變壓器中低頻電磁暫態(tài)模型研究綜述

張國棟，劉 凱

（1.山東科技大學(xué)電氣信息系，濟(jì)南 253500；2.國網(wǎng)河南省電力公司洛陽供電公司，河南 洛陽 471000）

變壓器是電力系統(tǒng)的重要組成元件之一，由于采用了大量的鐵磁材料，變壓器的參數(shù)表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性和頻率相關(guān)性。變壓器的建模仍然是目前的薄弱環(huán)節(jié)之一。

1 變壓器模型

1.1 基于電路的模型

該模型最早由Brandwjn等學(xué)者于1982年提出，并成功應(yīng)用于電磁暫態(tài)仿真程序EMTP。其基本思路是將變壓器各繞組視為一組相互耦合的電感，構(gòu)建變壓器的等值電路模型[1-2]。根據(jù)電路模型可列寫支路的電壓方程如式（1）：

式中：Zii為各支路自阻抗；Zij為支路間互阻抗。

在暫態(tài)情況下，方程可表示為：

式中：[v]為各繞組電壓列相量；[R]為支路電阻矩陣；[i]為各繞組電流列相量；[L]為支路電感矩陣，其主對角線元素表示各支路自電感，非主對角線元素表示支路間的互電感。

取電流作為狀態(tài)變量，解上述方程組，得到變壓器電壓、電流值。該模型的概念清晰，但存在以下問題：

（1）變壓器勵磁電流越小，則電感矩陣中的元素值越大且越趨近于相等，受計(jì)算機(jī)計(jì)算精度的影響，有可能導(dǎo)致矩陣不可逆，進(jìn)而導(dǎo)致上述方程不可解。極端情況下，若忽略勵磁電流，則勵磁支路斷開，此時(shí)電感矩陣[L]不存在。為解決該問題，采用如下方程：

直接求取逆電感矩陣[L]-1，然后解方程組。

（2）不能反映變壓器內(nèi)部磁變量的情況。該模型不包含變壓器幾何參數(shù)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等信息，無法反映鐵心內(nèi)部各個(gè)位置磁通量、磁通密度等信息。

（3）不能反映變壓器非線性情況。逆電感矩陣[L]-1為常數(shù)陣，上述方程組是線性方程組。然而，變壓器暫態(tài)過程中，需要考慮鐵心的飽和，此時(shí)各個(gè)電感不再是常數(shù)。為解決該問題，通常在變壓器最靠近鐵心側(cè)的繞組端口處并聯(lián)非線性電感，以雙繞組變壓器為例，其仿真模型見圖1。

圖1 考慮鐵心非線性特性的線性變壓器模型

該模型屬于線性模型，僅適用于研究穩(wěn)態(tài)情況下的變壓器電壓、電流。并聯(lián)非線性電感的方式可以用于暫態(tài)過程，例如開展勵磁涌流的研究，但仍不能反映鐵心內(nèi)部各位置磁通量、磁通密度等情況。

1.2 基于磁路的模型

為更好地反映變壓器內(nèi)部磁變量情況，人們相繼提出了基于磁路的模型。以三相雙繞組變壓器為例，其結(jié)構(gòu)和等效磁路分別如圖2（a）、圖2（b）所示。文獻(xiàn)[2]中，Xusheng Chen等構(gòu)建了三相多繞組變壓器的等效磁路，其目的是用于更直觀地形成方程（3）所需要的[L]-1，并未對等效磁路進(jìn)行詳細(xì)求解，因而其本質(zhì)上仍然是基于電路的模型?；诖怕返哪Ｐ涂煞譃橐韵?種。

1.2.1 統(tǒng)一磁路模型

Enright等在文獻(xiàn)[3-6]中詳細(xì)闡述了該建模方法。其基本思路為：根據(jù)變壓器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（為了簡潔，圖2（a）中未畫出低壓繞組），建立起等效磁路模型如圖2（b）所示，進(jìn)而列寫各支路磁通量與勵磁磁動勢的方程。

式中：[φ]為支路磁通列相量；[P]為支路磁導(dǎo)矩陣；[F]=[N][i]為各繞組磁動勢；[I]為單位陣；[A]為磁路的支路-節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣。

圖2 三相雙繞組芯式變壓器結(jié)構(gòu)及對應(yīng)等效磁路

通過聯(lián)立公式（4）—（6），即可求得變壓器各繞組電壓、電流以及各支路磁通等變量。

該模型體現(xiàn)了變壓器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可以反映變壓器內(nèi)部各支路磁通量的變化。另外，對于鐵心飽和的影響，可以根據(jù)不同的鐵心飽和模型，在每一個(gè)仿真步長更新支路磁導(dǎo)矩陣[P]來體現(xiàn)。該模型在PSCAD/EMTDC中獲得了應(yīng)用。

