邊緣效應(yīng)對微型振動式駐極體發(fā)電機輸出功率的影響

楊勝齊，丁?夢, 2，黃樟欽, 2，王曉懿, 2

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邊緣效應(yīng)對微型振動式駐極體發(fā)電機輸出功率的影響

楊勝齊1，丁?夢1, 2，黃樟欽1, 2，王曉懿1, 2

(1. 北京工業(yè)大學(xué)北京未來網(wǎng)絡(luò)科技高精尖創(chuàng)新中心，北京 100124；2. 北京工業(yè)大學(xué)北京市物聯(lián)網(wǎng)軟件與系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

本文主要介紹了微型自供電系統(tǒng)中的一種類型——駐極體發(fā)電機的工作原理，針對微型發(fā)電機的特點，引入了邊緣效應(yīng)，驗證了駐極體發(fā)電裝置的理論輸出功率模型，分析驗證了微型電容在考慮邊緣效應(yīng)情況下的實際輸出功率，根據(jù)實際輸出功率模擬得出理論模型，從而得出在考慮邊緣效應(yīng)的情況下，微型自供電駐極體發(fā)電裝置的輸出功率模型．并且將BJ模型與FE-BJ模型進(jìn)行對比，通過MATLAB仿真軟件得出忽略邊緣效應(yīng)時，平板電容的寬度與間距比小于28.724時，F(xiàn)E-BJ模型的輸出功率誤差在10%,以內(nèi)，此時可用FE-BJ模型來模擬計算微型駐極體發(fā)電裝置的輸出功率．

自供電系統(tǒng)；功率輸出模型；邊緣效應(yīng)；最佳模型

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，如醫(yī)療護(hù)理、環(huán)境監(jiān)測、軍事領(lǐng)域、交通領(lǐng)域、目標(biāo)監(jiān)控等[1]．而影響無線傳感器網(wǎng)絡(luò)性能和生命周期的關(guān)鍵因素是節(jié)點的能量供給．通過WSN(wireless sensor networks)數(shù)據(jù)融合算法可以降低節(jié)點能量消耗從而延長其工作周期[2]．雖然降低能耗可以延長無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的使用時間，但是無法從根本上解決其能量消耗殆盡的問題．為了解決這一問題，需要研究從周圍自然環(huán)境中收集存儲能量，并通過高效存儲和節(jié)約能源、降低消耗等方法，實現(xiàn)無線電傳感器節(jié)點的自供電技術(shù)，從而有效地延長無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的工作周期[3]．

目前對于自供電發(fā)電方式的研究主要包括3個方面：電磁發(fā)電、壓電發(fā)電和靜電發(fā)電[4]．而這3種發(fā)電方式都可以將周圍環(huán)境的動能轉(zhuǎn)化為電能[5-7].電磁發(fā)電機的原理是閉合電路的部分導(dǎo)體在磁場中切割磁感線運動，從而使導(dǎo)體產(chǎn)生電流[8]．但是作為微型發(fā)電裝置，這種方式所產(chǎn)生的電壓值小，必須增加線圈或增大磁場來增加其電壓值，這兩種方式都會受到芯片尺寸的限制[9]．壓電發(fā)電機的原理是利用壓電材料的壓電效應(yīng)，當(dāng)外力作用在材料表面時，表面會形成電勢差，運用電能收集裝置，將其電量收集，從而將動能轉(zhuǎn)化為電能[10-11]．壓電材料可以用來建造道路，通過車輛在道路上對壓電材料所施加的壓力，將動能轉(zhuǎn)化為電能[12-13]，但是其串聯(lián)阻抗較大．靜電發(fā)電機是利用感應(yīng)生電、尖端放電或摩擦生電的方式產(chǎn)生高電壓的一種靜電裝置．利用靜電發(fā)電作為原理的摩擦起電的納米發(fā)電機(triboelectric nanogenerator，TENGs)已經(jīng)實現(xiàn)[14-15]．從材料和結(jié)構(gòu)上看，前兩種發(fā)電方式都無法用微加工工藝來實現(xiàn)，而微型靜電式發(fā)電裝置可以通過改變其微型可變電容來實現(xiàn)．駐極體微型發(fā)電裝置由于其能夠在周圍低頻振動的情況下產(chǎn)生較大輸出功率的特點，該研究方向成為近年來靜電式發(fā)電裝置的研究熱點[16-18].本文主要以駐極體發(fā)電裝置為研究對象，分析發(fā)電裝置中的能量轉(zhuǎn)換模型，通過研究其邊緣效應(yīng)在微型發(fā)電裝置中的影響，從而提出一種更加接近實際發(fā)電轉(zhuǎn)換率的模型．

