反正切有限時間收斂微分器設(shè)計*

駱長鑫，張東洋，譚詩利，張 濤

（空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051）

0 引言

高超聲速飛行器是當(dāng)今世界航空航天技術(shù)發(fā)展的新制高點，在未來國防裝備發(fā)展和民用空天技術(shù)應(yīng)用中將發(fā)揮著極其重要的戰(zhàn)略作用。而微分信號的精確提取對高超聲速飛行器的控制具有重要意義。當(dāng)需要從受到噪聲污染的信號中提取微分信號時，低通濾波器和微分傳遞函數(shù)等傳統(tǒng)方法往往很難奏效[2]。我國韓京清研究員第一次提出了跟蹤微分器（Tracking Differentiator，TD）的概念，并給出了幾種具體的TD[3]。近些年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對TD的設(shè)計方法進行了深入研究，已提出了多種形式的TD[1，2-8]。盡管TD結(jié)構(gòu)簡單，并具備一定的噪聲抑制能力，但無法證明估計誤差有界[1-2，7]?，F(xiàn)在的TD只能用于提取輸入信號的有限階導(dǎo)數(shù)（通常是一階導(dǎo)數(shù)），而對于高階微分信號的提取，尚未取得滿意的結(jié)果。為獲取輸入信號的任意階導(dǎo)數(shù)，以色列學(xué)者Levant提出一種高階滑模微分器（High-order Sliding Mode Differentiator，HSMD）[9]。HSMD 在理論上可以提供輸入信號的任意階導(dǎo)數(shù)，但其設(shè)計參數(shù)選取異常困難，且對噪聲十分敏感。所以，設(shè)計結(jié)構(gòu)簡單、具備一定噪聲抑制能力并能夠提供輸入信號的任意階導(dǎo)數(shù)的新型微分器勢在必行[12-13]。

基于以上微分器研究現(xiàn)狀分析，本文通過引入非線性函數(shù)設(shè)計了一種新型反正切有限時間收斂微分器（FD）。反正切函數(shù)可以保證FD收斂的快速性并能有效消除輸出顫振。值得一提的是，所設(shè)計的FD簡化了微分器設(shè)計參數(shù)，并能夠提供輸入信號的任意階導(dǎo)數(shù)，具有傳統(tǒng)微分跟蹤器無法比擬的優(yōu)越性。通過仿真驗證了FD的改進效果及相對其他微分跟蹤器的優(yōu)勢。

1 有限時間收斂系統(tǒng)設(shè)計

考察如下系統(tǒng)：

式中，a1，a2，…，an∈R+為待設(shè)計的參數(shù)，x1，x2，…，xn∈R為系統(tǒng)狀態(tài)變量，fA（·）為連續(xù)函數(shù)且有fA（0，…，0）=0。

為了證明式（1）是有限時間收斂的，先根據(jù)文獻[10]給出有限時間收斂的定義：

考慮下面時變系統(tǒng)

2）Lyapunov穩(wěn)定：對于原點的任意一個開鄰域Uε，存在一個包含原點的N的開子集Uδ，使得對和，有。

那么，式（2）的原點稱為有限時間平衡點。

由定義知，對于式（1），若滿足下列合理假設(shè)，則是有限時間收斂的。

假設(shè)1：式（1）是有限時間穩(wěn)定的且停息時間函數(shù)Tf在原點連續(xù)，存在正定連續(xù)函數(shù)V0，使得0為實值并在N上連續(xù)，且有

假設(shè)2：存在一個Lipschitz的Lyapunov函數(shù)V0使式（3）成立，且其 Lipschitz常數(shù)為M0。

假設(shè)4：輸入信號υ（t）分段連續(xù)可導(dǎo)，在整個時域內(nèi)，υ（t）的前n-2階導(dǎo)數(shù)存在，且允許在某些時刻tj（j=1，2，…，k），n-1階不可導(dǎo)，但是其左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)均存在，并滿足。

假設(shè)1～假設(shè)4的證明如下：

證明假設(shè)1：存在一個原點的開鄰域Uε滿足0＜x1＜x2＜…＜xn＜1。選取如下 Lyapunov函數(shù)

對V0求時間的一階導(dǎo)數(shù)并代入式（2），有

注意到 0＜a1≤A2≤A3≤…≤An-1，an-1≤An-1，則式（6）變?yōu)?/p>

則式（7）變?yōu)?/p>

可見，假設(shè)1成立。證畢。

證明假設(shè)2與假設(shè)3：考慮到

有

進一步，可得

可見，假設(shè)2與假設(shè)3也同樣成立。證畢。

綜上所述，式（1）是有限時間收斂的。

2 FD設(shè)計

FD的設(shè)計思路[10]：構(gòu)造一個有限時間收斂式（1），通過等價變換，即可得到一種新型FD。

定理 1：如果式（1）滿足假設(shè) 1～ 假設(shè) 3，υ（t）滿足假設(shè)4，則得到如下新型FD

證明：根據(jù)文獻[10]中的定理 1可知，式（14）成立。證畢。

特別地，傳統(tǒng) TD[2，6-8]只能對輸入信號的一階導(dǎo)數(shù)進行估計，本文提出的FD可估計輸入信號的前n-1階導(dǎo)數(shù)。

3 仿真分析

為驗證設(shè)計的FD（僅以n=2的情形為例）的估計效果，分別將 FD 與下列新型TD[11]以及 HSMD[9]進行對比仿真。

仿真采用四階Runge-Kutta法進行求解，仿真步長取為0.001 s。分別在以下兩種情況下進行仿真。

仿真1：假設(shè)在高超聲速飛行器控制中需要提取的信號為 υ（t）=sin（2πt）的微分，不考慮噪聲影響，F(xiàn)D 的設(shè)計參數(shù)取為：R=600，a1=15，a2=0.005。

3種微分器對υ（t）及其微分值的估計效果如下頁圖1～圖4所示。圖2與圖4表明，在3種微分器中，本文提出的 FD 對 υ（t）與（t）的估計誤差最小，精度最高。由圖4進一步可見，TD存在一個較為嚴重的峰值現(xiàn)象，HSMD在零點附近存在嚴重的抖振現(xiàn)象。因此，當(dāng)不考慮噪聲時，本文提出的FD較TD與HSMD均具有一定的優(yōu)勢。

仿真2：輸入信號取為 υ（t）=sin（πt），并假設(shè)υ（t）受到隨機噪聲污染（見圖5），F(xiàn)D 的設(shè)計參數(shù)取為：R=60，a1=0.2，a2=0.1。

由仿真結(jié)果（見圖6～圖9）可見，當(dāng)輸入信號υ（t）受到噪聲污染時，本文提出的FD仍能實現(xiàn)對υ（t）與（t）的高精度、平滑估計。因此，與 TD 和HSMD相比，本文提出的FD在噪聲抑制方面也具有一定的優(yōu)勢。

圖1 v（t）估計效果

圖2 v（t）估計誤差

圖3 （t）估計效果

圖4 （t）估計誤差

圖5 受到噪聲污染的v（t）

圖6 受到噪聲污染的v（t）估計效果

圖7 v（t）估計效果局部放大

圖8 受到噪聲污染的（t）估計效果

圖9 （t）估計效果局部放大

4 結(jié)論

本文基于反正切函數(shù)和終端吸引子函數(shù)設(shè)計了一種新型有限時間收斂微分器。仿真結(jié)果表明，F(xiàn)D不僅結(jié)構(gòu)形式簡單、設(shè)計參數(shù)相對較少，而且在跟蹤精度、響應(yīng)時間和濾波能力等方面較幾種跟蹤微分器均有一定的優(yōu)勢。