三視圖補(bǔ)線線索探究

沈杰

摘 要：三視圖補(bǔ)線題是高考通用技術(shù)的必考題之一，每年的固定分值為三分。雖然分值比重不大，但是這種題型最能夠考查學(xué)生的空間想象力，也是最容易控制難度的題型，能很輕易地拉開分差。三視圖補(bǔ)線在教學(xué)中沒有現(xiàn)成的公式或口訣，都是依靠空間想象的“硬實(shí)力”，是很多學(xué)生比較害怕的一種題型。不少教師也認(rèn)為該題型只能聽天由命，看學(xué)生造化，但空間感覺很好的學(xué)生畢竟占極少數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)這一題型也并不是毫無規(guī)律可循，還是有努力方向的。在教學(xué)中根據(jù)歷年考題和各地模擬題的特點(diǎn)總結(jié)出了一套探尋補(bǔ)線線索的方法。雖然不能像公式一樣套用，也不能保證百發(fā)百中，但是能夠最快鎖定三條線的線索，實(shí)現(xiàn)在最短時間內(nèi)正確補(bǔ)線拿分的目的，為空間想象力一般的學(xué)生找到了一條努力的道路。

關(guān)鍵詞：三視圖;補(bǔ)線;通用技術(shù)

一、真題概覽

2016年至2018年出現(xiàn)的三視圖補(bǔ)線題。題型不給出三維圖形，將完整三視圖中的線擦去三條，要求學(xué)生補(bǔ)全這三條線。空間想象能力好的同學(xué)，這類題目能夠以“腦補(bǔ)”的方式，在頭腦中形成一個三維圖形，并根據(jù)這個三維圖將所缺的線補(bǔ)充出來。但是這類同學(xué)的比例很低，大部分同學(xué)需要通過畫立方體進(jìn)行切割后才能補(bǔ)充完整。切割法又非常耗時，在實(shí)戰(zhàn)中時間緊張，且在切割過程中也容易走彎路，導(dǎo)致思路卡住。如果在切割過程中能夠找到正確的切割方向，根據(jù)已有線索迅速構(gòu)建立體圖形，那么可以大大節(jié)約寶貴時間，提高正確率。筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了一套尋找切割線索的方法供讀者參考。

二、基礎(chǔ)法闡述：轉(zhuǎn)折點(diǎn)補(bǔ)棱

此方法最基礎(chǔ)，教學(xué)中經(jīng)常會用到，是“長對正、高平齊、寬相等”的應(yīng)用。如圖1所示，三視圖中出現(xiàn)的線都是輪廓線。每條輪廓線都是由兩個相交的平面形成，在三個視圖中以一點(diǎn)兩線的形式呈現(xiàn)。主視圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在左視圖中等高位置和俯視圖等寬位置有對應(yīng)輪廓線。同理在左視圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)與主視圖等高處和俯視圖等寬處有相應(yīng)的輪廓線，但是這里須將俯視圖逆時針旋轉(zhuǎn)90度與左視圖比較（如圖2）。俯視圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在主視圖等長處和左視圖等寬處有相應(yīng)的輪廓線。

三、點(diǎn)的特性：單點(diǎn)尋蹤

上述基礎(chǔ)方法最簡單，所補(bǔ)的線都是平行于輪廓線的直線。如果出現(xiàn)需要補(bǔ)充不平行輪廓線的斜線，那又如何操作呢？這就需要知道點(diǎn)的投影特性即“單點(diǎn)尋蹤”。兩點(diǎn)確定一條直線，只要確定了某線段上的兩點(diǎn)，此線段的位置就唯一確定了。因此在補(bǔ)線時就需要學(xué)會如何尋找點(diǎn)在三視圖中的位置。方法如下：

如圖3所示，A點(diǎn)在三視圖中的投影分別是a、a′、a″，主視圖和左視圖中的投影連線aa″垂直于Z軸，主視圖和俯視圖中的投影連線aa′垂直于X軸。a點(diǎn)與X軸的距離與a″與Z軸的距離相等。b點(diǎn)投影也具有同樣的特性。根據(jù)這個特點(diǎn)，如果已知點(diǎn)在兩個視圖中的投影，那么在第三個視圖中該點(diǎn)的位置就唯一確定了。進(jìn)一步，如果已知一條線段在兩個視圖中的投影，那么可以通過確定線段上的兩個點(diǎn)在第三視圖中的位置來確定該線段的三視圖位置。

四、綜合方法：逆向?qū)ほ?/p>

如果三視圖中有斜線出現(xiàn)，并且需要補(bǔ)的也是一條斜線，那么以上轉(zhuǎn)折點(diǎn)補(bǔ)棱的方法就行不通了。當(dāng)看到三視圖中有斜線，那么相當(dāng)于告訴我們要補(bǔ)的也很可能是一條斜線，這樣可以少走彎路。觀歷年考題，補(bǔ)線題都是從立方體開始以平面切割，然后將所得三視圖擦去三條線。鑒于此，筆者將高考已經(jīng)出現(xiàn)的切割方法歸類并分析不同切法所得三視圖的特點(diǎn)，根據(jù)這些特點(diǎn)進(jìn)行逆向推理，構(gòu)建三視圖，可以快速找準(zhǔn)補(bǔ)線的方向，稱為逆向?qū)ほ櫋?/p>

