剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子的統(tǒng)一形式

葉明飛, 金檢華

(西南石油大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610500)

1 預(yù)備知識(shí)

如果把經(jīng)典的二值邏輯理論的語(yǔ)義系統(tǒng)中原子公式的賦值域由{0,1}擴(kuò)充到單位區(qū)間[0,1],就形成了模糊邏輯系統(tǒng),不同的模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)應(yīng)不同的蘊(yùn)涵算子[1-5],其中,與[0,1]上的左連續(xù)三角模[6]相伴隨的剩余型模糊蘊(yùn)涵算子[2-4,6]在模糊邏輯的語(yǔ)義系統(tǒng)中占有重要的地位.近些年來(lái)對(duì)于不同的模糊蘊(yùn)涵算子形成的模糊代數(shù)的研究取得了豐富的研究成果[5,7-11].然而對(duì)于模糊差算子[1,5]及其相關(guān)理論[9-11]的研究并不多見(jiàn).文獻(xiàn)[9-10]提出的余剩余格理論在格上系統(tǒng)討論由廣義三角余模及其相伴隨的模糊差算子構(gòu)成的余伴隨對(duì)的性質(zhì).文獻(xiàn)[12-14]為剩余型直覺(jué)模糊蘊(yùn)涵算子和剩余型直覺(jué)模糊差算子以及直覺(jué)模糊推理的研究奠定了基礎(chǔ).文獻(xiàn)[12]提出直覺(jué)三角模和直覺(jué)三角余模,文獻(xiàn)[13]給出剩余型直覺(jué)模糊蘊(yùn)涵的概念,文獻(xiàn)[14]給出直覺(jué)模糊推理的邏輯系統(tǒng)的理論框架.文獻(xiàn)[15-18]基于余剩余格理論進(jìn)一步研究剩余型直覺(jué)模糊蘊(yùn)涵算子和剩余型直覺(jué)模糊差算子統(tǒng)一形式以及直覺(jué)模糊推理的三I理論.文獻(xiàn)[15]對(duì)直覺(jué)三角模和直覺(jué)三角余模的性質(zhì)進(jìn)行研究,提出由此生成的直覺(jué)伴隨對(duì)和直覺(jué)余伴隨對(duì)的概念,并給出與直覺(jué)三角模相伴隨的剩余型直覺(jué)蘊(yùn)涵算子的統(tǒng)一形式;文獻(xiàn)[16]基于左連續(xù)三角模生成的剩余型直覺(jué)模糊蘊(yùn)涵研究直覺(jué)模糊三I算法理論,給出直覺(jué)模糊三I算法解的一般形式并討論它們的還原性;文獻(xiàn)[17]在直覺(jué)模糊區(qū)域上研究三角模和三角余模的性質(zhì),給出直覺(jué)模糊差算子和直覺(jué)余伴隨的概念,得到剩余型直覺(jué)模糊差算子的統(tǒng)一形式.為了提高直覺(jué)模糊三I推理IFMT的還原性,文獻(xiàn)[18]基于左連續(xù)三角模生成的剩余型直覺(jué)模糊差算子提出對(duì)偶的三I理論FMT和IFMT,并證明它們具有還原性.余剩余格理論不僅豐富模糊代數(shù)理論,而且為其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究提供了有力的工具[19].直覺(jué)模糊集作為模糊集的推廣[20],被廣泛應(yīng)用在處理不確定性問(wèn)題上[21].作為直覺(jué)模糊集的推廣,區(qū)間值直覺(jué)模糊集在不確定信息處理方面比直覺(jué)模糊集能更有效地減少信息的損失和反映不確定信息.因此,它也被廣泛地應(yīng)用于諸多領(lǐng)域,例如汽車(chē)尾氣排放預(yù)測(cè)、模式識(shí)別、多屬性決策、圖像處理等[22-25].本文對(duì)區(qū)間值直覺(jué)模糊區(qū)域上的格代數(shù)結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步研究,在余剩余格理論的基礎(chǔ)上給出剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子的統(tǒng)一形式,建立起區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子與模糊算子之間的關(guān)系,并給出由4類(lèi)常見(jiàn)的左連續(xù)三角模所生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子的具體表達(dá)式.

