非對稱雙激振器振動同步傳動

顧大衛(wèi)， 劉云山，2， 張居乾， 聞邦椿

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819； 2. 遼寧軌道交通職業(yè)學院， 沈陽 110023)

同步現(xiàn)象在生物、物理、工程及技術(shù)領(lǐng)域都發(fā)揮著及其重要的作用。研究同步的歷史可以追溯到1665年，Huygens發(fā)現(xiàn)了鐘擺的同步現(xiàn)象，并作出了相應的解釋。近年來，學者們在機械系統(tǒng)的同步理論上做出了大量的理論探討和試驗研究，文獻[1- 4]為其中的一些代表。

在工程技術(shù)領(lǐng)域，激振器的自同步原理廣泛應用于各大工程、企事業(yè)單位當中，極大地促進了社會生產(chǎn)力的發(fā)展。例如，自同步振動輸送機、自同步振動篩分機等。在自同步原理的應用中，有一種特殊的同步運轉(zhuǎn)方式，即當兩個或多個激振器同步運轉(zhuǎn)過程中，斷掉一個或多個(數(shù)量上少于激振器的總數(shù))激振器的電源，斷電激振器仍然能夠跟隨帶電激振器保持同步運轉(zhuǎn)，不同的是相位差會相對有些許變化，這種現(xiàn)象稱為“振動同步傳動”。此概念是聞邦椿等[5]于1984年首次在國際上提出。Xiong等[6-7]從能量傳遞的角度對其已經(jīng)有所討論，有關(guān)振動同步傳動的過度過程也已通過數(shù)值方法給予闡釋。然而，有關(guān)電機特性和系統(tǒng)的頻率俘獲及試驗上的進一步驗證和分析卻比較缺乏。

本文以雙機驅(qū)動同向回轉(zhuǎn)超遠共振振動系統(tǒng)(即系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)頻率是其固有頻率的3倍以上)的兩個不對稱放置的激振器同步為例，從系統(tǒng)耦合動力學特性角度進一步加以闡釋和完善，并通過一些數(shù)值仿真和實驗來驗證其振動同步傳動機理。

1 系統(tǒng)動力學模型和運動微分方程

圖1為系統(tǒng)動力學模型，兩個同向回轉(zhuǎn)的激振器安裝于主剛體上，主剛體通過彈簧與基礎(chǔ)相連，兩個激振器分別由兩臺感應電機驅(qū)動。整個系統(tǒng)展現(xiàn)出三個自由度，x,y和擺動ψ，激振器1,2分別繞各自旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，以φ1和φ2表示。

利用拉格朗日方程，可得系統(tǒng)運動微分方程為

(1)

其中

J0i=mir2+j0i,i=1,2

式中：fdi,i=1,2為電機i的軸阻尼系數(shù)；le為系統(tǒng)繞質(zhì)心當量回轉(zhuǎn)半徑；kx,ky,kψ為x,y和ψ方向的彈簧剛度；fx,fy,fψ為x,y和ψ方向的阻尼系數(shù)。

2 振動同步傳動的同步性判據(jù)及穩(wěn)定性判據(jù)

設系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時兩個激振器轉(zhuǎn)動的平均相位及相位差為φ和2α，則有

φ1=φ+α,φ2=φ-α

(2)

設平均角速度為ωm0，根據(jù)文獻[8-11]，得系統(tǒng)運動微分方程(1)的穩(wěn)態(tài)響應解為

(3)

其中

設θc稱為廣義動態(tài)對稱角[12]，其表達式如下

(4)

并引入下列無量綱參數(shù)

ρ1=1-Wco1/2,ρ2=1-Wco2/2

根據(jù)文獻[9]，將系統(tǒng)運動微分方程(1)整理，并寫成矩陣形式

(5)

其中

2.1 實現(xiàn)振動同步傳動的同步性判據(jù)

(6)

其中

式(6)中，TC為系統(tǒng)的頻率俘獲力矩，也稱為廣義動態(tài)對稱力矩；TRi為電機i的輸出殘余力矩；TD為兩電機當量有效輸出力矩之差[14]。

|TC|≥|TD|

(7)

式(7)為振動系統(tǒng)實現(xiàn)同步運轉(zhuǎn)的同步性判據(jù)，頻率俘獲力矩TC的大小由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和電機的同步轉(zhuǎn)速兩方面因素決定。

根據(jù)文獻[9]，可得到兩個激振器在振動同步傳動狀態(tài)下的力矩平衡方程為

(8)