1.2.2 基于對偶原理的模型

Cherry于1949年提出的基于磁路-電路對偶性原理的建模方法被認(rèn)為是能夠正確反映變壓器物理結(jié)構(gòu)的一種建模方法[7]。而建模過程中，最大限度地利用現(xiàn)有的電磁暫態(tài)仿真軟件，盡可能減少甚至取消編程變得越來越流行。

文獻(xiàn)[8]中，利用對偶性原理建立了三相三繞組芯式變壓器的仿真模型。建模過程為：首先根據(jù)變壓器結(jié)構(gòu)，建立變壓器的等效磁路，然后利用對偶原理，將等效磁路中的磁阻轉(zhuǎn)換為電感，節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為回路，回路轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)，磁動勢轉(zhuǎn)換為CCCS（電流控制電流源）。為了體現(xiàn)變壓器的變壓功能，需要將CCCS用理想變壓器代替。利用該方法，文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步考慮了繞組的相間電容及對地電容的影響，從而擴(kuò)展了該模型的工作頻率范圍。文獻(xiàn)[10]考慮了變壓器外殼對漏磁通的影響，建立了更完善的仿真模型。

該建模方法中，需要先建立變壓器的等效磁路，再利用對偶原理轉(zhuǎn)換為等效電路。當(dāng)變壓器結(jié)構(gòu)較復(fù)雜時(shí)，這種轉(zhuǎn)換將變得較為困難。針對該問題，文獻(xiàn)[11-13]采用了一種所謂“基于變壓器窗口”的等效電路，并詳細(xì)闡述了利用試驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)測定的方法，其建模過程為：首先繪制變壓器窗口模型，然后在窗口模型上直接繪制各磁路分支的等效電感，將等效電感進(jìn)行串并聯(lián)，然后添加上理想變壓器，即得到等效電路。

綜上所述，利用對偶性原理建模的方法，可以使用標(biāo)準(zhǔn)電路元件將電磁器件的物理磁路轉(zhuǎn)換為適合于電磁暫態(tài)仿真軟件中仿真的對偶電路，從而最大限度地利用現(xiàn)有軟件，減少編程工作量，提高建模速度。該模型較為全面地考慮了鐵磁材料的非線性特點(diǎn)，適用于勵磁涌流、鐵磁諧振等現(xiàn)象的研究。但對變壓器內(nèi)部電磁現(xiàn)象的描述仍較為粗略，無法用于指導(dǎo)變壓器的設(shè)計(jì)工作。

1.3 基于有限元分析的模型

利用2D或3D有限元仿真軟件，可以對變壓器進(jìn)行電磁暫態(tài)仿真。其優(yōu)點(diǎn)是仿真精度高，可以反映變壓器磁路中各個(gè)位置的磁通量等；缺點(diǎn)是計(jì)算量大，仿真速度慢。文獻(xiàn)[14]利用3D有限元仿真軟件JMAG Designer對某三相雙繞組芯式變壓器進(jìn)行了時(shí)長4 s的仿真，仿真步長為500 μs，軟件實(shí)際運(yùn)行時(shí)間為13 h。該模型可以詳細(xì)地反映變壓器電磁暫態(tài)過程中的各種物理量，理論上可用于各種電磁暫態(tài)過程的研究，但受制于仿真速度，該模型更適合于變壓器設(shè)計(jì)過程。

2 漏電感模型

漏電感對于變壓器的電磁暫態(tài)行為往往具有重要的影響[1]。迄今為止，建立的變壓器漏電感模型主要包括負(fù)電感模型、BCTRAN模型和耦合電感模型[14]。

2.1 負(fù)電感模型

該模型由Boyajian于1924年提出[11]，用于研究穩(wěn)態(tài)運(yùn)行工況下的變壓器行為。漏電感參數(shù)的計(jì)算基于傳統(tǒng)的變壓器短路試驗(yàn)，計(jì)算公式見式（7）—（9）。如圖3所示，當(dāng)三繞組變壓器的繞組采用同心式結(jié)構(gòu)時(shí)，其中間繞組的等值漏電感通常為負(fù)。過去30年來，對于利用該仿真模型時(shí)出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，部分學(xué)者認(rèn)為是由該負(fù)電感引起的?，F(xiàn)有研究表明，數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象不是由負(fù)電感引起，而是由于變壓器星形等值電路中，未考慮變壓器的實(shí)際拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將勵磁支路錯(cuò)誤地放在了星形繞組的中性點(diǎn)。解決數(shù)值不穩(wěn)定（振蕩）的方法主要包括：繞組的端口接激磁電阻，以增加系統(tǒng)阻尼；或者如圖3中虛線部分所示，將勵磁支路放在低壓側(cè)（內(nèi)側(cè)繞組）的端部[3]。