下面首先回顧三角模和三角余模及其伴隨算子的相關(guān)知識(shí).設(shè)X為論域,記L=[0,1],x∨y=sup{x,y},x∧y=inf{x,y},?x,y∈X.

定義1.1[6]若L上的二元運(yùn)算?滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、單調(diào)增和邊界條件a?1=a,則稱(chēng)?是L上的三角模.若L上的二元運(yùn)算⊕滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、單調(diào)增和邊界條件a⊕0=a,則稱(chēng)⊕是L上的三角余模.

命題1.1[6]?是L上的三角模,若二元運(yùn)算⊕滿(mǎn)足

a⊕b=1-(1-a)?(1-b),

則⊕是L上的三角余模,稱(chēng)⊕為與?對(duì)偶的三角余模.反之,⊕是L上的三角余模,若二元運(yùn)算?滿(mǎn)足

a?b=1-(1-a)⊕(1-b),

則?是L上的三角模,稱(chēng)?為與⊕對(duì)偶的三角余模.

命題1.2[10]三角模?是左連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)偶的三角余模⊕是右連續(xù)的.

命題1.3[6]若?是左連續(xù)的三角模,則L上有二元運(yùn)算→,使得(?,→)構(gòu)成伴隨對(duì),即a?b≤c當(dāng)且僅當(dāng)a≤b→c,且(L,?,1)是交換半群.

命題1.4[10]若⊕是右連續(xù)的三角余模,則L上有二元運(yùn)算?,使得(⊕,?)構(gòu)成余伴隨對(duì),即c≤a⊕b當(dāng)且僅當(dāng)c?b≤a,且(L,⊕,0)是交換半群.

定義1.3[17]若(?,→)構(gòu)成伴隨對(duì),(⊕,?)構(gòu)成余伴隨對(duì)并且⊕和?對(duì)偶,則稱(chēng)→、⊕和?是?的關(guān)聯(lián)算子.

例1.1[16]下面列舉4個(gè)重要的三角模算子.前3個(gè)是連續(xù)的三角模算子,最后一個(gè)是左連續(xù)三角模:

1) Godel三角模a?Gb=a∧b;

2) Lukasiewicz三角模a?Lub=(a+b-1)∨0;

3) 乘積三角模a?πb=ab;

4)R0三角模

與上述4種三角模關(guān)聯(lián)的算子分別為:

2′)a→Lub=(1-a+b)∧1,

a⊕Lub=(a+b)∧1,b?Lua=(b-a)∨0.

設(shè)SI是[0,1]上所有閉子區(qū)間的集合,即SI={[a,b]|a,b∈[0,1]},在SI上可以定義一個(gè)偏序關(guān)系:[a,b]≤[c,d]?a≤c且b≤d.顯然,(SL,≤)是一個(gè)有界的完備格.

定義1.4[26]若?是[0,1]上的三角模,則在SI上由三角模?生成的區(qū)間值模糊三角模?SI可定義為

[a,b]?SI[c,d]=[a?c,b?d].

(1)

相似地,若⊕是[0,1]上的三角余模,則在SI上由三角余模⊕生成的區(qū)間值模糊三角余模⊕SI可定義為

[a,b]⊕SI[c,d]=[a⊕c,b⊕d)].

(2)

定義1.5[27]設(shè)論域X={x1,x2,...,xn},X上的直覺(jué)模糊集A可以用一個(gè)真隸屬函數(shù)tA(x)和一個(gè)假隸屬函數(shù)fA(x)來(lái)表達(dá)

tA:X→[0,1],fA:X→[0,1],

其中要求0≤tA(x)+fA(x)≤1,?x∈X.記A={〈x,tA(x),fA(x)〉|x∈X}.

直覺(jué)模糊集作為模糊集的推廣,它把論域X上的特征函數(shù)的取值從L擴(kuò)充到三角形區(qū)域L*={(u,v)∈[0,1]2|u+v≤1}.在L*上可以定義一個(gè)偏序關(guān)系:

α,β∈L*,α=(a1,b1),β=(a2,b2),α≤β當(dāng)且僅當(dāng)a1≤a2,b1≥b2.可以看出,α∧β=(a1∧a2,b1∨b2),α∨β=(a1∨a2,b1∧b2),0*=(0,1)和1*=(1,0)分別是L*的最小元和最大元.不難證明(L*,≤)是完備的分配格.

