一類(lèi)帶有奇異項(xiàng)的擬線(xiàn)性問(wèn)題正解的存在性

張彩麗，梁占平

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

考慮下面帶有奇異項(xiàng)的擬線(xiàn)性方程

(1)

i?tΨ=-ΔΨ+Ψ+η((|Ψ|2)Ψ-kΔρ(|Ψ|2)ρ′(|Ψ|2)Ψ

(2)

(3)

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)函數(shù)f是常微分方程初值問(wèn)題

的解.令f(t)=-f(-t),t∈(-∞,0], 我們知道

引理1 函數(shù)f具有以下性質(zhì):

i)f∈C∞(R)并且是可逆的;

ii) 0≤f′(t)≤1,t∈R;

iv)f(t)/2≤tf′(t)≤f(t),t≥0;

v) |f(t)|≤|t|;

vi) (f(t))-γf′(t)關(guān)于所有的t>0是遞減的.

假設(shè)v:=f-1(u), 則擬線(xiàn)性方程(1)的解等價(jià)于下面的半線(xiàn)性型方程

(4)

由于方程(1)帶有奇異項(xiàng)u-γ, 首先考慮擾動(dòng)問(wèn)題

(5)

這里ε∈(0,1]. 通過(guò)利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)理論獲得(5)的解vε, 然后通過(guò)對(duì)ε→0取極限, 得到問(wèn)題(4)的解. 假設(shè)v∈L2(Ω), 由于引理(1)性質(zhì)ii)知

(6)

因此可以定義映射S:L2(Ω)→L2(Ω)為

K={v(x)∈L2(Ω)|0≤v(x)≤S(0),a.e.x∈Ω}.

顯然K?L2(Ω)是一個(gè)有界閉凸集. 假設(shè)v∈K,則

因此S(K)?K. 則根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，存在vε∈K, 使得S(vε)=vε. 從而知道

(7)

又由正則性理論和極大值原理知vε>0是(5)的古典解. 另外, 有

引理2 設(shè)0<ε2<ε1≤1, 則在Ω上有vε1≤vε2.

證明令φ=vε1-vε2, 由(7)知

(8)

和

(9)

式(8)與(9)相減，有

當(dāng)x∈Ω且vε1(x)-vε2(x)≤0時(shí)，有

當(dāng)x∈Ω且vε1(x)-vε2(x)>0時(shí)，由f′在[0,∞)上遞減知

2 主要結(jié)果的證明

(10)

由引理2知0

在(10)兩邊令n→∞, 利用(10)及Lebesgue控制收斂定理知，

(11)

利用橢圓正則性理論，有v∈C2(Ω)且滿(mǎn)足(4).

對(duì)正整數(shù)j≥1，記

(12)

由(12)左邊知，存在C2>0和正整數(shù)j0,使得當(dāng)j≥j0時(shí)，有

由上式，(12)及引理1 vi),iv)和v)知，當(dāng)j≥j0時(shí),

矛盾! 證畢.