自從Jefimenko發(fā)明了第1個駐極體發(fā)電機以來，許多基于駐極體的靜電發(fā)電裝置就被廣泛研究．目前關(guān)于駐極體靜電發(fā)電機振動能量采集裝置的力學(xué)模型分析已經(jīng)形成了一個激烈的研究領(lǐng)域.其中，Sterken等[19]提出了一種發(fā)電模型，該模型的上極板與一個振動質(zhì)量塊相連接，質(zhì)量塊通過彈簧和一個阻尼裝置相連接，該阻尼裝置保證了移動質(zhì)量塊在一定的范圍內(nèi)移動，下極板固定在整個振動收集裝置中，在外界發(fā)生振動時上極板與下極板產(chǎn)生相對位移，從而形成電流．Lo等[20]設(shè)計了一種梳狀電機型發(fā)電機．該發(fā)電機由上下兩塊玻璃組成，下方玻璃上固定有呈梳妝交叉的電極，在玻璃上方有一層駐極體材料，上方玻璃有兩條金屬電極，當(dāng)上方玻璃由于外界環(huán)境發(fā)生水平振動時，上方金屬電極與所對應(yīng)的駐極體產(chǎn)生相同的電荷，即圖形化駐極體發(fā)生水平振動，從而形成電流．Naruse等[21]提出了一種轉(zhuǎn)動式發(fā)電結(jié)構(gòu)．該發(fā)電機結(jié)構(gòu)中，襯底材料為玻璃，將深槽用激光的方法刻蝕，再將微型小球放置于深槽內(nèi)，通過控制槽內(nèi)的深度來調(diào)節(jié)金屬電極與駐極體的間距，從而形成電流．除了上述力學(xué)模型外，駐極體發(fā)電裝置還包括了能量轉(zhuǎn)化模型，當(dāng)外界發(fā)生振動時，上下極板的正對面積發(fā)生變化，從而產(chǎn)生電流．根據(jù)最新的研究成果，Nguyen等[22]研究了一般正弦激勵下微型駐極體發(fā)電機的分析模型，近期學(xué)者們還研制出了一種高開路電壓的獨立式駐極體發(fā)電機，這種發(fā)電機模型是為了解決微型駐極體發(fā)電機在運行過程中摩擦所產(chǎn)生的能量消耗[23]．學(xué)者們還研究了一種DEG模式的混合駐極體-介電彈性體發(fā)生器．在該構(gòu)造中，駐極體材料被用作經(jīng)典DEG的偏振源，即基于電容變化的靜電發(fā)生器，提高了發(fā)電機的輸出功率[24]．但是這些模型只針對能量消耗、正弦振動的問題，對于邊緣效應(yīng)并沒有做出說明．對于微型發(fā)電系統(tǒng)中的邊緣效應(yīng)對發(fā)電輸出功率的影響，也有一些學(xué)者做了相應(yīng)的研究，李勇等[25]研究了非平行梳狀驅(qū)動器中的邊緣效應(yīng)對靜電力的影響，運用有限元法的仿真模型驗證了考慮邊緣效應(yīng)的梳狀驅(qū)動器的靜電力計算模型更為準(zhǔn)確．學(xué)者針對具有槽孔的微型梳狀電容器的邊緣效應(yīng)進(jìn)行了研究[26]，得出在寬度和厚度固定時，長度越小的電容的邊緣效應(yīng)越大．學(xué)者還針對邊緣效應(yīng)提出了一種減小邊緣效應(yīng)對測量精度影響的方法[27]．但是以上對于邊緣效應(yīng)的研究只是針對梳狀電容器，并沒有針對邊緣效應(yīng)對微型發(fā)電機輸出功率的影響做出相應(yīng)的研究．本文研究邊緣效應(yīng)對微型振動式駐極體發(fā)電機輸出功率的影響，并且得出在考慮邊緣效應(yīng)情況下的輸出功率模型．