定義1.6[17]二元運(yùn)算?L*被稱(chēng)為由三角模?生成的直覺(jué)模糊三角模,如果

α?L*β=(a1?a2,b1⊕b2).

(3)

相似地,二元運(yùn)算⊕L*被稱(chēng)為由三角模?生成的直覺(jué)模糊三角余模,如果

α⊕L*β=(a1⊕a2,b1?b2),

(4)

在這里要求⊕是三角模?的對(duì)偶三角余模.

命題1.5[17](L*,?L*)是以1*為單位元的交換半群,?L*是單調(diào)遞增的；(L*,⊕L*)是以0*為單位元的交換半群,且⊕L*是單調(diào)遞增的.

命題1.6[17]若?是左連續(xù)三角模,則有：

定理1.1[17]若?L*是由左連續(xù)三角模?生成的直覺(jué)模糊三角模,則在L*上一定存在一個(gè)二元運(yùn)算→L*滿(mǎn)足：

γ?L*α≤β?γ≤α→L*β,

(5)

α→L*β=∨{η∈SL*|η?L*α≤β}.

(6)

定義1.7[17]把滿(mǎn)足(5)式的(?L*,→L*)稱(chēng)為直覺(jué)模糊伴隨對(duì),把滿(mǎn)足(6)式的→L*稱(chēng)為剩余型直覺(jué)模糊蘊(yùn)涵算子.

定理1.2[17]若⊕L*是由左連續(xù)三角模?生成的直覺(jué)模糊三角余模,則在L*上一定存在一個(gè)二元運(yùn)算?L*滿(mǎn)足：

α≤γ⊕L*β?α?L*β≤γ,

(7)

α?L*β=∧{η∈L*|α≤η⊕L*β}.

(8)

定義1.8[17]把滿(mǎn)足(7)式的(⊕L*,?L*)稱(chēng)為直覺(jué)模糊余伴隨對(duì),把滿(mǎn)足(8)式的?L*稱(chēng)為剩余型直覺(jué)模糊差算子.

定理1.3[17]若α,β∈L*,α=(a1,a2),β=(b1,b2),?L*是由左連續(xù)三角模?生成的剩余型直覺(jué)模糊差算子,則有

α?L*β=

(a1?b1,(b2→a2)∧(1-a1?b1)).

(9)

定義1.9[28]設(shè)X是一個(gè)普通論域,X上的一個(gè)區(qū)間值直覺(jué)模糊集可以表示為

A={〈x,μA(x),νA(x)〉:x∈X},

其中

μA(x):X→SI, νA(x):X→SI,

2 區(qū)間值直覺(jué)伴隨對(duì)和區(qū)間值直覺(jué)余伴隨對(duì)

很自然,可以在SL*上定義一個(gè)偏序關(guān)系:

α,β∈SL*,α=([a1,b1],[c1,d1]),β=([a2,b2],[c2,d2]),α≤β?a1≤a2,b1≤b2,c1≥c2,d1≥d2,并且α∧β=([a1∧a2,b1∧b2],[c1∨c2,d1∨d2]),α∨β=([a1∨a2,b1∨b2],[c1∧c2,d1∧d2]),0*=([0,0],[1,1])和1*=([1,1],[0,0])分別是SL*上的最小元和最大元.很容易證明(SL*,≤)是一個(gè)有界的完備格.

在SL*上可以定義如下形式的2個(gè)二元運(yùn)算:

α?SL*β=([a1?a2,b1?b2],

[c1⊕c2,d1⊕d2]),

(10)

?是三角余模⊕的對(duì)偶三角模

α⊕SL*β=([a1⊕a2,b1⊕b2],

[c1?c2,d1?d2]),

(11)

⊕是三角模的?對(duì)偶三角余模.

一方面,可以證明這2個(gè)二元運(yùn)算是有效的,即α?SL*β,α⊕SL*β∈SL*.因?yàn)棣?β∈SL*,i.e.,b1+d1≤1,b2+d2≤1,由于⊕的單調(diào)性和?與⊕是對(duì)偶的,b1?b2+d1⊕d2≤b1?b2+(1-b1)⊕(1-b2)=b1?b2+1-b1?b2=1,i.e.,α?SL*β∈SL*.同理,可以證實(shí)α⊕SL*β∈SL*.另一方面,在(SL*,≤)里?SL*和⊕SL*滿(mǎn)足交換性、結(jié)合性、單調(diào)性以及邊界條件α?SL*1*=α和α⊕SL*0*=α可以很容易被證實(shí).因此,可以得到如下結(jié)論.