圖3 采用負(fù)電感模型的三繞組變壓器等效電路

2.2 BCTRAN模型

作為電磁暫態(tài)程序EMTP的子程序，BCTRAN采用矩陣來表示漏電感[1]。穩(wěn)態(tài)情況下，采用標(biāo)幺值表示時(shí)，若忽略勵磁電流，則：

此時(shí)，可將公式（1）整理為公式（11）的形式。

該方法的優(yōu)點(diǎn)是：阻抗矩陣中的元素均通過短路試驗(yàn)獲得，最大限度地保留漏阻抗信息，避免了采用原始方程式，當(dāng)勵磁電流較小時(shí)（對應(yīng)的勵磁阻抗較大），漏阻抗（此時(shí)數(shù)值較?。┍粍畲抛杩逛螞]的問題。

2.3 耦合電感模型

該模型于2009年提出，初期用于三繞組變壓器[12]，后于2012年被擴(kuò)展到多繞組變壓器。對于三繞組變壓器而言，其等值電路如圖4所示，耦合電感M的計(jì)算采用公式（12）。現(xiàn)已證明，對于三繞組變壓器而言，負(fù)電感模型和耦合模型是等效的[7]。

圖4 采用耦合電感模型的三繞組變壓器等效電路

3 鐵心模型

正常情況下，變壓器鐵心的工作點(diǎn)位于飽和點(diǎn)（膝點(diǎn)）附近。當(dāng)發(fā)生勵磁涌流或鐵磁諧振等暫態(tài)現(xiàn)象時(shí)，鐵心將處于深度飽和區(qū)域，呈現(xiàn)出非常強(qiáng)的非線性。因此，研究變壓器的電磁暫態(tài)行為時(shí)，建立合理的鐵心模型具有重要意義。

3.1 線性變壓器與飽和電感模型

本文1.1節(jié)介紹的變壓器模型是一個(gè)線性模型，未考慮鐵心飽和對變壓器行為的影響，這是該模型的一個(gè)重要缺點(diǎn)。如圖3所示，為了模擬飽和狀態(tài)下變壓器的非線性行為，可以采用在變壓器最內(nèi)側(cè)繞組并聯(lián)非線性電感的形式。EMTP程序中，變壓器采用BCTRAN模型，非線性電感采用TYPE96模型。

3.2 單值非線性電感模型

文獻(xiàn)[2，9]中，采用了如圖5所示的單值磁化曲線來描述鐵磁材料飽和后的非線性特性。實(shí)際建模過程中，需要利用分段線性化的方法來表示該磁化曲線，具體分段數(shù)與所研究的問題相關(guān)。研究勵磁涌流等深度飽和問題時(shí)，在已知剩磁的情況下，將該非線性電感分成2段描述就已足夠精確[7]。若飽和程度不深，則需要分成2段以上進(jìn)行描述。需要注意的是，不管分為幾段，最后一段的斜率應(yīng)與空芯電感的斜率（圖5中虛線所示）相同，其斜率為真空磁導(dǎo)率μ0。

圖5 單值非線性電感

3.3 考慮磁滯的非線性電感模型

磁滯行為中一個(gè)重要現(xiàn)象就是磁滯回線隨著電壓幅值與頻率的變化而變化，因而每一個(gè)磁滯回線引起的鐵心損耗均不相同。

F.Preisach在1935年提出一種考慮磁化歷史的磁滯模型，可以模擬主磁滯回線和次磁滯回線簇。Jiles和Atherton在1984年提出了一種不考慮磁化歷史的磁滯回線模型，以上2種模型的參數(shù)計(jì)算都較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[15]在利用已知主磁滯回線數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，采用分段線性插值法擬合次磁滯回線簇，方法更為簡單。

