一種限定混沌狀態(tài)變量運(yùn)動(dòng)區(qū)域的方法*

趙柏山，劉曉曉，張學(xué)松

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

自20世紀(jì)60年代Lorenz發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)混沌系統(tǒng)以來(lái)，混沌理論的研究和應(yīng)用在物理學(xué)、生物學(xué)、信息科學(xué)等許多領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注.Lorenz系統(tǒng)在混沌學(xué)的形成和發(fā)展中起到了不可替代的作用，因而成為后人研究混沌系統(tǒng)的基點(diǎn).以L(fǎng)orenz系統(tǒng)為基礎(chǔ)，研究者們提出了各種新型混沌系統(tǒng)，如基于電流反饋運(yùn)算放大器的憶阻混沌電路系統(tǒng)[1]、基于混沌系統(tǒng)部分序列參數(shù)辨識(shí)的混沌保密通信系統(tǒng)[2]、基于分?jǐn)?shù)階的自適應(yīng)滑模混沌通信系統(tǒng)[3]、磁控二氧化鈦憶阻混沌系統(tǒng)[4]以及含三個(gè)憶阻器的六階混沌電路[5]等.基于混沌信號(hào)的寬頻譜、類(lèi)隨機(jī)的混沌特性，混沌信號(hào)在多種新型混沌通信系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用，如基于比例積分反饋控制器的Lü混沌系統(tǒng)的同步實(shí)現(xiàn)[6]、低信噪比下混沌擴(kuò)頻數(shù)據(jù)的快速捕獲[7]、獨(dú)立同分布密鑰流混沌通信系統(tǒng)的構(gòu)建[8]以及基于混沌特性的微電網(wǎng)孤島的檢測(cè)[9]等.

然而，由于混沌信號(hào)的功率譜分布并不理想，現(xiàn)有的研究成果無(wú)法利用混沌信號(hào)作為通信載波實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無(wú)線(xiàn)傳輸，這已經(jīng)成為目前制約混沌信號(hào)在無(wú)線(xiàn)通信領(lǐng)域應(yīng)用的一個(gè)重要因素.相關(guān)研究[10]發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)狀態(tài)變量的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡與混沌信號(hào)功率譜分布具有相關(guān)性，因此，可以從狀態(tài)變量的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡約束角度來(lái)獲取具有不同頻譜特性的混沌信號(hào).

1 模型的構(gòu)建和動(dòng)力學(xué)分析

1.1 新混沌系統(tǒng)模型的構(gòu)建

早在2001年，人們根據(jù)Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)，提出了Lü混沌系統(tǒng)，其非線(xiàn)性微分方程式可以表示為

(1)

式中：x、y和z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a、b和c為實(shí)常數(shù).

當(dāng)a=36、b=3且c=20時(shí)，Lü混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量相空間軌跡如圖1所示.此時(shí)狀態(tài)變量的功率譜如圖2所示，其中P為功率譜密度，f為頻率.由圖1、2可見(jiàn)，Lü混沌系統(tǒng)的吸引子類(lèi)似于“蝴蝶雙翼”，其信號(hào)功率譜中0 dB對(duì)應(yīng)的頻率約為300 Hz.

在Lü混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加一個(gè)非線(xiàn)性約束項(xiàng)并調(diào)整相應(yīng)參數(shù)來(lái)構(gòu)建新的混沌系統(tǒng)，其非線(xiàn)性微分方程式可以表示為

(2)

當(dāng)a=2.65、b=100且c=400時(shí)，本文對(duì)該新系統(tǒng)進(jìn)行了理論分析.

1.2 基本動(dòng)力特性分析

1.2.1 對(duì)稱(chēng)性和不變性

由于新混沌系統(tǒng)在(x，y，z)→(-x，-y，z)變換下具有不變性，因此，得出新系統(tǒng)的相軌跡是關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)的，且這種對(duì)稱(chēng)不受系統(tǒng)參數(shù)a、b和c的影響.