命題2.1(SL*,?SL*)是以1*為單位元的交換半群,且?SL*是單調(diào)遞增的；(SL*,⊕SL*)是以0*為單位元的交換半群,且⊕SL*是單調(diào)遞增的.

定義2.1稱(chēng)?SL*是由三角模?生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊三角模,稱(chēng)⊕SL*是由三角模?生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊三角余模.

命題2.2若?是左連續(xù)三角模,則有：

證明設(shè)α,γ∈SL*且αi=([ai,bi],[ci,di]),γ=([a,b],[c,d]),由?是左連續(xù)的三角模和?SL*的定義以及命題1.2可知

?SL*γ=

([a,b],[c,d])=

所以?SL*為SL*上的左連續(xù)區(qū)間值直覺(jué)模糊三角模；同理可證明⊕SL*為SL*上的右連續(xù)區(qū)間值直覺(jué)模糊三角余模.

定理2.1若?SL*是由左連續(xù)三角模?生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊三角模,則在SL*上一定存在一個(gè)二元運(yùn)算→SL*滿(mǎn)足

γ?SL*α≤β?γ≤α→SL*β,

(12)

并且

α→SL*β=

∨{η∈SL*|η?SL*α≤β}.

(13)

證明由(13)式可知,若γ?SL*α≤β,則γ≤α→SL*β.相反,如果γ≤α→SL*β,則有γ≤∨{η∈SL*|η?SL*α≤β}.又因?yàn)?SL*是單調(diào)遞增和左連續(xù)的,從而

γ?SL*α≤∨{η∈SL*|η?SL*α≤β}?SL*α=

∨{η?SL*α|η?SL*α≤β}=β,

即γ?SL*α≤β.

定義2.2把滿(mǎn)足(12)式的(?SL*,→SL*)稱(chēng)為區(qū)間值直覺(jué)模糊伴隨對(duì),把滿(mǎn)足(13)式的→SL*稱(chēng)為剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊蘊(yùn)涵算子.

定理2.2若⊕SL*是由左連續(xù)三角模?生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊三角余模,則在SL*上一定存在一個(gè)二元運(yùn)算?SL*使得:

α≤γ⊕SL*β?α?SL*β≤γ,

(14)

α?SL*β=

∧{η∈SL*|α≤η⊕SL*β}.

(15)

證明由?SL*的定義,如果α≤γ⊕SL*β,顯然有α?SL*β≤γ.相反,如果α?SL*β≤γ,則有

∧{η∈SL*|α≤η⊕SL*β}≤γ.

又因?yàn)楱扴L*是單調(diào)遞增和右連續(xù)的,從而

γ⊕SL*β≥

(∧{η∈SL*|α≤η⊕SL*β})⊕SL*β=

∧{η⊕SL*β|α≤η⊕SL*β}=α,

因此α≤γ⊕SL*β.

定義2.3把滿(mǎn)足(14)式的(⊕SL*,?SL*)稱(chēng)為區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì),把滿(mǎn)足(15)式的?SL*稱(chēng)為剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子.

命題2.3若?SL*是一個(gè)由左連續(xù)三角模?生成的剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子,且(⊕SL*,?SL*)是SL*上的一個(gè)區(qū)間值直覺(jué)余伴隨對(duì),則下列性質(zhì)成立:

1)α?SL*0*=α;

2)α?SL*β=0*當(dāng)且僅當(dāng)α≤β;

3)α?SL*β≤γ當(dāng)且僅當(dāng)α?SL*γ≤β;

4)α?SL*(β⊕SL*γ)=(α?SL*β)?SL*γ=(α?SL*γ)?SL*β;

5) (α⊕SL*β)?SL*β≤α≤(α?SL*β)⊕SL*β;

6) ((α⊕SL*β)?SL*β)?SL*α=((α⊕SL*β)?SL*α)?SL*β=0*;

7) (α⊕SL*γ)?SL*(γ⊕SL*β)≤α?SL*β≤(α?SL*γ)⊕SL*(γ?SL*β);

10)α?SL*β關(guān)于第一個(gè)變?cè)羻握{(diào)遞增,關(guān)于第二個(gè)變?cè)聠握{(diào)遞減.