2.2 振動同步傳動狀態(tài)的穩(wěn)定性判據(jù)

當兩個激振器已經(jīng)處于同步狀態(tài)且穩(wěn)態(tài)運轉(zhuǎn)時，切斷電機2的電源，式(5)中的Te02=0,ke02=0，得到振動同步傳動狀態(tài)下的頻率俘獲方程

(9)

其中

(10)

(11)

其中

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0

(12)

其中

由Rourh-Hurwitz準則[15]可知，當矩陣C的特征方程(12)滿足

c1>0,c3>0,c1c2>c3

(13)

時，平凡解z=0是穩(wěn)定的。式(13)可進一步整理成

H0>0,H1>0,H3>0,H1H2>H0H3

(14)

H0<0,H1<0,H3<0,H1H2>H0H3

(15)

(16)

根據(jù)式(14)，得H3>0，有

(17)

3 數(shù)值分析與試驗

圖2為雙機驅(qū)動振動同步試驗臺，對應圖1所示力學模型，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：

β1=90°，β2=140°，r=0.05 m，m1=m2=m0=4 kg，M=330 kg，l01=0.183 m，l02=0.285 m，Jm=17.85 kg·m2，le=0.234 m，rl1=rl2sinβ2，rl1=0.782，rl2=1.218，rm=0.012，kx=190.87 kN/m，ky=150.26 kN/m，kψ=20.65 kN/rad，fx=0.32 kN·s/m，fy=0.32 kN·s/m，fψ=0.28 kN·s/rad，f1=f2=f3=0.002，ξnx=ξny=ξnψ=0.07。兩臺電機型號相同，同向回轉(zhuǎn)，型號為VB-326-W(380 V，50 Hz，6-pole，Y-連接，額定電壓0.82 A，額定轉(zhuǎn)速950 r/min，額定功率0.2 kW，激振力0～3 kN，絕緣等級IP54)。

圖2 雙機驅(qū)動振動同步試驗臺

3.1 數(shù)值分析

在數(shù)值分析中，為了匹配試驗系統(tǒng)參數(shù)，設激振器1的回轉(zhuǎn)中心在通過質(zhì)心o的y軸上，且有：β1=90°，β2=140°，l1=l2sinβ2，rl1=rl2sinβ2。

在式(7)中，可以看出影響系統(tǒng)實現(xiàn)同步的主要參數(shù)為Wsoi和WC，是無量綱參數(shù)rm,rli,μx,μy,μψ和γx,γy,γψ,βi的函數(shù)。在遠共振系統(tǒng)里，μx,μy,μψ及γx,γy,γψ變化很小，因此，主要研究rm,rli,βi,i=1,2對系統(tǒng)頻率俘獲的影響，設rl2≥rl1，β3=π-β2。兩相同電機驅(qū)動兩相同偏心塊時，有

(18)

式(16)可以簡化為

WC≥|(Wso1-Wso2)/2|

(19)

圖3(a)是β1=β3=0°條件下頻率俘獲區(qū)域，且由式(19)得知無量綱參數(shù)rm對頻率俘獲沒有影響。這里rl1rl2平面被分成三個區(qū)域：I，II和III，其中區(qū)域I和區(qū)域III能夠?qū)崿F(xiàn)頻率俘獲。在區(qū)域I中，穩(wěn)態(tài)相位差穩(wěn)定在2α∈(π/2,3π/2)，在區(qū)域III中，穩(wěn)態(tài)相位差穩(wěn)定在2α∈(-π/2,π/2)。

圖3(b)是βi≠0°(i=1,3)且β1+β3∈(0,π/2)條件下的頻率俘獲區(qū)域，其中

Wcc≈rm[2-rl1rl2cos(β1+β3)]，

Wcs≈-rm[rl1rl2sin(β1+β3)]

(20)

當βi≠0°(i=1,3)且β1+β3∈(π/2,π)時，Wcc≥0恒成立，穩(wěn)態(tài)相位差穩(wěn)定在2α+arctan(Wcs/Wcc)∈(π/2,3π/2)。

(a) β1=β3=0°

(b) β1+β3∈(0,π/2)

由式(4)可知，系統(tǒng)廣義動態(tài)對稱角θc的近似計算值如圖4所示，廣義動態(tài)對稱角對應于振動系統(tǒng)平均振動能量最小值點[16]。