圖1 Lü混沌系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 Phase space motion trajectories of Lü chaotic system

圖2 Lü混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量的功率譜Fig.2 Power spectrum of state variable of Lü chaotic system

1.2.2 時(shí)域圖、Poincaré截面圖與Lyapunov指數(shù)

混沌信號(hào)具有非周期性、寬頻譜、類(lèi)噪聲等特點(diǎn).圖3為新混沌系統(tǒng)的時(shí)域波形圖.由圖3可見(jiàn)，新系統(tǒng)中的混沌信號(hào)同樣具有非周期性特點(diǎn).

圖3 新系統(tǒng)的時(shí)域波形圖Fig.3 Time-domain waveforms of new system

Poincaré截面圖可以描述出混沌運(yùn)動(dòng)的往復(fù)非周期性，如果Poincaré截面既不是有限點(diǎn)集也不是封閉曲線(xiàn)，則對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).新系統(tǒng)的Poincaré截面圖如圖4所示.

圖4 新系統(tǒng)的Poincaré截面圖Fig.4 Poincaré section diagram of new system

由圖4可見(jiàn)，在Poincaré截面處發(fā)現(xiàn)一些成片分布且具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，因而可以判斷該新系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).

Lyapunov指數(shù)是定量描述軌線(xiàn)隨時(shí)間推移相互排斥和相互吸引的特征值，而系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)是判定混沌系統(tǒng)的重要特征.當(dāng)系統(tǒng)至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于零時(shí)，可以判定該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).

本文根據(jù)Jacobian矩陣并采用四階Runge-Kutta算法求得新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，且λL1=75.026，λL2=-7.563，λL3=-123.345.因?yàn)樾孪到y(tǒng)中有一個(gè)指數(shù)為正值，兩個(gè)為負(fù)值，所以該新系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).

維數(shù)是非線(xiàn)性系統(tǒng)的一個(gè)重要幾何特征量，而混沌吸引子具有非整數(shù)維數(shù).新系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)可以表示為

1+λL1/(-λL2+1)=

1+75.026/(7.563+1)=

9.761 6

(3)

可見(jiàn)，新系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維，從而驗(yàn)證了該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).

2 運(yùn)動(dòng)區(qū)域與功率譜分布

混沌信號(hào)與周期信號(hào)及穩(wěn)定收斂信號(hào)的功率譜分布不同的原因是由于在生成模型中非線(xiàn)性項(xiàng)決定了系統(tǒng)Jacobian矩陣具有不同特征.通過(guò)改變非線(xiàn)性項(xiàng)，非線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在不同類(lèi)型之間進(jìn)行切換，在頻域內(nèi)表現(xiàn)為混沌信號(hào)具有連續(xù)功率譜或線(xiàn)狀功率譜.為了實(shí)現(xiàn)使功率譜密度集中分布在一定頻域范圍內(nèi)的目的，利用極限環(huán)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡單一且與目標(biāo)信號(hào)相似這一特點(diǎn)，可以在混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和極限環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)，使得狀態(tài)變量限定在一個(gè)環(huán)狀區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，從而在極限環(huán)固有頻率附近產(chǎn)生新的頻譜分量，并最終實(shí)現(xiàn)特定頻譜范圍覆蓋.

新系統(tǒng)在Lü混沌系統(tǒng)上增加了非線(xiàn)性約束項(xiàng)ax(x2+y2-b)(x2+y2-c)/(x2+y2).通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真可以得出參數(shù)a影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而參數(shù)b、c影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡在x-y平面投影的內(nèi)外半徑.

當(dāng)參數(shù)b=100、c=400保持不變并改變參數(shù)a時(shí)，通過(guò)仿真可知，當(dāng)a=0時(shí)，系統(tǒng)為L(zhǎng)ü系統(tǒng)，且其相空間運(yùn)動(dòng)軌跡及狀態(tài)變量功率譜分別如圖1、2所示.