證明1) 因?yàn)?⊕SL*,?SL*)是SL*上的一個(gè)區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì)且(SL*,⊕SL*)是以0*為單位元的交換半群,所以由α≤α=α⊕SL*0*得α?SL*0*≤α;又由α?SL*0*≤α?SL*0*得

α≤(α?SL*0*)⊕SL*0*=α?SL*0*,

即α=α?SL*0*.

2)α≤β,當(dāng)且僅當(dāng)α≤0*⊕SL*β,當(dāng)且僅當(dāng)α?SL*β≤0*,當(dāng)且僅當(dāng)α?SL*β=0*,即2)成立.

3)α?SL*β≤γ,當(dāng)且僅當(dāng)α≤γ⊕SL*β,當(dāng)且僅當(dāng)α≤β⊕SL*γ,當(dāng)且僅當(dāng)α?SL*γ≤β.

4) ?η∈SL*,α?SL*(β⊕SL*γ)≤η,當(dāng)且僅當(dāng)α≤η⊕SL*(β⊕SL*γ),當(dāng)且僅當(dāng)(α?SL*β)?SL*γ≤η,當(dāng)且僅當(dāng)(α?SL*γ)?SL*β≤η,即4)成立.

5) 由區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì)及(SL*,⊕SL*)的性質(zhì),α⊕SL*β≤α⊕SL*β,當(dāng)且僅當(dāng)(α⊕SL*β)?SL*β≤α;α?SL*β≤α?SL*β,當(dāng)且僅當(dāng)α≤(α?SL*β)⊕SL*β,即5)成立.

6) 由2)和5)直接可證得6)成立.

7) 由區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì)的性質(zhì)以及5)可知,α⊕SL*γ≤((α?SL*β)⊕SL*β)⊕SL*γ=(α?SL*β)⊕SL*(γ⊕SL*β),所以(α⊕SL*γ)?SL*(γ⊕SL*β)≤α?SL*β,同理可證α?SL*β≤(α?SL*γ)⊕SL*(γ?SL*β),即7)成立.

8) 由⊕SL*右連續(xù)可知

⊕SL*α),

推論2.1設(shè)⊕SL*是右連續(xù)的區(qū)間值直覺(jué)模糊三角余模,且(⊕SL*,?SL*)是SL*上的區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì),則有：

1) (α⊕SL*β)?SL*γ≤α⊕SL*(β?SL*γ),α?SL*(γ?SL*β)≤α⊕SL*(β?SL*γ);

2)α?SL*(β?SL*γ)≤(α?SL*β)⊕SL*γ,(α⊕SL*γ)?SL*β≤(α?SL*β)⊕SL*γ;

3) (α⊕SL*γ)?SL*(β⊕SL*η)≤(α?SL*β)⊕SL*(γ?SL*η);

4) (α?SL*γ)?SL*(β?SL*η)≤(α?SL*β)⊕SL*(η?SL*γ);

5) (α⊕SL*γ)?SL*(β?SL*η)≤(α⊕SL*η)⊕SL*(γ?SL*β);

6) (α∨β)?SL*β=α?SL*β,α?SL*(α∧β)=α?SL*β;

7)α?SL*(α?SL*β)≤α∧β,α∨β≤(α?SL*β)⊕SL*β;

8) (α∨γ)?SL*(β∨γ)≤α?SL*β,(α∧γ)?SL*(β∧γ)≤α?SL*β;

9) (α∨γ)?SL*(β∨η)≤(α?SL*β)∨(γ?SL*η);

10) (α∧γ)?SL*(β∧η)≤(α?SL*β)∨(γ?SL*η).

證明1) 由區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì)和(SL*,⊕SL*)的性質(zhì)及命題2.3的5)知α⊕SL*β≤α⊕SL*β≤α⊕SL*((β?SL*γ)⊕SL*γ)=(α⊕SL*(β?SL*γ))⊕SL*γ,所以(α⊕SL*β)?SL*γ≤α⊕SL*(β?SL*γ).同理,由(SL*,⊕SL*)的性質(zhì)及命題2.3的7)可知α?SL*(γ?SL*β)≤α⊕SL*(β?SL*γ),故1)成立.

