拉格朗日對偶在大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

何 華, 姜 靜

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

在大規(guī)模多輸入多輸出(multiple-input multiple-output, MIMO)多用戶通信系統(tǒng)中，波束形成是提高能效的重要方法[1]，在多用戶下行波束形成中常常需要滿足一定閾值下的信干噪比、信漏噪比等系統(tǒng)性能指標(biāo)，并且在滿足這些性能指標(biāo)時需保證發(fā)射功率最小[2]。因此，大規(guī)模MIMO下行多用戶的波束形成問題可表述為一般優(yōu)化問題[3-4]，若能將該波束形成優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，就能夠方便問題分析，使之得到快速解決[5]。

凸優(yōu)化問題是優(yōu)化問題中最大的子類，具備有效的解決方案[6]，因此，凸優(yōu)化方法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在許多工程優(yōu)化問題中。文獻(xiàn)[7]將凸優(yōu)化應(yīng)用在MIMO雷達(dá)濾波器組的設(shè)計。文獻(xiàn)[8]將凸優(yōu)化應(yīng)用在分集稀疏信號的重建。文獻(xiàn)[9]將凸優(yōu)化應(yīng)用在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點定位中。近年來，凸優(yōu)化問題相關(guān)的理論、算法和軟件工具發(fā)展迅速，已成為較成熟的處理工程應(yīng)用問題的重要方法[10]。一旦實際問題被表述為凸優(yōu)化問題，可認(rèn)為該問題已經(jīng)被解決[11]，就只是一項計算技術(shù)了[12]。

本文將凸優(yōu)化應(yīng)用到處理大規(guī)模天線系統(tǒng)的問題中，首先介紹了一種拉格朗日對偶理論和方法，該方法為非凸問題向凸問題的轉(zhuǎn)化提供了途徑，其次利用拉格朗日對偶方法詳細(xì)分析了將大規(guī)模MIMO波束形成優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題的過程，使得大規(guī)模MIMO下行多用戶波束形成優(yōu)化問題得以解決。

1 拉格朗日對偶

常見的優(yōu)化問題可表述為

Minf0(x),

(1)

s.t.fi(x)≤0(i=1,2,…,m),

hi(x)=0(i=1,2,…,p)。

其中，f0(x)是優(yōu)化問題(1)的目標(biāo)函數(shù)，fi(x)≤0與hi(x)=0分別是優(yōu)化問題(1)的約束條件。

定義q*是問題(1)的全局最小值。x是優(yōu)化問題(1)的變量，則該優(yōu)化問題并不一定是凸的。

為了進(jìn)一步解決該優(yōu)化問題，引入?yún)?shù)變量

μ={u1,u2,…,um}∈m,λ={λ1,λ2,…,λm}∈m,

可得到拉格朗日方程

(2)

式(2)的對偶方程可表述為

g(λ,μ)=minL(x,λ,μ)。

(3)

對含有參數(shù)λ、μ的一組線性方程L(x,λ,μ)求最小，g(λ,μ)總是凹的。當(dāng)λ≥0和g(λ,μ)有限時，對于原問題(1)總是存在f0(x)≥g(λ,μ)。則g(λ,μ)可認(rèn)為是原問題(1)目標(biāo)函數(shù)值的最小極限值，因此可得

q*=g(λ,μ)。

q*的最小極限值可由優(yōu)化問題

maxg(λ,μ),

(4)

s.t.λ≥0,μ∈。

的對偶優(yōu)化問題來處理。因為問題(3)總是凹的[4]，因此，無論原問題(1)是否為凸的，優(yōu)化問題(4)總是凸的。

定義問題(4)的最大優(yōu)化目標(biāo)值為p*，則有q*≥p*。對絕大部分凸優(yōu)化問題來說，滿足q*=p*的強(qiáng)對偶關(guān)系。

2 在大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

波束形成是大規(guī)模MIMO多用戶通信系統(tǒng)中解決用戶間干擾、提高能量效率和頻譜效率的有效途徑?？紤]一個配置Nt根天線的大規(guī)模天線系統(tǒng)，在系統(tǒng)共有K個用戶，每個用戶配置1根天線，如圖1所示。

圖1 多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)

基站端的發(fā)送信號為

其中：xm為基站向用戶m傳送的發(fā)射信號矩陣，wm為用戶m的波束形成矩陣，S(t)是基站端的發(fā)射信號矩陣。

用戶m的接收信號為

在波束形成是大規(guī)模MIMO多用戶通信系統(tǒng)中，信漏噪比(signal-leakage-noise-rate, SLNR)即用戶m的信號泄漏到其他用戶的比例需限制在一定范圍內(nèi)，并且在該限制條件下，必須滿足發(fā)射端的發(fā)射功率最小。上述問題可表述為如下優(yōu)化問題

(5)

式中βk是用戶m泄漏到用戶k的信漏噪比所必須滿足閾值條件。

顯然，問題(5)不是凸優(yōu)化問題，不能直接使用凸優(yōu)化方法來解決該問題。為此，期望利用拉格朗日對偶法，將問題(5)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。

引入?yún)?shù)λ，得到問題(5)的拉格朗日方程

(6)

式(6)的對偶函數(shù)為

g(λ)=minL(wi,λi)。

(7)

容易看出，一般情況下

(8)

不一定是半正定矩陣。但是，存在一系列wi值可使得對偶方程g(λi)=-∞。

若考慮到λi是最大化g(λi)所對應(yīng)的參數(shù)，則式(8)應(yīng)當(dāng)是半正定的。原問題(5)可表述為

(9)

可見，大規(guī)模MIMO下行波束形成的信漏噪比優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化為形如公式(9)的凸優(yōu)化問題，因此，可以利用基于凸優(yōu)化的相關(guān)算法對問題(9)進(jìn)行求解。

3 結(jié)語

把拉格朗日對偶方法應(yīng)用于大規(guī)模MIMO多用戶系統(tǒng)中波束形成優(yōu)化問題中。首先，將大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)的下行波束形成表述為一般優(yōu)化問題，然后，利用拉格朗日對偶將一般的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。對于具體大規(guī)模MIMO多用戶通信系統(tǒng)，可以選擇一種基于凸優(yōu)化的方法對該系統(tǒng)進(jìn)行定量分析與計算。因此，本文所給出的方法，為大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)的下行波束形成問題提供了一種途徑。