數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值初探

樊斌霞

(廣州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510550)

數(shù)學(xué)史研究除了描述數(shù)學(xué)的發(fā)展外，更重要的是試圖了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生的環(huán)境文化、社會(huì)習(xí)俗和規(guī)范、以及數(shù)學(xué)家作為個(gè)人與他人的關(guān)系，關(guān)心數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)之外的工作和興趣，因?yàn)檫@些常常給他們的工作提供更廣闊的背景和更深遠(yuǎn)的影響。數(shù)學(xué)史的研究揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，揭露了不同數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的內(nèi)在思維體系，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)中一以貫之的內(nèi)涵、本質(zhì)和思維。數(shù)學(xué)史是用歷史的方法研究數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的軌跡，是自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一。因此在高等數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)史可以深化對(duì)理論的理解、培養(yǎng)創(chuàng)造性的過(guò)程更重要的是為每一位數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

一、深化對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解

高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)、較深入的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及他們之間的交叉內(nèi)容形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科，研究的都是非勻變量，具有抽象性高、邏輯性嚴(yán)密的特點(diǎn)。在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生還要記憶很多抽象的概念和基本公式，嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。而反觀教師，想要通過(guò)幾節(jié)課的時(shí)間將這些知識(shí)傳授給學(xué)生更是舉步維艱。

通過(guò)構(gòu)造知識(shí)的連續(xù)性，可以幫助學(xué)生理解抽象復(fù)雜的概念和定理。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展具有連續(xù)性。德國(guó)數(shù)學(xué)家漢克爾曾指出：“大多數(shù)學(xué)科里，一代人的建筑往往被下一代人所摧毀；一個(gè)人的創(chuàng)造被另一個(gè)人所破壞；唯獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓。”數(shù)學(xué)知識(shí)深厚的歷史積淀是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)在獨(dú)特性，這種獨(dú)特性就決定了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中不是錦上添花的點(diǎn)綴，而是必須融入數(shù)學(xué)教學(xué)的不可或缺的一部分。而從得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)通過(guò)公理法和演繹法，抽象出事物的量的規(guī)定性，然后用思維進(jìn)行推理論證，最終得出簡(jiǎn)潔的、統(tǒng)一的公式或者定理。我們學(xué)習(xí)的過(guò)程卻是相反的。我們先知道結(jié)論，然后分析、理解結(jié)論的內(nèi)涵、意義和廣泛的應(yīng)用性。思維過(guò)程的轉(zhuǎn)化就導(dǎo)致很多知識(shí)在這過(guò)程中被舍棄。而被舍棄的這部分內(nèi)容有可能就是我們理解概念定理的關(guān)鍵所在。讓學(xué)生體驗(yàn)并經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，不僅可以構(gòu)造起數(shù)學(xué)知識(shí)的連續(xù)性，還能幫助學(xué)生理解簡(jiǎn)單抽象的概念和定理。龐加萊曾說(shuō)“要讓學(xué)生的思維經(jīng)歷其祖先的經(jīng)歷，迅速通過(guò)某些階段而不是跳過(guò)任何階段”。F·克萊因也曾強(qiáng)調(diào)，“個(gè)體的成長(zhǎng)要經(jīng)歷種族成長(zhǎng)的所有階段，順序相同，知識(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間縮短。而教授數(shù)學(xué)和其它任何事情一樣，至少在一般意義上要遵循這樣定律，遵循人類從知識(shí)的原始狀態(tài)到更高級(jí)形式的道路”。

例如負(fù)數(shù)、虛數(shù)的產(chǎn)生，以及零的出現(xiàn)。都不像我們初高中所接觸數(shù)系的擴(kuò)充那樣理所當(dāng)然。因?yàn)楣湃搜芯繑?shù)學(xué)都是從實(shí)際問(wèn)題入手，不會(huì)去想一些脫離實(shí)際的、抽象的問(wèn)題。這些數(shù)字的引入和應(yīng)用都是為了解決一些純數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、感受數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維

21世紀(jì)是高科技的時(shí)代，人工智能、大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)等方面的研究層出不窮，高速更新迭代。這個(gè)時(shí)代創(chuàng)新是推動(dòng)社會(huì)前進(jìn)的主要內(nèi)核和動(dòng)力。因此教育領(lǐng)域也將培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力融入了專業(yè)人才培養(yǎng)的全過(guò)程。