切法一：一刀單切

如圖4所示，立方體平行于輪廓線切一刀，切面平行已有輪廓線，稱為單斜切，箭頭方向?yàn)橹饕暦较?。得到的三視圖中有一個圖形不是完整的矩形，多了一條斜線。并且在這條斜線等高處和等寬處沒有斜線的話，在等高等寬區(qū)域不會再有第二條斜線，此切法在三視圖中只會多出一條斜線。如圖5所示2016年4月考題：

此三視圖中的斜線1和斜線2在各自的等高和等寬區(qū)域都沒有出現(xiàn)另一條斜線，因此必定是按照單斜切方法所得。這題可以利用轉(zhuǎn)折點(diǎn)補(bǔ)棱法迅速得到答案。

切法二：兩刀切

兩刀切就是將立體圖形切兩刀，去掉兩塊后形成的圖形。切法如圖6所示：

以上兩圖可以分別稱為直切兩刀和同向單斜切兩刀。這兩種切法難度不高，得到的圖形非常規(guī)則，一般學(xué)生都能夠想象出立體圖形。根據(jù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)補(bǔ)棱法就可以將所缺線補(bǔ)出。

如圖7 2017年11月考題：

此考題得滿分者比例較低，大部分考生能夠利用折點(diǎn)補(bǔ)棱法得到兩條平行于軸的直線而對于所缺斜線沒有思路。如果交叉單斜切三視圖的特性，那么就很清楚缺少了斜線。左視圖中斜線1在主視圖等高區(qū)域存在斜線2，但在俯視圖中斜線1的等寬區(qū)和斜線2的等寬區(qū)都沒有斜線。所以這個重疊區(qū)應(yīng)該缺少一條斜棱，同時俯視圖有矩形區(qū)域，符合交叉單斜切的特征，根據(jù)“長對正，高平齊、寬相等”的特性可以確定這條斜線的位置。綜上，三視圖中兩個視圖的同一位置有斜線，在第三個視圖相應(yīng)區(qū)域必有第三條斜線。

以上分析可知，一刀切的雙斜切法和兩刀切的交叉單斜切法都有可能形成三條斜線，當(dāng)題目中只出現(xiàn)兩條斜線時如何判斷第三條斜線是由一刀切的還是兩刀切形成的呢？兩刀切與一刀切有一顯著不同，即兩刀切會形成小矩形，而一刀切沒有。

圖形的切割特性如能夠熟練掌握，雖不像公式一樣一套就靈，但為我們的思考指明了方向，避免走錯路彎路。對交叉單斜切三視圖的進(jìn)一步研究可知，如果左右向傾斜切面固定，前后向傾斜切面的傾斜度越高，兩斜面交界線越趨向于平行前后棱。前后向傾斜切面固定，左右向傾斜切面的傾斜度越高，兩斜面交界線越趨向于垂直前后棱。這一特點(diǎn)在2016年10月的考試中也已出現(xiàn)過?？碱}如圖8所示：

此題中出現(xiàn)四條斜線，斜線4與一條直線相交，可以推測，此處可能有個小矩形，并且是由交叉單斜切法切割而成。從斜線1、3的位置推測，在直線邊上應(yīng)該有一條因兩斜面交界形成的斜線。并且斜線1的傾斜度小于斜線2，這條斜線應(yīng)該比斜線4更加趨向于平行前棱。根據(jù)此特點(diǎn)可以推測出如圖所示的斜線5即為所缺。

五、題型趨勢展望

到目前為止，歷年考題中只出現(xiàn)單斜切法和交叉單斜切法，像斜面2這樣由雙斜切而形成的復(fù)雜情形并不曾出現(xiàn)過。立體結(jié)構(gòu)同時由單斜切+雙斜切的形式更為復(fù)雜，難度會陡然上升。至于雙斜切+雙斜切的切法難度更是難以想象。所以今后的考題可能仍然以單斜切和交叉單斜切的形式出現(xiàn)，進(jìn)一步可能會出現(xiàn)雙斜切的情形，至于雙斜切+雙斜切的可能性并不大。

本文對三視圖補(bǔ)線的基礎(chǔ)方法進(jìn)行了詳細(xì)介紹，并在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)對圖形切割的可能性和所得三視圖的特點(diǎn)進(jìn)行了歸納總結(jié)。利用本文所述方法雖然不能做到百發(fā)百中，但是將缺線的位置、線型的范圍縮小了，可以大大節(jié)省寶貴的答題時間，提高解題準(zhǔn)確率。

補(bǔ)線沒有定法，更沒有公式，構(gòu)建出三維圖形無疑最保險(xiǎn)、最準(zhǔn)確，如果能夠結(jié)合本文所述切法特征去構(gòu)建，就可以做到快又準(zhǔn)。然而本文所述方法必定存在諸多疏漏之處，望讀者不吝指正。

編輯 郭小琴