1?靜電轉(zhuǎn)換模型

為了優(yōu)化靜電轉(zhuǎn)化模型，必須建立一個準(zhǔn)確的駐極體發(fā)電輸出功率的數(shù)學(xué)模型．

BJ(Boland Justin)模型電能輸出功率為

?(1)

式中：為駐極體發(fā)電機的振動頻率；為駐極體表面電荷密度；為轉(zhuǎn)子的半徑；為上極板與駐極體的距離；為駐極體的厚度；tret為駐極體的介電常數(shù)；0為上、下極板間介質(zhì)的介電常數(shù)；為常數(shù)．

證?明?駐極體發(fā)電機的模型如圖1所示．

圖1?駐極體發(fā)電裝置能量轉(zhuǎn)換模型

假設(shè)上極板與下極板之間的介質(zhì)為真空，下極板上為駐極體tret，上極板的電量為uele，下極板的電量為dele，上極板與駐極體的距離為，駐極體的厚度為，由靜電感應(yīng)現(xiàn)象可知

?Qtot＝Quele＋Qdele(2)

當(dāng)周圍環(huán)境發(fā)生振動時，上極板與下極板的正對面積會隨時間發(fā)生變化，此時其模型中的上、下電容分別為

?Cuele＝(3)

?Cdele＝(4)

而其模型中的電壓為

?V(t)＝Quele/Cuele－Qdele/Cdele(5)

可知

?(6)

由歐姆定理和積分并且結(jié)合式(6)可知

?(7)

在外界發(fā)生振動時，極板正對面積的長度會發(fā)生變化，由振動規(guī)律和面積計算公式可得

?(8)

?(9)

?(10)

由式(10)可知，在＝0電路負(fù)載為

?(11)

根據(jù)功率計算公式可知其輸出功率最大值為式(1)所示的值．

以上BJ模型是在忽略了邊緣效應(yīng)情況下得出的模型，而用Ansoft Maxwell對平板電容進(jìn)行建模仿真，結(jié)果如圖2所示，結(jié)合圖片的數(shù)據(jù)可知在平板電容的邊緣的能量是不均勻的，存在邊緣效應(yīng)，在MEMS中，邊緣效應(yīng)會影響電路的測量級度，對整個電路模型的影響是不可忽視的．

圖2?平板電容能量分布

在考慮邊緣效應(yīng)的影響下，假設(shè)有一平板電容器寬度為2，上下極板的間距為2，其中上下極板的長度無限延伸，由于平板電容的對稱性的特點，為了便于計算，可以將平板電容的1/2作為研究對象，將其三維模型利用施瓦茨-克里斯托費爾映射到二維坐標(biāo)系中，如圖3所示．其中′、′、′、′分別映射到、、、，所用的變換為

???(12)

圖3?二維坐標(biāo)映射

將上述公式用第1類橢圓積分與第2類橢圓積分表示，可得

?(13)

將(，1)、(，1/1)、(，1/)分別代入用第1類橢圓積分和第2類橢圓積分表示的式(13)中得

???(14)

第1類完全橢圓積分表示為

?K＝F(1，k)(15)

第2類完全橢圓積分表示為

?E＝E(1，k)(16)

?(17) ?????(18)

其中所表示的中間值分別為

?F(1/k，k)＝K＋K′(19)

?E(1/k，k)＝E＋i(K′－E′)(20)

?(21)

由勒讓德多項式知

?EK′＋E′K－KK′＝(22)

將式(21)與式(14)結(jié)合可得

?(23)

利用施瓦茨-克里斯托費爾映射將其變化為圖3中的矩形1,1,1′1′，此時運用的公式為

?(24)

將平面上對應(yīng)的點代入式(23)中，可得點的坐標(biāo)為－＋i，點的坐標(biāo)為＋i．經(jīng)過施瓦茨-克里斯托費爾映射，將平面的電場變?yōu)槠矫鎯?nèi)的矩形．所以在平面內(nèi)平板電容是沒有邊緣效應(yīng)的，上下極板的距離為2,，極板寬度為2,，得出平行板電容器單位長度的電容為