數(shù)學(xué)史的教學(xué)能更好地增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。數(shù)學(xué)家將思維分為兩種。包括以左腦管轄的抽象思維、形式化和公理化和右腦管轄的探索性思維、形象思維和直覺思維。這是兩種不同的思維方式。前者基于理性思維，追求推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、結(jié)論的確定性。而后者基于想象力，追求思維的突破。數(shù)學(xué)是理性的，是確定性的，是工具，更是語(yǔ)言。這都是大眾對(duì)數(shù)學(xué)的普遍認(rèn)識(shí)——抽象的、公理化的、理性的，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)方式都是體系化了的概念、公式、定理。但這只是數(shù)學(xué)的一方面。數(shù)學(xué)還有鮮為人知的一面，而這一面只有在數(shù)學(xué)史中才能窺得一二。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔兒曾說(shuō)：“沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開發(fā)表，一個(gè)問(wèn)題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化的技巧，結(jié)果把求解過(guò)程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗?！敝挥性跀?shù)學(xué)史中才能看到數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出來(lái)的發(fā)明創(chuàng)造的魅力?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)教育丟棄發(fā)明創(chuàng)造的過(guò)程，只是向?qū)W生展現(xiàn)冰冷的美麗，這是一種舍本逐末的行為，無(wú)法達(dá)到數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的教育價(jià)值。張奠宇曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，是要把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。教師在課堂教學(xué)的過(guò)程中要向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)明創(chuàng)作的過(guò)程，讓學(xué)生感受到形式化了的知識(shí)背后的思維過(guò)程。而數(shù)學(xué)史就是達(dá)到這一目標(biāo)的唯一途徑。

例如學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)了歐幾里得幾何學(xué)，后來(lái)又學(xué)習(xí)了非歐幾何。這兩種幾何的轉(zhuǎn)變其實(shí)要經(jīng)歷思維的巨大動(dòng)蕩，這是一個(gè)認(rèn)知模式的轉(zhuǎn)變過(guò)程。這被稱為19世紀(jì)的數(shù)學(xué)危機(jī)。克萊因曾這樣描述“19世紀(jì)初期非歐幾何和近世代數(shù)的誕生是數(shù)學(xué)家們感受到另一個(gè)宇宙的震動(dòng)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)并不是真理的化身，動(dòng)搖了他們產(chǎn)生于數(shù)學(xué)的那份自信。他們開始重新檢驗(yàn)他們的創(chuàng)造”。對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)這是解構(gòu)舊框架，建構(gòu)新體系的過(guò)程。然而學(xué)生在學(xué)習(xí)這一段知識(shí)時(shí)并沒有意識(shí)到這一改變對(duì)思維產(chǎn)生的巨大震蕩，而對(duì)于思維轉(zhuǎn)換的體驗(yàn)和學(xué)習(xí)，才能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)和創(chuàng)造的能力。這是我們教育的最大遺憾，知識(shí)是已經(jīng)存在的、顯性的，學(xué)生可以在任何時(shí)候通過(guò)各種方式獲得，這種創(chuàng)造性思維的講解和啟發(fā)才是課堂教學(xué)的內(nèi)核。

三、構(gòu)造完整的知識(shí)體系

教育是通過(guò)傳授人類積累的科學(xué)文化知識(shí)，有目的有計(jì)劃地培養(yǎng)人的活動(dòng)?？茖W(xué)文化知識(shí)大體可以分為兩類：一是社會(huì)科學(xué)，一是自然科學(xué)。同時(shí)具備自然科學(xué)的理性思維，和社會(huì)科學(xué)的感性思維，這樣的知識(shí)體系才是完整的。

數(shù)學(xué)史不僅能深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。更為重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，可以同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和直覺思維，可以溝通自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)。

學(xué)生在數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)過(guò)程中可以感受到這種高超的智力成就，也可以體會(huì)到心靈創(chuàng)作的魅力，這是科技和人文的結(jié)合，這對(duì)學(xué)生的發(fā)展也是至關(guān)重要的。早在20世紀(jì)英國(guó)的c.p.斯諾就意識(shí)到科技和人文正被割裂為兩種文化，科技和人文知識(shí)分子正在分化成兩個(gè)語(yǔ)言不通、社會(huì)關(guān)懷、價(jià)值判斷迥異的群體，這必然會(huì)妨礙社會(huì)和個(gè)人的進(jìn)步和發(fā)展。但到現(xiàn)在，我們的教育依然在高中就進(jìn)行文理分科，學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間只接觸一種模式的培養(yǎng)，這對(duì)其人生觀、價(jià)值觀的形成是有害的。而數(shù)學(xué)史可以作為科技與人文的一個(gè)橋梁，讓學(xué)生在同一門課程中感受到兩種文化的相互融合，共同促進(jìn)。M·克萊因曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)中的作用遠(yuǎn)不只是一種主要工具。數(shù)學(xué)是科學(xué)理論的實(shí)質(zhì)。數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或安撫情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能提供以上一切?！睌?shù)學(xué)是智力成就和心靈創(chuàng)作的結(jié)合，數(shù)學(xué)史的教育可以將這種結(jié)合展現(xiàn)在學(xué)生面前。

四、小結(jié)

大學(xué)教育已經(jīng)不再是應(yīng)試教育，其目的是培養(yǎng)研究型人才，培養(yǎng)社會(huì)所需要的人才。外加獲取知識(shí)便捷性和途徑的多樣性，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)也就不應(yīng)該只限于概念、定理的推導(dǎo)，更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)史的融入。在高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)史可以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，構(gòu)造知識(shí)的連續(xù)性；可以讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)創(chuàng)造的過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)探索性思維和直覺思維在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展中的重要性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維；可以溝通社會(huì)科學(xué)與自然科學(xué)，構(gòu)建一個(gè)完整的知識(shí)體系。