以上模型本質(zhì)上來講都屬于數(shù)學(xué)上的曲線擬合方法，不能真實(shí)地反映鐵磁材料的物理特性，因此被稱為靜態(tài)磁滯模型[7]。

文獻(xiàn)[10，14]中介紹了一種可以反映鐵心損耗的動態(tài)磁滯模型：

式中： Hhys（B）采用靜態(tài)磁滯回線模型； keddy=d2/（12ρ）被稱為渦流系數(shù)，是鐵磁材料厚度d和電阻率ρ的函數(shù)；g（B）決定了動態(tài)磁滯回線的形狀；δ被稱為方向系數(shù)，當(dāng)模擬磁滯回線上支路時(shí)取1，模擬磁滯回線下支路時(shí)取-1。

該模型的優(yōu)點(diǎn)在于不僅能反映磁通密度與磁場強(qiáng)度之間的磁滯關(guān)系，而且能模擬鐵磁材料引起的功率損耗。

4 變壓器損耗模型

變壓器損耗主要包括由繞組電阻引起的銅耗以及由變壓器鐵心引起的鐵耗。早期的變壓器電磁暫態(tài)模型中，用固定阻值的電阻來模擬變壓器繞組的銅耗和鐵耗[2]。研究表明：鐵耗不僅與磁通密度有關(guān)，還與磁化頻率、電壓波形有關(guān)[14]，電磁暫態(tài)過程中，勵磁電壓通常為非正弦波，因而幅值和頻率都會改變。即使勵磁電壓是正弦波，在磁軛和三相五柱變壓器的邊柱上，磁通也為非正弦。這些情況下，需要更精確的模型反映銅耗和鐵耗的變化。

圖6 Foster等值電路

4.1 Foster等值電路

Foster等值電路如圖6所示。該電路可用來模擬集膚效應(yīng)等原因造成的銅耗的頻率相關(guān)性。

4.2 Cauer等值電路

Cauer等值電路有圖 7（a）和 7（b）2 種表示形式，二者為對偶關(guān)系，可以用來反映因集膚效應(yīng)等原因造成的鐵耗的變化。在已知實(shí)測損耗數(shù)據(jù)的前提下，可以通過曲線擬合的方法確定等值電路中各元件的參數(shù)值。該模型的精度受頻率變化范圍和等值電路階數(shù)的影響。文獻(xiàn)[16]的研究表明，頻率在200 kHz以下時(shí)，采用4階等值電路，誤差在5%以內(nèi)。

4.3 動態(tài)磁滯模型

采用3.3節(jié)中所介紹的動態(tài)磁滯模型，可以反映鐵心損耗的變化。與公式（13）相對應(yīng)的能量損失可以表示為：

式中：Whys表示靜態(tài)磁滯損耗；Weddy表示渦流損耗；Wexc表示附加損耗。

該損耗模型將鐵心損耗進(jìn)行了分離，具有明確的物理意義，在實(shí)際工程中應(yīng)用較多。

圖7 Cauer等值電路

5 模型適用范圍

變壓器的電磁暫態(tài)模型源于BPA版的電磁暫態(tài)程序EMTP，迄今已有30多年的發(fā)展歷史。經(jīng)過多年的發(fā)展，變壓器模型已由最初只考慮繞組漏電抗的線性模型，發(fā)展到考慮鐵心飽和的非線性模型，進(jìn)而再發(fā)展到考慮變壓器外殼及附件等的模型。

然而，在變壓器暫態(tài)的具體研究中，通常不必考慮全部參數(shù)，只需根據(jù)研究的具體內(nèi)容來確定具體參數(shù)。例如，在大部分中低頻電磁暫態(tài)研究中，繞組的相間電容以及對地電容往往是可以忽略的。文獻(xiàn)[7]給出了具體研究內(nèi)容所需要考慮的參數(shù)，詳見表1。

表1 變壓器建模指導(dǎo)

6 結(jié)語

搭建變壓器模型目前仍然是電力系統(tǒng)元件中的薄弱環(huán)節(jié)。文中總結(jié)了現(xiàn)有的中低頻變壓器電磁暫態(tài)模型、漏電感模型、鐵心模型、損耗模型及其基本原理。其中，基于阻抗矩陣的電路模型，完整地保留了漏抗的信息，但未能體現(xiàn)鐵心的具體結(jié)構(gòu)以及非線性特性；基于磁路的模型，可以反映鐵心的具體結(jié)構(gòu)以及非線性特性，但在計(jì)算過程中需要不斷更新磁導(dǎo)矩陣，計(jì)算量較大，編程復(fù)雜；基于對偶原理的模型，可以充分利用現(xiàn)有電磁暫態(tài)軟件的資源，建模速度快，兼容性好；基于有限元分析的模型，仿真精度高，計(jì)算速度慢，較適合于變壓器設(shè)計(jì)階段的分析計(jì)算。