數(shù)學(xué)，也應(yīng)講故事

尚飛

2016年，《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架正式發(fā)布，相應(yīng)地基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育也有所變化，史寧中教授認為這個變化就是能更好地實現(xiàn)從“雙基”走向“四基”的課程目標。

讓學(xué)生形成基礎(chǔ)知識和基本技能，一直是我國數(shù)學(xué)教育的基本特征之一，也成為我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢，那怎樣的教學(xué)才能更好地走向基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

當你打開這本書時，就會欣喜地發(fā)現(xiàn)，史寧中教授以答問的方式，講述了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)，探討能夠?qū)崿F(xiàn)“四基”課程目標、適合小學(xué)生認知規(guī)律的表達方式和教學(xué)方法。

下面我擬從書中感受最深的三句話說起。

第一句，讓抽象的核心舍去現(xiàn)實背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實背景。

數(shù)感是什么呢？史寧中教授在談到“數(shù)感”的時候指出：主要指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果的估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。

從他的表述中我們可以得知，數(shù)感不僅是讓學(xué)生感悟“數(shù)是對數(shù)量的抽象”，還應(yīng)當讓學(xué)生再反過來感悟“抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的”。比如，同樣是“50”這個抽象了的數(shù)，但50粒綠豆和50頭牛給人的現(xiàn)實感覺是大不一樣的。再比如，去市場買菜，帶50元錢就足夠了，但是購買汽車，只有50元是遠遠不夠的。所以，在現(xiàn)實生活中，人們需要感悟數(shù)與現(xiàn)實背景之間的聯(lián)系，從而感悟并判斷在日常生活和科學(xué)研究中數(shù)所提供的信息。

其次，學(xué)生對于運算結(jié)果也應(yīng)當有一定的感悟或者說直覺判斷，比如，應(yīng)當能夠直覺判斷15÷3比15÷2大還是小，3/5加上1/2比1大還是小。

如果有了這樣的感悟，學(xué)生就可以在現(xiàn)實世界中比較合理地把握數(shù)以及數(shù)的運算了。比如，合理地估計一筐雞蛋的數(shù)量，數(shù)學(xué)書封面的周長，能知道50人大約有多少，300人需要多大場地，1000人呢？這期間就涉及到對數(shù)量單位（量綱）的認識。也就是要讓學(xué)生明白，在思考的同時，是需要根據(jù)問題背景的不同而選擇不同的量綱的。比如，越野賽合適的計時單位是小時，800米中跑，合適的計時單位是分鐘，50米短跑合適的計時單位是秒。

通過以上思考，我們要更加認識到人的感覺是依賴背景的，只有“全面”地把握事物的背景，才能深刻理解事物。

第二句，所有混合運算都是在講述兩個或兩個以上的故事。

數(shù)感除了表示數(shù)與數(shù)量、運算結(jié)果的估計等方面的感悟，還表示對數(shù)量關(guān)系的感悟。如何能對數(shù)量關(guān)系有感悟？還要進行深度聯(lián)系，就是及時回歸現(xiàn)實背景。

在混合運算中，關(guān)于運算次序有兩個基本法則：有括號先計算括號中的算式，沒有括號，先乘除后加減。顯然，這兩個基本法則就是一種規(guī)定。課上為什么要有這樣的規(guī)定？這樣的規(guī)定合理嗎？如果這樣的規(guī)定是合理的，合理性又表現(xiàn)在哪里呢？為了說明它的合理性，就必須回到現(xiàn)實世界。

在三年級第一單元“混合運算”的教學(xué)中，第一課時教學(xué)的是乘加乘減，課后練習卻有了加減混合運算，大部分學(xué)生都是按照運算順序在完成，先算100-75，然后用100-75的差再加上25。

對于高年級學(xué)生來說，減號在前加括號要變號，教起來都是十分困難的，學(xué)生到了后來總是分不清什么時候括號里要變號。那么一個三年級的學(xué)生，他怎么可能明白這道題的解題思路呢？所以在判他作業(yè)的同時，我先沒有打√，在旁邊標注了一句話：你能講出道理嗎？課下這位學(xué)生從頭至尾地把他的思考過程講了出來：

“其實這道題可以把它看作人們上下車。我覺得有兩種方法。第一種就是先減去下車的人數(shù)，得出現(xiàn)在車上的人數(shù)，然后用現(xiàn)在車上的人數(shù)加上新上來的人，就是現(xiàn)在車上共有的人數(shù);第二種方法，其實我們在以前是學(xué)過的，下去75人，上來25人，互相抵消以后，其實比原來少了50人，用原來的人數(shù)減去少了的50人，就是現(xiàn)在車上的人數(shù)?！?/p>

在學(xué)生眼里直接聯(lián)系到乘車的現(xiàn)實背景，感到這道題就是在講兩個故事。當我們把孤零零的算式看作數(shù)學(xué)故事的時候，不僅培養(yǎng)了他們的數(shù)感，更重要的是有助于培養(yǎng)學(xué)生認識和解釋現(xiàn)實事物的能力，這就是著眼于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育。

第三句，數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實中的故事。

“數(shù)學(xué)課程標準”中強調(diào)模型的現(xiàn)實性，是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界中的故事;強調(diào)在建立模型的過程中，讓學(xué)生感悟如何用數(shù)學(xué)的語言和方法描述一類現(xiàn)實生活中的問題。

模型就是“橋梁”，連通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的紐帶。它有別于數(shù)學(xué)算式，它是能夠用來解決一類具有實際背景問題的數(shù)學(xué)方法。這樣看來，模型的關(guān)鍵不是看數(shù)學(xué)表達的完美性，而是在于它是否參與了與現(xiàn)實世界的對話，主要體現(xiàn)在以下三個方面。

