完全保持Jordan零積的映射

張 瑜, 黃 麗, 趙紅利

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)

B(H)表示Hilbert空間H上所有有界線性算子的全體.如果A是包含恒等算子的B(H)的C*-子代數(shù)且具有前對偶，即存在一個Banach空間使其對偶空間為A，則稱A是von Neumann代數(shù)。集合Z(A)={S∈A|ST=TS,?T∈A}叫做A的中心.若Z(A)只包含數(shù)量算子，即滿足Z(A)=I，則稱A是因子von Neumann代數(shù)。

von Neumann代數(shù)作為性質(zhì)最好的代數(shù)，近些年吸引了越來越多學(xué)者的注意.而因子von Neumann代數(shù)作為特殊的von Neumann代數(shù)，也備受關(guān)注。于是，對因子von Neumann代數(shù)上相關(guān)保持問題的研究也成為了保持問題的發(fā)展趨勢.2009年，崔建蓮、李長京[7]刻畫了因子von Neumann 代數(shù)上保持斜Lie積的非線性雙射.2013年，李長京、陸芳言[1]兩位學(xué)者證明了因子von Neumann代數(shù)上的非線性雙射Φ:A→B滿足Φ(AB+BA*)=Φ(A)Φ(B)+Φ(B)Φ(A*)當(dāng)且僅當(dāng)Φ是*-環(huán)同構(gòu)。特別地，若von Neumann代數(shù)是I型因子，則Φ是酉同構(gòu)或者共軛酉同構(gòu)。次年，戴麗清[2]等將上述結(jié)論推廣到了沒有中心可交換投影的von Neumann代數(shù)上，并證明了滿足Φ(AB+ηBA*)=Φ(A)Φ(B)+ηΦ(B)Φ(A)*的非線性雙射Φ要么是線性*同構(gòu)(η不是實(shí)數(shù))；要么是線性*同構(gòu)與共軛線性*同構(gòu)的和(η是實(shí)數(shù))。

完全保持問題：定義映射Φn:A?Mn(F)→B?Mn(F)為Φn((Sij)n×n)=(Φ(Sij))n×n,?n∈N.若Φn保持Jordan 零積，則稱Φ是n-保Jordan 零積的；若對于每個n∈N，Φ都是n-保Jordan 零積的，則稱Φ是完全保Jordan 零積的。

完全保持問題對代數(shù)結(jié)構(gòu)有很強(qiáng)的約束性，能更確切地反映同態(tài)映射的本質(zhì).但是，通過查找文獻(xiàn)，這方面的結(jié)果還比較少(Banach空間的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上：完全保冪等性和平方零元、可逆性和譜、譜函數(shù)、交換性和Jordan零積、零因子分別參見文獻(xiàn)[3-6、10]；有限von Neumann代數(shù)上：完全保跡秩的映射參見文獻(xiàn)[9]；無限維復(fù)Hilbert空間的*-標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上：完全保斜Lie零積的映射參見文獻(xiàn)[13])，需進(jìn)一步拓展.鑒于此，本文將在完全保持的框架下討論Jordan 零積，并證明因子von Neumann代數(shù)上這樣的滿射是線性同構(gòu)或共軛線性同構(gòu)的非零常數(shù)倍。

1 主要結(jié)果及定理證明

定理令H,K是￡上無限維Hilbert空間，A,B分別是H和K上的因子von Neumann代數(shù)。Φ:A→B是一個滿射.則下列敘述等價：

(1)Φ雙邊完全保Jordan零積；

(2)Φ雙邊2-保Jordan零積；

(3)Φ是線性同構(gòu)或共軛線性同構(gòu)的非零常數(shù)倍。

證明滿足敘述(3)的映射是雙邊完全保Jordan零積的，從而(3)?(1)?(2)是顯然的。我們只需證明(2)?(3).下面我們假設(shè)Φ是雙邊2-保Jordan零積的。

斷言1Φ(0)=0,Φ(I)=cI對某一非零數(shù)c成立。

對于?T∈A,

將Φ2應(yīng)用于上述等式，可以得到

因此，Φ(0)2=0.

(1)

3Φ(0)2+Φ(0)Φ(T)=0.

(2)

由Φ的滿射性知，存在某個T0∈A, 使得Φ(T0)=iI. 在(2)式中令T=T0,則3Φ(0)2+iΦ(0)=0. 結(jié) 合 (1)式有Φ(0)=0.

下證Φ(I)=cI，對某一非零數(shù)c成立。

對于?T∈A, 一方面

Φ(I)Φ(T)+Φ(I)Φ(-T)=0.

(3)

另一方面

Φ(T)Φ(I)+Φ(I)Φ(-T)=0.

(4)

由(3)和(4)可得：Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)?Φ(I)∈Z(B). 因?yàn)锽是因子von Neumann代數(shù)，所以Φ(I)=cI, 對于任意非零數(shù)c都成立。

如果有必要，用c-1Φ來替換Φ. 顯然c-1Φ仍然是雙邊2-保Jordan零積的，故可以假設(shè)

Φ(I)=I.

斷言2Φ是單射且Φ(-T)=-Φ(T),?T∈A.

對于?T,S∈A, 假 設(shè)Φ(T)=Φ(S), 則

用Φ(S)代替Φ(T), 得

此蘊(yùn)涵T=S.于 是Φ是單射，從而是A到B上的雙射。

由(4)和Φ(I)=I可得Φ(-T)=-Φ(T) ，即Φ(-T)=-Φ(T).

(5)

斷言3Φ?？杉有?，即Φ(T+S)=Φ(T)+Φ(S).

對于?T,S∈A，

將Φ2應(yīng)用于上述等式，結(jié) 合 (5)式可得Φ(T+S)+Φ(S-T)=2Φ(S).

(6)

又

將Φ2應(yīng)用于上述等式，結(jié) 合 (5)式可得Φ(T+S)+Φ(T-S)=2Φ(T).

(7)

由(5)、(6)、(7)聯(lián)立得到Φ(T+S)=Φ(T)+Φ(S).

斷言4Φ?？沙诵?，即Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).

對于?T,S∈A，

Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).

斷言5Φ(iI)∈Z(B).

對于?T∈A，

將Φ2應(yīng)用于上述等式，從而有Φ(iI)Φ(T)=Φ(T)Φ(iI)?Φ(iI)∈Z(B).

斷言6Φ具有線性或共軛線性。

將Φ2應(yīng)用于上述等式，從而有Φ(iI)2=-I. 根據(jù)斷言5知Φ(iI)∈Z(B)，因此可令Φ(iI)=μI.則(μI)2=-I?μ=±i.于是，Φ(iI)=iI或Φ(iI)=-iI.

若α是實(shí)數(shù)，則Φ(αI)=αI.那么Φ(αA)=Φ(αI·A)=Φ(αI)·Φ(A)=αΦ(A).

若α是復(fù)數(shù)，令α=a+bi，則Φ(αI)=Φ((a+bi)·I)=Φ(aI)+Φ(b·iI).

根據(jù)斷言6得到Φ(b·iI)=bΦ(iI)=bI或Φ(b·iI)=bΦ(iI)=-bI.

因此Φ(αI)=Φ(aI)+Φ(b·iI)=aI+b·iI=(a+bi)I=αI