一類帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的Kirchhoff型方程正解的存在性*

李紅英，廖家鋒,

(1 西華師范大學數(shù)學與信息學院, 四川 南充 637002； 2 遵義師范學院數(shù)學學院,貴州 遵義 563006)(2017年5月8日收稿； 2017年11月16日收修改稿)

考慮如下帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的Kirchhoff型方程

(1)

2012年,Liu和Sun[1]研究如下問題

(2)

其中:40。當λ>0充分小時,結合變分方法和Nehari方法,他們獲得問題(2)的2個正解的存在性。隨后,他們繼續(xù)研究問題(2),當-1

一個自然的問題:問題(1)是否也存在正解?事實上,當s=0時,Sun和Liu在文獻[4]中獲得問題(1)正解的存在性,并提出一個公開問題:如何證明第2個正解的存在性?據(jù)查閱文獻所知,這個開問題至今尚未解決。本文利用變分方法獲得問題(1)的一個正局部極小解。在一定程度上,推廣文獻[1，4]的結果。

問題(1)對應的能量泛函為

記As為Hardy-Sobolev常數(shù)

(3)

特別地,當s=0,

1 主要定理

首先,給出如下一個重要的引理。

引理1.1假設a,b≥0且a+b>0,00和R,ρ>0使得對任意的λ∈(0,λ*)都有

(4)

證明由H?lder不等式和式(3),有

(5)

(6)

從而,根據(jù)式(5)和式(6),可得

(7)

當a>0時,令

則

容易得到

使得

I(u)|u∈SR1≥ρ,

(8)

則

容易得到,

使得

I(u)|u∈SR2≥ρ,

(9)

故,當‖u‖充分小時,有

從而式(7)成立。引理1.1證畢。

下面,給出本文的主要結果及其證明。

證明根據(jù)引理1.1,只需證明存在u*∈BR(BR為引理1.1中所定義)使得I(u*)=m<0。由引理1.1的證明過程和式(1),可推得?u∈BR有

≥0,

(10)

和

(11)

不失一般性,令wn=un-u*,由式(11)可推得

(12)

‖un‖2=‖wn‖2+‖u*‖2+o(1),

(13)

‖un‖4=‖wn‖4+‖u*‖4+

2‖wn‖2‖u*‖2+o(1),

(14)

其中o(1)表示n→∞的無窮小量。再根據(jù)文獻[6],可得

(15)

若u*=0,可得wn=un,這就意味著wn∈BR。若u*≠0,由式(13),當n充分大時有wn∈BR。從而,由式(10),可推得

(16)

故,由式(12)～式(16),有

這就意味著I(u*)=m<0且u*?0,即u*能量泛函I的一個局部極小值點。因此,u*是問題(1)的非零解。由I(|u|)=I(u),不失一般性,可以假設u*≥0。根據(jù)強極大值原理,可得在Ω中u*>0。故,u*是問題(1)的正解且I(u*)<0。定理1.1證畢。

注記1.1一方面,將文獻[1]中所研究的問題推廣至帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的情形,并獲得問題(1)的正解的存在性;另一方面,當s=0時,定理1.1結果包含文獻[4]的主要結果,而且我們的方法比文獻[4]的方法簡單。此外,定理1.1對于a=0,b>0或者a>0,b=0的情況同樣成立。當a=0,b>0時,問題(1)被稱為退化的Kirchhoff型方程;當a>0,b=0時,問題(1)退化為經(jīng)典的奇異半線性橢圓方程。

注記1.2特別地,當a=1,b=0時,文獻[7]研究問題(1)并獲得2個正解的存在性。對于這類帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的奇異橢圓方程的更多結果,可參見文獻[7]的參考文獻及其引用文獻。這里提出一個公開問題:如何獲得問題(1)的第2個正解？