當(dāng)參數(shù)b=100、c=400保持不變且a∈(0，0.3)時(shí)，新系統(tǒng)是發(fā)散的，其相空間運(yùn)動(dòng)軌跡不能收斂于特定區(qū)域.

當(dāng)參數(shù)b=100、c=400保持不變且a∈[0.3，2.26]時(shí)，新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡逐漸接近極限環(huán)，且隨著a值的增大，其最大Lyapunov指數(shù)從負(fù)值逐漸增大，并逐漸接近于零.當(dāng)a=2.26時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)λL1=0.186 4，λL2=-7.235 6且λL3=-290.788 8.當(dāng)a=2.26時(shí)，新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡與功率譜分別如圖5、6所示.

圖5 參數(shù)a=2.26時(shí)新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.5 Phase space motion trajectories of new system with a=2.26

圖6 參數(shù)a=2.26時(shí)新系統(tǒng)的功率譜Fig.6 Power spectrum of new system with a=2.26

由圖5可見(jiàn)，新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡在x-y平面的投影接近于正圓.由圖6可見(jiàn)，新系統(tǒng)的功率譜分布于固定頻率附近，但是由于極限環(huán)的形狀不理想，因而依然存在諧波分量.

當(dāng)參數(shù)b=100、c=400保持不變且a∈[2.27，2.67]時(shí)，新系統(tǒng)逐漸進(jìn)入混沌狀態(tài)，此時(shí)可以找到極限環(huán)運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)之間的過(guò)渡點(diǎn).當(dāng)a=2.45時(shí)，新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡與功率譜分別如圖7、8所示.觀(guān)察圖8可以發(fā)現(xiàn)，在新系統(tǒng)的固有頻率附近逐漸產(chǎn)生新的頻譜分量，并呈現(xiàn)出實(shí)現(xiàn)目標(biāo)信號(hào)特定頻譜覆蓋范圍的趨勢(shì).當(dāng)a=2.65時(shí)，新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡與功率譜分別如圖9、10所示.由圖10可見(jiàn)，新系統(tǒng)的功率譜集中分布在一定的頻域范圍內(nèi)，但依然存在諧波分量.后期可以通過(guò)優(yōu)化極限環(huán)的形狀，使得環(huán)形軌跡在坐標(biāo)平面的投影趨近于正圓，從而降低高次諧波所帶來(lái)的影響.

3 結(jié) 論

本文在Lü系統(tǒng)基礎(chǔ)上，通過(guò)增加非線(xiàn)性約束項(xiàng)并進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié)，構(gòu)建新的三維自治混沌系統(tǒng)，并將該新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡限定在一定的吸引區(qū)域內(nèi)，從而實(shí)現(xiàn)特定頻譜范圍覆蓋.通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)分析可以得出如下結(jié)論：

1) 增加非線(xiàn)性項(xiàng)得到的新混沌系統(tǒng)的混沌吸引子的形狀與Lü系統(tǒng)的混沌吸引子完全不同.

2) 混沌信號(hào)的功率譜與其相空間運(yùn)動(dòng)軌跡密切相關(guān)，當(dāng)需要得到特定頻譜范圍內(nèi)的混沌信號(hào)時(shí)，可以通過(guò)增加非線(xiàn)性約束項(xiàng)并改變相空間運(yùn)動(dòng)軌跡得以實(shí)現(xiàn).

圖7 參數(shù)a=2.45時(shí)新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 Phase space motion trajectories of new system with a=2.45

圖8 參數(shù)a=2.45時(shí)新系統(tǒng)的功率譜Fig.8 Power spectrum of new system with a=2.45

圖9 參數(shù)a=2.65時(shí)新系統(tǒng)的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.9 Phase space motion trajectories of new system with a=2.65

圖10 參數(shù)a=2.65時(shí)新系統(tǒng)的功率譜Fig.10 Power spectrum of new system with a=2.65