高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何掌握函數(shù)最值的性質(zhì)

高文漢

在求某個(gè)數(shù)值的最值時(shí)，經(jīng)常要應(yīng)用函數(shù)思想來(lái)解決，部分同學(xué)因?yàn)閷?duì)函數(shù)最值的性質(zhì)不夠了解，所以不能應(yīng)用函數(shù)思想來(lái)解決問(wèn)題.本文將說(shuō)明在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握函數(shù)最值性質(zhì)的方法.

一、對(duì)應(yīng)圖像，宏觀探討函數(shù)最值的概念

從函數(shù)最值的概念來(lái)看，在探討函數(shù)的最值時(shí)，首先要確定一個(gè)函數(shù)的范圍，其次要探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再次要探討函數(shù)的增減性，最后要探討函數(shù)的最值.這是一種把函數(shù)與集合論結(jié)合起來(lái)，探討函數(shù)最值的方法.

圖1

如題1：圖1所示是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f（x），請(qǐng)說(shuō)明該圖像函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及每個(gè)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù).該函數(shù)共有四個(gè)單調(diào)區(qū)間[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-5，-2]，[1，3]上是減函數(shù)；在[-2，1]，[3，5]上是增函數(shù).

二、應(yīng)用習(xí)題，明晰函數(shù)最值的探討方法

在了解了函數(shù)最值相關(guān)概念以后，要了解函數(shù)最值探討的方法，就是用科學(xué)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)最值的問(wèn)題，通過(guò)說(shuō)明概念與概念的關(guān)聯(lián)，來(lái)說(shuō)明函數(shù)最值的計(jì)算方法.

如題2：求函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值.應(yīng)用函數(shù)最值的概念來(lái)分析函數(shù)的問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)關(guān)系.首先，確定函數(shù)最值的探討范圍.設(shè)x1、x2是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10，（x1-1）（x2-1）>0，于是f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.這一步說(shuō)明了該函數(shù)是個(gè)減函數(shù)，即x越大，y越小.最后，根據(jù)函數(shù)的最值探討結(jié)合，把已知條件代入到數(shù)學(xué)關(guān)系中，根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系得到函數(shù)的最值.根據(jù)已知條件獲取函數(shù)y=2x-1在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與增減性，可知當(dāng)x=2時(shí)，ymax=2；當(dāng)x=6時(shí)，ymin=25.

三、結(jié)合性質(zhì)，抓住函數(shù)最值的探討特征

在遇到實(shí)際數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要能捕捉到函數(shù)最值問(wèn)題的特征.首先確定該數(shù)學(xué)問(wèn)題是個(gè)函數(shù)問(wèn)題，或者能夠轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題.然后，要求探討的是在某個(gè)區(qū)間中x值或y值的取值范圍，或者探討y值或x值的最大值或最小值，都可以應(yīng)用函數(shù)最值的性質(zhì)來(lái)探討.

如題3：中興種子公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元的稅率來(lái)納稅.現(xiàn)公司的成本原定計(jì)劃收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，然而此時(shí)因政策優(yōu)惠，出臺(tái)了將征稅率降低x（x≠0）個(gè)百分點(diǎn)的政策，如在不增加成本的前提下，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn).（1）根據(jù)現(xiàn)有已知條件建立稅收y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在實(shí)施了稅收政策以后，如果要讓繳納的稅款不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，那么x的取值范圍是多少？該問(wèn)題是一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，它探討的是稅收y與x的函數(shù)關(guān)系式，并且要了解在稅收y為83.2%的前提下，稅率的取值范圍，這就是在函數(shù)區(qū)間y為（10-x）%的前提下x的取值，這就是函數(shù)最值問(wèn)題的特征.應(yīng)用函數(shù)最值的性質(zhì)來(lái)分析習(xí)題.（1）降低稅率后的稅率為（10-x）%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a（1+2x%）萬(wàn)擔(dān)，那么收購(gòu)總金額為200a（1+2x%）.結(jié)合已知條件建立函數(shù)關(guān)系，得y=200a（1+2x%）（10-x）%=150a（100+2x）（10-x）（0

總之，在探討數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要應(yīng)用函數(shù)最值的性質(zhì)來(lái)探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，該文說(shuō)明了函數(shù)最值問(wèn)題探討的方法.