1.把握現(xiàn)實世界中一類問題的本質(zhì)與規(guī)律，構(gòu)建模型。

在談到模型時，史寧中教授說，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，至少需要考慮兩個模型：一個是總量模型，一個是路程模型。他談到的兩個模型時，把它們歸結(jié)到“一類問題的本質(zhì)與規(guī)律”，即指那些在知識結(jié)構(gòu)中，最關(guān)鍵、最具有普遍意義和適應(yīng)性（概括性）最強的概念。例如，“和”的概念、“同樣多”的概念、“數(shù)位”和“計數(shù)單位”的概念等等。這幾年我一直在做的一件事就是根據(jù)知識的內(nèi)在聯(lián)系和兒童智力發(fā)展的規(guī)律，突出教材中那些最基本的概念、法則和原理，并以此為中心，從縱橫兩個方面進行重新調(diào)整和組合，把有聯(lián)系的知識串聯(lián)在一起，做到有綱有目，使之成為一個新的比較好的知識結(jié)構(gòu)。

2.用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題的本質(zhì)與規(guī)律，構(gòu)建模型。

“和”，就是史寧中教授談到的總量模型。馬芯蘭老師也說：“對于一年級學(xué)生來說，教好這本書就是要緊緊地抓住一個本質(zhì)——‘和的概念;一個關(guān)系——‘部分與整體的關(guān)系。”談到“和”，會想到加法，就是把兩個數(shù)（或幾個數(shù)）合并成一個數(shù)的運算，現(xiàn)實生活中有很多原型，如合并、移入、增加等等。例如，在加法教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生這樣表述，一部分有3只熊貓，另一部分有2只熊貓，請問合起來一共有幾只熊貓？當學(xué)生把具體事物按情節(jié)理解為“兩部分”以后，就能很自然地向認識“和”的概念邁出關(guān)鍵一步。通過弄懂“兩部分”，開始為“和”的概念與部分整體關(guān)系的相互滲透，在認識上做好充分的準備。

在“移入”加法學(xué)習后，當學(xué)生初步理解了“一部分”與“另一部分”含義的基礎(chǔ)上，把一年級下冊的教學(xué)內(nèi)容“加法各部分的名稱”前移到這里。整合到這里的原因是什么呢？一是部分孩子已經(jīng)有了學(xué)齡前基礎(chǔ)，課上總往出“扔”這些字眼，但是他們其實不清楚這些名稱的真實含義;二是如果單獨出現(xiàn)加數(shù)、加數(shù)、和，就只能把“和”理解為一般名詞術(shù)語?，F(xiàn)在它與“部分”、“部分”、“整體”同時出現(xiàn)，實質(zhì)上已經(jīng)不再把“和”作為一般名詞術(shù)語，而是把它作為重要的概念。從一開始就把加數(shù)與和的關(guān)系，同部分與整體關(guān)系緊緊聯(lián)系在一起，把“加數(shù)”理解為一部分，或另一部分，把“和”理解為一個整體。這樣就可以借助學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗，理解抽象的數(shù)學(xué)概念了。

3.用合適的數(shù)學(xué)符號表達問題的本質(zhì)與規(guī)律，構(gòu)建模型。

重視“問題本質(zhì)與規(guī)律”的教學(xué)，直接解決的就是孩子們長期不易理解的難點：求部分的加法，求部分的減法。

在教學(xué)減法的時候，引領(lǐng)學(xué)生靈活使用模型，講講總量即整體的故事，把加法運算變?yōu)闇p法運算。比如上面的故事，一年級孩子搞不懂怎么列算式，原來有8只企鵝，跳進海里一些，剩下2只，請問跳進海里多少只？因為數(shù)字小，學(xué)生直接列出8-6=2，順向思維的結(jié)果。那么還可以怎么做？要為進一步培養(yǎng)算術(shù)思維做準備。用總數(shù)減去剩下的就是跳進了海里的。學(xué)生剛開始怎么也理解不了，如果我們借用“和”的概念講故事，就容易得多了。其實這就是方程思想，簡單的數(shù)字學(xué)生可以用“接著數(shù)”的方法解決，可是數(shù)字變大的時候，再到后來變成分數(shù)的時候，他們則手足無措，究其原因是在低年級的時候，問題的本質(zhì)和規(guī)律沒把握好。如果他們把“和”理解為部分、部分、整體的關(guān)系，那么一看到這個數(shù)學(xué)問題就自然連接“總量模型”，問部分，用整體減去其中的一部分，就等于另一部分。即▲+■=●，那么▲=●-■，■=●-▲，當學(xué)生用圖形符號來刻畫“總量模型”的時候，模型思想就在悄然形成。重視“本質(zhì)與規(guī)律”的教學(xué)，通過“和”的概念及部分與整體關(guān)系的相互滲透，突出“和”在教材結(jié)構(gòu)中的中心地位，有利于幫助學(xué)生了解知識間的聯(lián)系，使聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變得可視，最終得到刻畫一類事物的模型。

人們把現(xiàn)實世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)的研究對象，然后從數(shù)學(xué)的研究對象出發(fā)，聯(lián)系現(xiàn)實背景，得到研究對象的性質(zhì)以及描述研究對象的關(guān)系和計算結(jié)果，從而促進了數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，最后通過模型，用數(shù)學(xué)的語言、符號和方法，描述現(xiàn)實世界的故事，從而構(gòu)建起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的橋梁。

講故事，就是為了更好的促進數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展，也許這就是許多學(xué)者說的：數(shù)學(xué)是一門關(guān)于模式的科學(xué)，終究解決的是一類數(shù)學(xué)問題。那么，想把這個數(shù)學(xué)問題解決好，可以從故事講起。