探索“三角形全等判定的ASS”成立的條件

摘 要：在線段及角是否相等的判斷方法中，全等三角形的判定十分常用。判定三角形是否全等的方法包含“SSS（邊邊邊）”“SAS（邊角邊）”“AAS（角角邊）”及“ASA（角邊角）”等四種，而在判定直角三角形是否全等時(shí)，還包含“HL（斜邊、直角邊）”。眾所周知，在對(duì)兩個(gè)三角形是否全等進(jìn)行判定時(shí)，無法將“ASS（角邊邊）”作為條件，但是對(duì)于為什么卻不甚了解。實(shí)質(zhì)上，“ASS”也可用于三角形全等的判定中，但是并非是任意三角形都能適用，有一定限制條件存在。對(duì)此，本文就三角形全等判定中的“ASS”條件展開探究。

關(guān)鍵詞：全等三角形;判定依據(jù);ASS

初中數(shù)學(xué)教材中，“全等三角形”屬于核心概念，而在該單元的拓展內(nèi)容中，便涉及了“角邊邊能否判定三角形全等？”學(xué)習(xí)該內(nèi)容之前，學(xué)生已對(duì)三角形關(guān)于邊、高、內(nèi)角、中線及角平分線等相關(guān)概念有所了解，依托“尺規(guī)作圖”進(jìn)行三角形的繪制，幫助學(xué)生將三角形全等的四種判定方法掌握，然而對(duì)于三角形全等判定中“ASS”為什么不能采用，卻不具備深刻的理解，緣由不明了。因此，探究三角形全等判定中是否能夠采用“ASS”，總結(jié)出“三角形全等判定的ASS”成立與不成立條件，能夠幫助學(xué)生深刻理解“ASS”是否能夠?qū)θ切稳冗M(jìn)行判定，拓展學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，活躍學(xué)生的思維能力。

一、 探索“三角形全等判定的ASS”成立的必要性

眾所周知，三角形三邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等的，即為“SSS（邊邊邊）”，而相應(yīng)的也有“SAS（邊角邊）”“AAS（角角邊）”及“ASA（角邊角）”，皆可用于兩個(gè)三角形是否全等的判定中。但是，當(dāng)有兩邊及其一邊對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形，卻并不一定就是全等的，由于沒有簡(jiǎn)稱的緣故，因此教材中也未出現(xiàn)“ASS（角邊邊）”。

筆者經(jīng)過調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“ASS（角邊邊）”的理解與應(yīng)用方面，初中教師與學(xué)生都有一定偏差存在。數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有嚴(yán)密邏輯思維，在學(xué)生初次接觸簡(jiǎn)單嚴(yán)密的邏輯思維訓(xùn)練時(shí)，教師不能出現(xiàn)漏洞，以免學(xué)生嚴(yán)密邏輯思維能力的培養(yǎng)受到影響。因此，教師就必須對(duì)教材中的說法準(zhǔn)確理解，也就是有兩邊及其一邊對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形，卻并不一定就是全等的。此處的“不一定就是全等的”，表明有個(gè)別是全等，也有個(gè)別不是全等的，教師切忌一律采用“一定不全等”的說法來概括，需要深入探索“ASS（角邊邊）”的不同情況，同時(shí)展開具體分析，在面對(duì)“ASS（角邊邊）”對(duì)兩個(gè)三角形是否全等進(jìn)行判定時(shí)，還需融入其他方法。

二、 “三角形全等判定的ASS”成立條件的探究

根據(jù)浙教版八上第一章1.5的三角形全等判定的學(xué)習(xí)，學(xué)生通過給定條件下畫三角形。分別畫出“兩邊長確定，夾角已知”或者“三條邊長度確定”或者“兩個(gè)內(nèi)角確定夾邊長固定”的三角形，同學(xué)們畫出了唯一的形狀和大小，通過互相對(duì)比發(fā)現(xiàn)能夠疊合，從而體驗(yàn)了：“圖形確定就能判定全等”。因此，在同學(xué)們紛紛猜想“為什么就沒有ASS定理”的時(shí)候，我們就可以，運(yùn)用這種體驗(yàn)，幫助學(xué)生找到“ASS”不成立的原因及成立時(shí)的條件特征。