?(25)

由式(25)和不考慮邊緣效應(yīng)的電容公式可知，在極板的寬度和距離的比大于16.64時，電容的一般計算公式的誤差可忽略不計．

上述即為考慮邊緣效應(yīng)的情況下平板電容器的實際電容值．將式(25)與BJ模型中公式相結(jié)合，有

?Cdele＝(26)

?Cuele＝(27)

可得

?Cdele＝(28)

?Cuele＝(29)

其模型中的電壓為

?V(t)＝Quele/Cuele－Qdele/Cdele(30)

式(6)就變?yōu)?/p>

???(31)

將式(25)與上述式(7)、式(9)、式(10)結(jié)合，可最終推導(dǎo)出在考慮邊緣效應(yīng)的情況下，F(xiàn)E-BJ(fringe effects-Boland Justin)模型的輸出功率為

?(32)

2?參數(shù)設(shè)置與仿真分析

為了比較本文提出的FE-BJ和BJ模型與實際輸出模型的誤差，第2節(jié)對公式進(jìn)行仿真分析．

首先設(shè)置該微型駐極體發(fā)電模型的實驗數(shù)據(jù)如表1所示[4]．

理論輸出功率的BJ模型可以表述為

???(33)

表1?微型駐極體發(fā)電模型參數(shù)

Tab.1?Micro electret power generation model parameters

彈簧的振動頻率f/Hz駐極體的厚度d/mm上下極板間介質(zhì)的介電常數(shù)轉(zhuǎn)子的半徑r/mmTeflon駐極體的介電常數(shù)極板寬度h/mm兩個極板間的距離g/mm駐極體表面電荷密度/(μC·m-2) 20151.000,5854211001.346,

將式(33)與表1所示的參數(shù)用MATLAB語言編程并運行仿真，其結(jié)果如圖4所示，橫坐標(biāo)為時間，縱坐標(biāo)為輸出功率．由圖4所示的周期函數(shù)可見在外界環(huán)境發(fā)生振動時，其理論輸出功率隨著時間的變化規(guī)律．將一個周期的函數(shù)作為研究對象，選取其中的數(shù)據(jù)作為研究對象，將BJ模型下的輸出功率模型式(33)與實際的輸出功率進(jìn)行比較可得如圖5所示的結(jié)果．

圖4?BJ輸出功率模型

圖5?BJ模型與實際輸出功率比較

圖5表示當(dāng)外界發(fā)生振動時，隨著時間的變化實際輸出功率與理論輸出功率的值，圖中藍(lán)色表示理論輸出功率BJ模型的變化值，橙色表示實際輸出功率的變化值，可知實際輸出模型與理論功率輸出模型BJ模型的比約為0.71．將實際功率輸出值與式(33)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示．該圖表示不同時刻實際功率的輸出值與不考慮邊緣效應(yīng)下的BJ模型的輸出功率的比值/．由圖可知其比值在0.65～0.70之間波動．

在平板電容的寬度與距離的比值為10時，其FE-BJ模型中的輸出功率0與BJ模型的理論輸出功率之比0/為0.723,4，為了計算誤差值，將圖6中不同時刻/的比值與FE-BJ的輸出功率0與BJ模型的輸出功率比值0/做差，其結(jié)果如圖7所示.

圖6?實際輸出模型與BJ模型的比值

圖7?P/P′與P0/P′的差值

圖7表示在不同時刻/′與0/的差值，由圖7可知/與0/的差值在-0.04～0.03之間波動，可知其相應(yīng)的實際比值與理論比值在±1.5%,之間波動，所以在考慮邊緣效應(yīng)的情況下的FE-BJ模型與實際情況是相吻合的．在考慮邊緣效應(yīng)的影響時，實際的輸出功率可以用FE-BJ模型進(jìn)行計算，而在平板電容的寬度與距離的比值為10時，其FE-BJ模型輸出功率與BJ模型理論輸出功率之比/0為0.723,4，誤差為38.24%,．在以下實驗中將研究當(dāng)其FE-BJ模型與不考慮邊緣效應(yīng)的模型誤差為10%,以內(nèi)時，其平板電容的寬度與距離的比值．