2) 由區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì)和(SL*,⊕SL*)的性質(zhì)及命題2.3的4)和5)知α?SL*β≥((α⊕SL*γ)?SL*γ)?SL*β=((α⊕SL*γ)?SL*β)?SL*γ,從而α?SL*(β?SL*γ)≤(α?SL*β)⊕SL*γ,同理α?SL*β≥α?SL*((β?SL*γ)⊕SL*γ)=(α?SL*(β?SL*γ))?SL*γ,從而(α⊕SL*γ)?SL*β≤(α?SL*β)⊕SL*γ,即2)成立.

3) 由區(qū)間值直覺(jué)模糊余伴隨對(duì)和(SL*,⊕SL*)的性質(zhì)及命題2.3的4)以及推論2.1的1)和2)可知(α⊕SL*γ)?SL*(β⊕SL*η)=((α⊕SL*γ)?SL*β)?SL*η≤((α?SL*β)⊕SL*γ)?SL*η≤(α?SL*β)⊕SL*(γ?SL*η),即3)成立,同理可證4)和5)成立.

6) 由命題2.3的1)、2)和9)易知(α∨β)?SL*β=(α?SL*β)∨(β?SL*β)=(α?SL*β)∨0*=α?SL*β,同理由命題2.3的1)、2)和8)知α?SL*(α∧β)=α?SL*β,即6)成立.

7) 因?yàn)?*是SL*上的最小元,由命題2.3的1)和10)易知α?SL*(α?SL*β)≤α?0*=α,再由命題2.3的5)和區(qū)間值直覺(jué)余伴隨對(duì)的性質(zhì)可知α?SL*(α?SL*β)≤β,所以α?SL*(α?SL*β)≤α∧β,同理可證α∨β≤(α?SL*β)⊕SL*β,即7)成立.

8) 由命題2.3的2)、9)和10)知(α∨γ)?SL*(β∨γ)=(α?SL*(β∨γ))∨(γ?SL*(β∨γ))=α?SL*(β∨γ)≤α?SL*β,同理由命題2.3的8)和10)可知(α∧γ)?SL*(β∧γ)≤α?SL*β成立,即8)成立.對(duì)于9)、10)的證明與8)相同,由命題2.3的8)～10)直接可證得.

3 剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子的統(tǒng)一表達(dá)形式

由文獻(xiàn)[17]可知剩余型直覺(jué)模糊差算子?L*可以表達(dá)成L上算子的統(tǒng)一形式(9)式,這個(gè)結(jié)果揭示了它和L上所對(duì)應(yīng)的模糊算子之間的關(guān)系.本文研究了由左連續(xù)的三角模?可以生成SL*上右連續(xù)的區(qū)間值直覺(jué)三角余模⊕SL*,并且可以找到SL*上的一個(gè)剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子?SL*,使得(⊕SL*,?SL*)構(gòu)成區(qū)間值直覺(jué)余伴隨對(duì).(15)式給出了?SL*的求解表達(dá)式.這樣一個(gè)剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子?SL*能否像剩余型直覺(jué)模糊差算子?L*那樣由L上的算子來(lái)表達(dá),并且找到它和L上所對(duì)應(yīng)的模糊算子之間的關(guān)系呢？下面的這個(gè)定理給出了回答.

定理3.1若α,β∈SL*,α=([a1,b1],[c1,d1]),β=([a2,b2],[c2,d2]),?SL*是由左連續(xù)三角模?生成的剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子,則有

α?SL*β=([a1?a2,(a1?a2)∨

(b1?b2)],[(c2→c1)∧(d2→d1)∧

(1-a1?a2)∧(1-b1?b2),(d2→d1)∧

(1-a1?a2)∧(1-b1?b2)]).

(16)

證明令η=([a,b],[c,d])=α?SL*β,ηi=([ei,fi],[hi,ki])∈SL*.由定理2.2可得

η=([a,b],[c,d])=α?SL*β=

∧{ηi∈SL*|α≤ηi⊕SL*β}=

∧{([ei,fi],[hi,ki])|([a1,b1],[c1,d1])≤

([ei,fi],[hi,ki])⊕SL*([a2,b2],[c2,d2])}=

∧{([ei,fi],[hi,ki])|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,hi?c2≤c1,

ki?d2≤d1,ei+ki≤1,fi+ki≤1,

ei≤fi,hi≤ki}=(∧[ei,fi],∨[hi,ki]).