（一） 分析“ASS”不成立的原因

根據(jù)上述體驗(yàn)，若給定條件下，圖形不能確定。即：某條邊或者角在滿足條件下，依然可以活動(dòng)。則可以找到“ASS”不成立的原因。

【例1】 如圖1所示，已知∠ABC=α，AB=m。（1）判斷A到直線BK的距離h（△ABC中的高AD）是否確定？（2）當(dāng)線段AC

分析：學(xué)生很容易作出高AD，并且也能快速得出△ABC不存在。所以，當(dāng)AS1S2條件中，已知角（A）的對(duì)邊（S2）比對(duì)應(yīng)高還要短時(shí)，三角形不存在。通過幾何畫板演示，我們也能一起得到△ABC存在時(shí)AC的取值范圍：n≥h。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)當(dāng)h<n<m時(shí)，點(diǎn)C在射線BK上有兩個(gè)位置，邊AC以高AD為對(duì)稱軸左右搖擺，即“圖形不確定”，故此種情形下的“ASS”是不能判定全等的。

（二） 探索“ASS”可能成立的原因條件

【續(xù)例1】 （4）思考：對(duì)于n在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)C的位置是確定的，什么時(shí)候點(diǎn)C的位置不確定（有幾個(gè)）？

分析：通過集合畫板，逐漸增加⊙A的半徑，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n>m時(shí)，⊙A與射線BK只有一個(gè)交點(diǎn)，圖形確定。即邊AC只能在高AD的右側(cè)，此時(shí)位置確定，故也能判定“ASS”成立了。

綜上所述，關(guān)于“ASS”的成立條件來看，以圖1中的直角△ABD為例：AC邊不能在AD（高h(yuǎn)）左右兩邊拖擺，也就是AC=AD=AB·sin∠B（HL定理）AC≥AB（兩邊對(duì)應(yīng)相等，且較大邊對(duì)應(yīng)角相等，則三角形全等）。而若是AC

三、 探索“ASS”成立的條件的證明

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師于備課過程中，盡管會(huì)立足于“知識(shí)與技能”“過程與方法”及“情感態(tài)度與價(jià)值觀”三個(gè)維度的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)，然而具體教學(xué)中卻往往僅對(duì)“知識(shí)與技能”目標(biāo)予以了重視。翻閱了大量與“ASS”相關(guān)的資料后，筆者發(fā)現(xiàn)多數(shù)教師皆將“ASS”能對(duì)三角形全等進(jìn)行判定的特殊條件當(dāng)作教學(xué)的主要目標(biāo)，也就是“有兩邊及較大邊對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)是全等的，是三角形全等中‘ASS判定的特殊條件?！币詳?shù)學(xué)語言表述轉(zhuǎn)化該結(jié)論，可通過下述四種情況進(jìn)行劃分：

（一） 滿足“ASS”的三角形是否一定全等

【例2】 圖3所示等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上除B、C之外的任意一點(diǎn)，判定△ABD是否全等于△ACD。

分析：通過“幾何畫板”的運(yùn)用，將D點(diǎn)選定并拖動(dòng)，通過在BC邊上移動(dòng)之后，得到△ABD與△ACD?！鰽BD的邊AB和AD與△ACD的邊AC和AD相等，且∠B=∠C，但是一般情況下這兩個(gè)三角形是一個(gè)為銳角、一個(gè)為鈍角三角形的緣故，因此兩個(gè)三角形并非一定是全等的。所以，兩個(gè)三角形即便滿足“ASS（角邊邊）”也并非一定全等。

