估計加以改進,提出一種純方位角估計方案,將三維空間陣列映射到平面上,利用平面陣列關系對三維空間瞬時聲源的方位角進行估計.通過對其克拉姆-拉奧下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)進行分析,給出了純方位角估計的可使用時機.仿真結果驗證了純方位角估計的可行性與有效性.

本文在現有硬件基礎支撐下,從關鍵科學問題入手,最大限度地優(yōu)化定位精度,所研究內容有望顯著提高低空中遠距離瞬時性脈沖聲源的定位效果,為高精度被動聲測定位系統(tǒng)的研制提供技術支撐.

2 聯合估計及純方位角估計

2.1 聯合估計

圖1為短基線傳感器TDOA定向示意圖,假設陣列由N個傳感器構成,si為第i號傳感器,坐標為(xi,yi,zi),接收到的時間為ti,各傳感器之間的距離大約30m,高差大約為5m.取距離聲源最近的傳感器為基準傳感器,即x0=y0=z0=0;M為瞬時聲源的波達方向上的一點,M到基準傳感器距離為2～3km,M在XOY平面上投影記為M′.

以基準傳感器為坐標原點,令S=[x1,y1,z1;x2,y2,z2;…;xN-1,yN-1,zN-1],S為所有傳感器和基準傳感器之間的距離向量構成的矢量矩陣;時間差向量τ=[τ1,τ2,…,τN-1]T,其中τi=ti-t0;s0M與s0M′夾角為俯仰角θ,s0M′與X軸正向的夾角為方位角φ,令γ=[φ,θ]T.

圖1 基于TDOA的傳感器陣列定向示意圖Fig.1 Diagram illustrating TDOA-based direction finding with sensor array

由圖1可知,s0P長度cτi等于si在s0M上的投影,即有下列TDOA方程:

cτi=sik

(1)

其中k為聲源信號的單位方向向量

(2)

整理可得

cτi=xicosθcosφ+yicosθsinφ+zisinθ

(3)

2.2 純方位角估計

針對平面波信號源和任意結構陣列的TDOA測向問題,本文提出一種純方位角估計方案,根據TDOA測量值,將三維空間陣列映射為平面陣列,利用平面關系只對三維空間瞬時聲源的方位角進行估計.圖2為立體陣列與平面陣列到達時間的關系示意圖,s0為基準傳感器,si為第i個傳感器(i=1,2,…,N-1),θ為基準傳感器所估計的方位角,θi為第i個傳感器所估計的方位角.設傳感器M到s0傳感器的時間為t0,到si傳感器的時間為ti,則有:

圖2 立體陣列與平面陣列之間到達時間的關系Fig.2 Relationship of the arrival time between cubic array and planar array

τi=ti-t0

(4)

(5)

由于傳感器陣列到聲源距離遠遠大于傳感器之間的距離,可以把θi≈θ,則:

(6)

將(3)式轉化到平面上可得:

(7)

將(6)式代入(7)式可得純方位角估計的測向模型:

cτicosθ=xicosφ+yisinφ

(8)

本文以近地面聲源目標為研究對象,即θ通常小于10°,不妨令(8)式中cosθ≈1,則純方位角估計的測向模型可簡化為:

cτi=xicosφ+yisinφ

(9)

3 純方位估計的理論分析

3.1 CRLB的比較

在參數估計領域中,CRLB是無偏估計的重要度量方法,是所有無偏估計算法的精度下界[12,13].針對文中兩個模型的CRLB,這里提出以下命題.

命題1.純方位角估計模型的CRLB小于聯合估計模型的CRLB.

證明:如果存在噪聲,則(1)式應改寫為:

(10)

其中ni是相互獨立測量噪聲變量,其均值為0,方差為σni2,定義n=[n1,n2,…,nN-1]T

將(10)式整理成矩陣形式為:

(11)

如果誤差是相互獨立的高斯隨機變量,則條件概率密度函數

(12)

令F(γ)為費歇爾信息矩陣(Fisher Information Matrix,FIM),其矩陣元素定義為:

(13)

則方向估計向量γ的費歇爾信息矩陣各元素如下:

經過推導,可得到γ的費歇爾信息矩陣如下:

(14)

[F(γ)]1,2=[F(γ)]2,1

(15)

(16)

方向估計向量γ的第i個參數的克拉姆-拉奧下界定義為:

CRLB(γ)=[F-1(γ)]i,ii=1,2

(17)

根據克拉姆-拉奧下界定義可得方位角φ和俯仰角θ的CRLB為:

(18)

(19)

令Ai=xisinφ-yicosφ,Bi=xisinθcosφ+yisinθsinφ-zicosθ,則(18)式和(19)式可簡化為:

(20)

(21)

純方位角估計模型的CRLB與聯合估計模型的CRLB推導原理類似,且比聯合估計模型簡單,在此直接給出推導結果：

(22)

(23)

(24)

很顯然(23)式比(24)式小,即使用純方位角估計方法測向精度更好.

根據CRLB推導結果,我們可以直接給出以下推論:

推論1.如果一個估計器的精度可以接近CRLB,那么,此估計器利用純方位角估計進行測向,效果將更優(yōu).