由余伴隨對(duì)的性質(zhì),η的第一個(gè)元素[a,b]可以由下面形式給出

[a,b]=∧{[ei,fi]|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,ei≤fi}=

∧{[ei,fi]|[a1,b1]≤[ei,fi]⊕SI[a2,b2]}=

[a1?a2,(a1?a2)∨(b1?b2)].

事實(shí)上,假設(shè)M={[ei,fi]|a1≤ei⊕a2,b1≤fi⊕b2},如果?[ei,fi]∈M,則a1≤ei⊕a2且b1≤fi⊕b2,從而a1?a2≤ei≤fi且b1?b2≤fi.因此[a1?a2,(a1?a2)∨(b1?b2)]≤[ei,fi],所以

[a1?a2,(a1?a2)∨

(b1?b2)]≤[a,b].

(17)

另一方面

[a1?a2,(a1?a2)∨(b1?b2)]⊕SI

[a2,b2]=[(a1?a2)⊕a2,((a1?a2)∨

(b1?b2))⊕b2]≥[(a1?a2)⊕a2,

(b1?b2)⊕b2]≥[a1,b1],

從而

[a,b]≤[a1?a2,(a1?a2)∨

(b1?b2)].

(18)

最后,由(17)和(18)式可得

[a,b]=[a1?a2,(a1?a2)∨

(b1?b2)].

(19)

對(duì)于η的第二個(gè)元素[c,d]有

[c,d]=∨{[hi,ki]|a1≤ei⊕a2,

b1≤fi⊕b2,hi?c2≤c1,ki?d2≤d1,

ki≤1-ei,ki≤1-fi,hi≤ki},

因此可得

d=∨{ki|a1≤ei⊕a2,b1≤

fi⊕b2,ki?d2≤d1,ki≤1-ei,ki≤1-fi}≤

∨{ki|ki?d2≤d1}∧(∨{ki|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,ki≤1-ei,ki≤1-fi})≤

∨{ki|ki?d2≤d1}∧(∨{1-ei|a1≤

ei⊕a2})∧(∨{1-fi|b1≤fi⊕b2})=

∨{ki|ki?d2≤d1}∧(1-∧{ei|a1≤

ei⊕a2})∧(1-∧{fi|b1≤fi⊕b2})=

(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧(1-b1?b2),

即

d≤(d2→d1)∧(1-a1?a2)

∧(1-b1?b2);

(20)

c=∨{hi|a1≤ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,

hi?c2≤c1,ki?d2≤d1,ki≤1-ei,

ki≤1-fi,hi≤ki}≤

∨{hi|hi?c2≤c1}∧(∨{ki|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,ki?d2≤d1,

ki≤1-ei,ki≤1-fi})≤

(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2),

即

c≤(c2→c1)∧(d2→d1)∧

(1-a1?a2)∧(1-b1?b2).

(21)

記

γ=([a1?a2,(a1?a2)∨(b1?b2)],

[(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2),(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2)]).

由(19)～(21)式可得

η=([a,b],[c,d])≥γ.

(22)

另一方面

([a1?a2,(a1?a2)∨(b1?b2)],

[(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2),(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2)])⊕SL*β=

([a1?a2,(a1?a2)∨(b1?b2)],

[(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2),(d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2)])⊕SL*([a2,b2],[c2,d2])=

([(a1?a2)⊕a2,((a1?a2)∨

(b1?b2))⊕b2],[((c2→c1)∧(d2→d1)∧

(1-a1?a2)∧(1-b1?b2))?c2,

((d2→d1)∧(1-a1?a2)∧

(1-b1?b2))?d2])≥

([(a1?a2)⊕a2,(b1?b2)⊕b2],

[(c2→c1)?c2,(d2→d1)?d2])≥

([a1,b1],[c1,d1])=α.

由定理2.2知

η=([a,b],[c,d])≤γ.

(23)

因此,由(22)和(23)式,定理得證.

推論3.1若區(qū)間值直覺(jué)模糊集退化為普通的直覺(jué)模糊集,則由左連續(xù)三角模?生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子?SL*相應(yīng)地退化為直覺(jué)模糊差算子?L*,即?α,β∈SL*,α=([a1,a1],[a2,a2]),β=([b1,b1],[b2,b2]),有

α?SL*β=(a1?b1,(b2→a2)∧

(1-a1?b1)).