圖4 系統(tǒng)廣義動態(tài)對稱角θc

系統(tǒng)的同步起源存在于系統(tǒng)負載耦合中的廣義動態(tài)對稱特性，因此負載耦合中激振器之間的頻率俘獲力矩也稱為廣義動態(tài)對稱力矩，其限制相位超前激振器轉(zhuǎn)速的升高及相位滯后激振器轉(zhuǎn)速的下降，使得激振器之間的相位差接近系統(tǒng)廣義動態(tài)對稱角使得系統(tǒng)實現(xiàn)同步運轉(zhuǎn)。

由式(6)及穩(wěn)定性判據(jù)(17)得知，當選擇兩臺一樣性質(zhì)的電機時，兩個激振器之間的相位差2α的近似計算值如圖5所示。

圖5 2α近似計算值

根據(jù)式(3)及圖5中2α近似計算值，匯總了振動系統(tǒng)在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的運動形式，如表1所示。

表1中，當結(jié)構(gòu)參數(shù)接近對稱時(β1+β3=0°)，由兩個激振器同步運轉(zhuǎn)所激發(fā)的系統(tǒng)的運動形式為圓周運動(rl1rl2>2)和繞質(zhì)心o的擺動運動(rl1rl2<2)。當0°<β1+β3<180°時，所激發(fā)的系統(tǒng)運動形式為擺動運動和圓周運動共存。當β1+β3=180°時，所激發(fā)的系統(tǒng)運動形式為擺動運動?？梢钥闯觯斦駝酉到y(tǒng)中各個激振器之間的相位差穩(wěn)定在某特定值附近時，會使系統(tǒng)實現(xiàn)某種特定的運動形式。

表1 振動系統(tǒng)的運動形式

在表1中，當系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)接近于對稱時(β1+β3=0°)，由兩個激振器同步運轉(zhuǎn)所激發(fā)的系統(tǒng)的運動形式為圓周運動(rl1rl2>2)和繞質(zhì)心o的擺動運動(rl1rl2<2)。當0°<β1+β3<180°時，系統(tǒng)運動形式為擺動運動和圓周運動共存。當β1+β3=180°時，系統(tǒng)運動形式為擺動運動?？梢钥闯觯斦駝酉到y(tǒng)中各個激振器之間的相位差穩(wěn)定在某特定值附近時，會使系統(tǒng)實現(xiàn)某種特定的運動形式。

綜上所述，在系統(tǒng)同步性判據(jù)和同步狀態(tài)的穩(wěn)定性判據(jù)都滿足的條件下，振動系統(tǒng)會選擇下列三種運動形式之一：圓周運動，擺動運動，圓周運動和擺動共存。在工程設計中，為實現(xiàn)合理有用的圓周運動，應使β1+β3=0°且盡量增加l01,l02的長度。

Zhang等[11]研究了雙激振器對稱分布情況下的系統(tǒng)振動同步及振動同步傳動，通過對比，可以得出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對稱性越好，兩激振器相位差趨向-θc的趨勢就越好。

3.2 試驗分析

試驗開始時，兩臺振動電機同時以電源供電，通過變頻器控制在40 Hz下工作。每臺振動電機的偏心塊質(zhì)量可通過調(diào)整其偏心塊夾角大小來選擇，本試驗中將兩個偏心塊質(zhì)量調(diào)整為相同：m1=m2=m0=4 kg。

試驗采樣時間80 s，40 s處切斷電機2的電源，采樣頻率1 024 Hz。

如圖6所示，在開始通電的一段時間內(nèi)，兩臺電機均以相同電源供電，由于兩個激振器的轉(zhuǎn)動慣量接近相同，因此其角加速度也接近相同。在約10 s處，兩臺電機的角速度與相位差達到穩(wěn)定狀態(tài)，此時同步轉(zhuǎn)速n1≈797.9 r/min，相位差2α≈188.6°，此結(jié)果與圖3(b)和圖5基本一致。

(a) 兩電機轉(zhuǎn)速

(b) 兩激振器相位差(2α=φ1-φ2)

圖7和圖8為供電頻率40 Hz下高速攝影機記錄的電機2斷電前后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的回轉(zhuǎn)相位圖，以兩個激振器的回轉(zhuǎn)中心連線為基準線，相位誤差在0°～2°。如圖7所示，電機2斷電前系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時兩個激振器的相位差為187.9°～190.9°。如圖8所示，電機2斷電后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時即系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動時兩個激振器的相位差為206.2°～210.7°。此結(jié)果與圖5和圖6(b)基本一致。