設(shè)置該駐極體發(fā)電模型的參數(shù)如表2所示．

表2?駐極體發(fā)電模型參數(shù)

Tab.2?Electret power generation model parameters

對表2的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真比較，結(jié)果如圖8所示.圖8表示在外界發(fā)生振動時，隨著時間的變化BJ模型中的輸出功率與FE-BJ模型中的輸出功率的變化情況．由上述仿真結(jié)果可知，在極板寬度為1,664,μm時，實際輸出功率與理論輸出功率的比值/0＝0.874,9，誤差為14.3%,．

圖8?BJ模型與FE-BJ模型的仿真

由上述模型可以得出在平板電容的寬度與距離之比/和FE-BJ模型中的輸出功率0與BJ模型中的輸出功率′之比0/′的關(guān)系，如圖9所示．

圖9?h/g與P0/P′的關(guān)系

圖9表示隨著平板電容的寬度與距離之比/的變化，其FE-BJ模型的輸出功率0與BJ模型的輸出功率的比值0/的變化情況，由圖9可知，在/為28.724時，0/的值為0.901,5，誤差為10.92%，此時FE-BJ模型的輸出功率0與BJ模型的輸出功率的值接近，此時的邊緣效應(yīng)可以忽略，可用BJ模型進(jìn)行相似計算，當(dāng)/的比值小于28.724時，此時計算駐極體發(fā)電機的最佳輸出功率用FE-BJ的最佳模型公式進(jìn)行計算．

3?結(jié)?語

本文針對微型自供電系統(tǒng)的輸出功率進(jìn)行模型計算，由于微型系統(tǒng)中邊緣效應(yīng)的存在，運用傳統(tǒng)的BJ模型對其輸出功率進(jìn)行計算時，計算結(jié)果大于實際值的輸出功率．而本文提出的FE-BJ模型，運用保角變換的方法對實際微型發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行計算可知，其結(jié)果與實際輸出功率基本吻合；并且計算出了在平板電容的寬度與距離的比值為28.724時，微型供電系統(tǒng)的邊緣效應(yīng)可以忽略，此時可以用BJ模型來進(jìn)行計算，而在平板電容的寬度與距離的比值小于該臨界值時，應(yīng)用本文提出的FE-BJ模型對其輸出功率進(jìn)行計算．

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(責(zé)任編輯：王曉燕)

Effect of Fringe Effect on Output Power of Micro-Vibration Electret Generator

Yang Shengqi1，Ding Meng1, 2，Huang Zhangqin1, 2，Wang Xiaoyi1, 2

(1. Beijing Advanced Innovation Center for Future Internet Technology，Beijing University of Technology， Beijing 100124，China； 2. Beijing Engineering Research Center for IoT Software and Systems，Beijing University of Technology， Beijing 100124，China)

This paper mainly introduces the working principle of one type of electret generator in micro self-powered system. According to the characteristics of the micro generator，the fringe effect was introduced to verify the theoretical output power model of the electret generating device and analyze the micro capacitor in consideration of the actual output power under the condition of fringe effect. The theoretical model was simulated according to the actual output power and thus the output power model of self-powered micro electret generating device was concluded，considering the fringe effect. Boland Justin(BJ)model and fringe effects-Boland Justin(FE-BJ)model were compared and it was calculated by use of MATLAB simulation software that ignoring the fringe effect，width and spacing ratio of plate capacitor is less than 28.724 and the output power error of FE-BJ model is less than 10%. Under these circumstances FE-BJ model can simulate the output power of micro electret generating device.

self-charging system；power output model；fringe effect(FE)；optimal model

10.11784/tdxbz201711044

TM387

A

0493-2137(2019)03-0293-07

2017-11-04；

2018-07-05.

楊勝齊（1977—??），男，博士研究生，教授，syang@bjut.edu.cn.

丁?夢，macey_ding@163. com.

國家自然科學(xué)基金資助項目(61602016).

the National Natural Science Foundation of China(No. 61602016).