（二） 滿足“ASS”的直角三角形是否全等

下圖中，繼續(xù)移動(dòng)點(diǎn)D至AD⊥BC時(shí)，ABD與△ACD成了直角三角形，由圖4、圖5至圖6進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示。此時(shí)“ASS”中的角可以是移動(dòng)點(diǎn)D后獲得的直角，所以“ASS”就轉(zhuǎn)化成了“HL”。如此不難發(fā)現(xiàn)，“ASS”中，“HL”是一種特殊情形。

（三） 滿足“ASS”的銳角三角形是否全等

【例3】 如上圖6所示，△ABC和△A′B′C′為銳角三角形，其中AB=A′B′、AC=A′C′、∠B=∠B′，求證：△ABC≌△A′B′C′。

分析：過點(diǎn)A、A′分別作AD⊥BC于點(diǎn)D、A′D′⊥B′C′于點(diǎn)D′，結(jié)合“AAS”即可將△ABD≌△A′B′D′證實(shí)，得到AD=A′D′，此時(shí)再結(jié)合“HL”即可將直角△ADC≌直角△A′D′C′證實(shí)，因此∠C=∠C′，從而可將△ABC≌△A′B′C′證實(shí)。

結(jié)合上述探究能夠總結(jié)出“兩個(gè)銳角三角形，若是兩邊及其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，即為全等”，也就是說在兩個(gè)銳角三角形是否全等的判定中，可采用“ASS”。

（四） 滿足“ASS”的鈍角三角形是否全等

【例4】 如圖7所示，△ABC和△DEF為鈍角三角形，AB=DE、AC=DF、∠C=∠F，求證：△ABC≌△DEF。

分析：在鈍角△ABC與鈍角△DEF全等的證明中，在元素對(duì)應(yīng)相等的基礎(chǔ)上，也需要依據(jù)，可以根據(jù)“SSS”將BC=EF證明，也可以根據(jù)“AAS”將∠B=∠E證明。總體來說就是將另一對(duì)邊或?qū)窍嗟茸C明。

方法1：證明BC=EF

將圖8中的△ABC沿著AB翻折并朝右平移，重合AB與DE，將CF連接之后得到了下圖8。為了將BC=EF證實(shí)，就必須將∠1=∠2證實(shí)。根據(jù)已知條件AC=DF可知∠3=∠4，加之∠DFE=∠ACB，因此∠1+∠3=∠2+∠4，所以∠1=∠2，BC=EF。

方法2：證明∠B=∠E

如下圖9所示，過點(diǎn)A作AG⊥BC、與BC延長線相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥EF、與EF延長線相交于點(diǎn)H。為了將∠B=∠E證實(shí)，首先需要將△ABG≌△DEH證實(shí)，但是目前已知條件中僅有斜邊與一直角對(duì)應(yīng)相等，所以需要將AG=DH證實(shí)，隨后分別將AG、DH置于△AGC和△DHF中，將這兩個(gè)三角形證明全等，即可證實(shí)∠B=∠E。

四、 結(jié)論

結(jié)合上述分析得知，個(gè)別特定條件下，通過“ASS（角邊邊）”能夠?qū)蓚€(gè)三角形全等證實(shí)，因此總結(jié)出“有兩邊及較大邊對(duì)應(yīng)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等”。然而，需要注意的是“兩個(gè)三角形兩邊及其一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，即為全等三角形”是假命題，也就是不能將“ASS”當(dāng)作任意兩個(gè)三角形是否全等進(jìn)行判定的條件。

本文依托“幾何畫板”將圖形的“運(yùn)動(dòng)”變化演示并展示給學(xué)生觀看，簡(jiǎn)單化原本復(fù)雜的問題、具體化原本抽象的問題，同時(shí)在手寫板的應(yīng)用下將主干知識(shí)形成過程清晰地呈現(xiàn)給學(xué)生觀看，突破重點(diǎn)、化解難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生興趣及求知欲。

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作者簡(jiǎn)介：

李建鋼，浙江省杭州市，杭州市余杭區(qū)崇賢中學(xué)。