3.2 高差對測向的影響

對于任意傳感器陣列來說,推導傳感器高差對測向精度影響的數學表達式是很困難的,不能得出相應的關系模型.本文將對一類特殊的傳感器陣列進行理論分析.由于均勻分布的錐形傳感器陣列,既有傳感器高差,又有很高的測向精度,符合本文討論需求,因此本文將對這一典型陣列進行理論分析.在本文第4節(jié)將用MATLAB仿真實驗模擬任意傳感器陣列的高差對測向精度的影響.

考慮高差對測向精度的影響,本文提出下述命題:

命題2.傳感器間高差對方位角精度不產生影響,只影響俯仰角的精度,傳感器間高差越大,俯仰角的精度越高.

圖3 均勻分布的錐形傳感器陣列示意圖Fig.3 Diagram of uniformly distributed cone array of sensors

由圖3可得:

(25)

ai=cosφii+sinφij,i=1,2,…,N-1

(26)

由于各傳感器均勻分布在圓周上,有

(27)

即

(28)

(29)

此時CRLB中的

Ui=xisinφ-yicosφ=ρcosφisinφ-ρsinφicosφ=ρsin(φ-φi)

(30)

Vi=xisinθcosφ+yisinθsinφ-zicosθ

=ρcosφisinθcosφ+ρsinφisinθsinφ-Hcosθ

=ρsinθcos(φi-φ)-Hcosθ

(31)

(32)

(33)

(34)

代入(20)式和(21)式可得:

(35)

(36)

從(35)式可以看出方位角的CRLB不受高差影響,從(36)式可以看出高差H越大,俯仰角的CRLB越小,即傳感器間高差越大,俯仰角的精度越高.

4 仿真分析

仿真場景設置如下:設置8個傳感器,假設傳感器位置的X軸和Y軸坐標在30米半徑的圓形內隨機選取,Z軸坐標在較小的范圍[-5,5]米內隨機確定,這與通常的聲探測野外部署條件是相似的;聲源方向也是隨機產生,方位角設置在[0°,90°]之間,俯仰角設置在[-5°,5°]之間;TDOA測量誤差服從高斯分布,不考慮測量的系統(tǒng)偏差問題.本文仿真實驗中,方位角/俯仰角聯合估計簡稱為2-D,純方位角估計簡稱為1-D.

4.1 仿真1

圖4用仿真實驗模擬了傳感器間高差對俯仰角CRLB的影響,從圖中可以看出,俯仰角的CRLB隨著傳感器間高差的增大而減小,當高差小時,俯仰角的CRLB很大,尤其在高差小于10m時,影響最為強烈,即短基線傳感器陣列在估計低空目標方向時,得到的俯仰角精度受傳感器高差影響很大.

圖5模擬了傳感器間高差對方位角CRLB的影響,從圖中可以看出,高差對兩個模型的方位角CRLB均不影響,本實驗也驗證了命題2的正確性.

圖4 高差對俯仰角CRLB的影響Fig.4 Height difference influence on CRLB of elevation

圖5 高差對方位角CRLB的影響.(a)2-D.(b)1-DFig.5 Height difference influence on CRLB of azimuth.(a)2-D.(b)1-D

4.2 仿真2

圖6繪制了1000次隨機測試下定向結果累計分布函數(CDF)圖像.用1-D TS表示使用純方位角估計方法的泰勒展開算法;1-D LLS
表示使用純方位角估計方法的最小二乘算法;2-D TS和2-D LLS表示聯合估計模型的泰勒展開算法以及最小二乘算法.顯然使用純方位角估計方法能有效地提高測向精度.

圖6 測向結果累計分布函數曲線Fig.6 Cumulative distribution function curve of direction finding

4.3 仿真3

通過MATLAB實驗對推論1加以驗證,由附錄A可知聯合估計與純方位角估計的泰勒展開算法的精度均可以接近CRLB,滿足推論1中的條件.

圖7繪出了1-D TS與2-D TS兩種泰勒展開算法、TS算法的CRLB、以及TS算法的協方差的RMSE定向誤差隨噪聲誤差變化關系.從圖7可知,TS算法的協方差與CRLB重合為一條曲線,驗證了泰勒展開算法的精度可以接近CRLB.隨著信號噪聲的增加,RMSE也隨之增大,相比于2-D TS算法,1-D TS的定位誤差更小,更接近CRLB下界,本實驗也驗證了推論1的正確性,即當一個估計器的精度可以接近CRLB時,將此估計器利用純方位角估計進行測向,效果將更優(yōu).

圖7 泰勒展開算法的RMSE性能結果Fig.7 RMSE of Taylor expansion algorithm

5 結 論

針對平面波信號源和任意結構陣列的TDOA測向問題,本文推導了空間立體陣列根據TDOA測量值簡化為平面陣列進行純方位角估計的可行性.本文的推導過程是基于CRLB理論,并利用經典的測向方法進行了性能驗證.理論分析和模擬實驗表明,采用簡化的平面陣列進行純方位角估計的精度,要優(yōu)于空間立體陣列對信號源進行方位角/俯仰角聯合估計中的方位角精度.本文的研究結論特別適用于各種地形部署的傳感器陣列對地面目標進行純方位角估計的需求.

另外,本文研究還表明,陣列內部傳感器之間的高度差只影響俯仰角估計精度,對方位角估計沒有影響.因此,對于地面目標的純方位角測向應用而言,在部署陣列時人們無需考慮有意增大傳感器之間的高度差.