(24)

證明由定理3.1直接可得證.

下面將分別給出由例1.1中4種不同三角模生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子的具體形式.

例3.1若?=?Lu,則有:

a1?Lua2=(a1-a2)∨0,

b1?Lub2=(b1-b2)∨0;

1-a1?Lua2=(1-a1+a2)∧1,

1-b1?Lub2=(1-b1+b2)∧1;

c2→Luc1=(1-c2+c1)∧1,

d2→Lud1=(1-d2+d1)∧1;

從而

a=(a1-a2)∨0,

b=(a1-a2)∨(b1-b2)∨0,

c=(1-a1+a2)∧(1-b1+b2)∧

(1-c2+c1)∧(1-d2+d1)∧1,

d=(1-a1+a2)∧(1-b1+b2)∧

(1-d2+d1)∧1.

因此

α?SL*β=([(a1-a2)∨0,

(a1-a2)∨(b1-b2)∨0],

[(1-a1+a2)∧(1-b1+b2)∧(1-c2+

c1)∧(1-d2+d1)∧1,(1-a1+a2)∧

(1-b1+b2)∧(1-d2+d1)∧1]).

例3.2若?=?G,則有:

因此:

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,0],[1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,0],[d1,d1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,0],[c1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,0],[c1,d1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,b1],[1-b1,1-b1];

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,b1],[d1,d1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,b1],[c1,1-b1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,b1],[c1,d1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1,a1],[1-a1,1-a1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1,a1],[d1,d1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1,a1],[c1,1-a1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1,a1],[c1,d1]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1,b1],[1-b1,1-b1]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1,b1],[d1,d1]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1,b1],[c1,1-b1]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1,b1],[c1,d1]).

例3.3若?=?π,則有:

因此:

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,0],[1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,則

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,則

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,則

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,則

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,則

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,則

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,則

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,則

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,則

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,則

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,則

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,則

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,則

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,則

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,則

例3.4若?=?0,則有:

因此:

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,0],[1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,0],[(1-d2)∨d1,

(1-d2)∨d1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,0],[(1-c2)∨c1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,0],[((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),(1-d2)∨d1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,b1∧(1-b2)],[(1-b1)∨b2,

(1-b1)∨b2]);

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,b1∧(1-b2)],

[((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1),

((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1)]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([0,b1∧(1-b2)],[((1-b1)∨

b2)∧((1-c2)∨c1),(1-b1)∨b2]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([0,b1∧(1-b2)],

[((1-b1)∨b2)∧((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),((1-b1)∨b2)∧

((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),a1∧(1-a2)],

[(1-a1)∨a2,(1-a1)∨a2]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),a1∧(1-a2)],

[((1-a1)∨a2)∧((1-d2)∨d1),

((1-a1)∨a2)∧((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),

a1∧(1-a2)],[((1-a1)∨a2)∧

((1-c2)∨c1),(1-a1)∨a2]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),a1∧(1-a2)],

[((1-a1)∨a2)∧((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),((1-a1)∨a2)∧

((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),

(a1∧(1-a2))∨(b1∧

(1-b2))],[((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2),((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),

(a1∧(1-a2))∨(b1∧(1-b2))],

[((1-a1)∨a2)∧((1-b1)∨b2)∧

((1-d2)∨d1),((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),(a1∧(1-a2))∨

(b1∧(1-b2))],[((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-c2)∨c1),

((1-a1)∨a2)∧((1-b1)∨b2)]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,則

α?SL*β=([a1∧(1-a2),(a1∧(1-a2))∨

(b1∧(1-b2))],[((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1)]).

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在區(qū)間值直覺(jué)模糊區(qū)域上研究了三角模和三角余模的性質(zhì),給出區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子和區(qū)間值直覺(jué)余伴隨的概念,討論了它們?cè)趨^(qū)間值直覺(jué)模糊區(qū)域上的性質(zhì),得到了剩余型區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子的統(tǒng)一形式,揭示了區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子與模糊算子之間的關(guān)系.最后給出4類(lèi)基本左連續(xù)三角模生成的區(qū)間值直覺(jué)模糊差算子的具體表達(dá)式.