(a) φ1≈205.7°,φ2≈15.6°,φ1-φ2≈190.1°

(b) φ1≈299.4°,φ2≈110.7°,φ1-φ2≈188.7°

(c) φ1≈393.6°,φ2≈203.8°,φ1-φ2≈189.8°

(d) φ1≈491.8°,φ2≈300.9°,φ1-φ2≈190.9°

(e) φ1≈586.5°,φ2≈397.7°,φ1-φ2≈188.8°

(f) φ1≈681.3°,φ2≈492.4°,φ1-φ2≈188.9°

(a) φ1≈227.8°,φ2≈21.6°,φ1-φ2≈206.2°

(b) φ1≈321.0°,φ2≈114.7°,φ1-φ2≈206.3°

(c) φ1≈417.4°,φ2≈207.5°,φ1-φ2≈209.9°

(d) φ1≈515.1°,φ2≈306.4°,φ1-φ2≈208.7°

(e) φ1≈609.1°,φ2≈401.5°,φ1-φ2≈207.6°

(f) φ1≈703.2°,φ2≈495.6°,φ1-φ2≈207.6°

將試驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及試驗結(jié)果代入系統(tǒng)振動同步傳動狀態(tài)下的穩(wěn)定性判據(jù)式(16)和式(17)中，如表2所示，可知振動同步傳動狀態(tài)下的穩(wěn)定性指數(shù)都大于零，理論上說明系統(tǒng)穩(wěn)定，與試驗結(jié)果相符合，驗證了所用理論方法的有效性。

表2 電機2斷電后系統(tǒng)振動同步傳動狀態(tài)下的穩(wěn)定性

4 結(jié) 論

(1) 利用時間雙尺度法，獲取系統(tǒng)的頻率俘獲方程，給出了系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動的同步性判據(jù)及同步狀態(tài)的穩(wěn)定性判據(jù)。此判據(jù)可以為雙機同向回轉(zhuǎn)自同步振動機實現(xiàn)振動同步傳動提供了理論依據(jù)。

(2) 針對當前的動力學模型，要想實現(xiàn)振動同步傳動，首先必須實現(xiàn)雙機同時供電條件下的同步運轉(zhuǎn)，產(chǎn)生頻率俘獲力矩，以保證系統(tǒng)在振動同步傳動過程中進行扭矩傳遞，使得系統(tǒng)得以繼續(xù)保持同步運轉(zhuǎn)。

(3) 對于當前的力學模型，當系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)接近對稱時(β1+β3=0°)，由兩個激振器同步運轉(zhuǎn)所激發(fā)的系統(tǒng)運動形式為圓周運動(rl1rl2>2)和繞質(zhì)心o擺動運動(rl1rl2<2)；當0°<β1+β3<180°時，由兩個激振器同步運轉(zhuǎn)所激發(fā)的系統(tǒng)運動形式為擺動運動和圓周運動共存；當β1+β3=180°時，由兩個激振器同步運轉(zhuǎn)所激發(fā)的系統(tǒng)運動形式為擺動運動。因此在同步性判據(jù)和穩(wěn)定性判據(jù)都滿足的條件下，振動系統(tǒng)會選擇下列三種運動形式之一：圓周運動，擺動，圓周運動和擺動共存。在工程設計中，為實現(xiàn)合理有用的圓周運動，應使β1+β3=0°且盡量增加l01,l02的長度。

(4) 電機2斷電前系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的同步轉(zhuǎn)速為n1≈797.9 r/min，相位差2α≈188.6°。振動同步傳動狀態(tài)下的同步轉(zhuǎn)速n2≈787.4 r/min，相位差2α′≈206.7°，與電機2斷電前相比，同步轉(zhuǎn)速下降，相位差增加，但斷電前后相位差的變化及轉(zhuǎn)速的變化不大。頻率俘獲力矩通過調(diào)整兩個激振器之間的相位差來達到系統(tǒng)能量的分配與再分配，從而保證了系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定運轉(zhuǎn)。

(5) 由于電機2斷電前后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時兩個激振器的同步轉(zhuǎn)速和相位差變化不大，因此振動系統(tǒng)的主要運動形式保持不變，即圓周運動和擺動，從而說明了系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動對系統(tǒng)的運動形式影響微小。而振動系統(tǒng)的擺動對工業(yè)生產(chǎn)毫無意義，在工程上，一般可以通過調(diào)整兩臺電機在機體上的位置從而使得β1+β3=0°，rl1rl2>2，從而實現(xiàn)對工程有用的近似圓的圓橢圓軌跡。利用該運動形式可以設計振動輸送機等振動設備。