數(shù)學(xué)課堂中探索性問(wèn)題的解題策略研究

趙科

（淳安縣姜家鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311722）

一、問(wèn)題緣起

從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展總包含著數(shù)學(xué)解題策略的產(chǎn)生、積累和發(fā)展，而人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)本身的同時(shí)，也就開(kāi)始了對(duì)數(shù)學(xué)解題策略的研究。在初一階段，學(xué)生剛從小學(xué)升入初中，思維能力還處于低級(jí)階段，幾乎不會(huì)分析問(wèn)題，解決難題目。只會(huì)正向思維，直白的題目做下。而中學(xué)數(shù)學(xué)越來(lái)越難，單單直白的解題已經(jīng)完全不能滿足初中數(shù)學(xué)的需求。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)中指出讓學(xué)生“經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法”。所以為了使學(xué)生能更好的去解決問(wèn)題，在同一個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程中能使用最優(yōu)方案，就必須培養(yǎng)學(xué)生解題的策略，而且解題策略的研究會(huì)使學(xué)生在探索性問(wèn)題的解答過(guò)程更得心應(yīng)手！

二、概念界定

（一）探索性問(wèn)題的定義

一般來(lái)說(shuō)，探索性數(shù)學(xué)問(wèn)題具有以下一些特征：非完全性，不確定性，探究性，靈活性。所以本文認(rèn)為探索性問(wèn)題就是指數(shù)學(xué)題目中條件、結(jié)論不完整，解題方法、依據(jù)不唯一，需要解題者靈活的運(yùn)用各種解題方法，去探索思考解決題目。

（二）數(shù)學(xué)解題策略的定義

自從人們提出解題策略這個(gè)概念以來(lái)，已有很多人對(duì)它發(fā)表了自己的理解與看法。我對(duì)解題策略的定義是：運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想來(lái)分析題目，再運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法來(lái)解決題目，這就是解題策略。

（三）探索性問(wèn)題的解題策略定義

運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想來(lái)分析不常見(jiàn)的、沒(méi)有特定解題步驟的題目，再不斷的嘗試用各種解題方法，直到找到行得通的方法來(lái)解決問(wèn)題。

三、解題策略的產(chǎn)生過(guò)程

無(wú)論解題策略是怎么定義的，總有選擇的過(guò)程，即主體通過(guò)審題將原始問(wèn)題中的信息吸收并且化到主體原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，在追求問(wèn)題解答的這種內(nèi)驅(qū)力的推動(dòng)和調(diào)節(jié)下，使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生改組和重建，并且提出階梯問(wèn)題，以便借助這些階梯問(wèn)題解決原始問(wèn)題的過(guò)程。如探索性問(wèn)題的求解總是比較困難的，往往需要從不平常的角度來(lái)考慮問(wèn)題，這就需要我們?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)改組，而從題目中我們獲取了新的信息，這就得與我們?cè)械闹R(shí)進(jìn)行同化，最后重組成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以更好的分析題目。比如若題目給出2 ⊕3=6，3 ⊕4=12，那么我們就必須重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在做這道題目中不能把⊕當(dāng)作+來(lái)使用，而應(yīng)當(dāng)作×來(lái)使用。

根據(jù)波利亞的解題思想的理解，我將解題策略分為如下四個(gè)階段：

1.列出方法 ，即根據(jù)題意，主體盡量多的想出解題的方法來(lái)。2.指明方向 ，即主體在弄清問(wèn)題的基礎(chǔ)上，初步辨認(rèn)問(wèn)題的癥結(jié)所在，通過(guò)廣泛的聯(lián)想，迅速的局部推理和活躍的直覺(jué)，逐漸形成一種產(chǎn)生解題策略的心向。3．選擇策略，對(duì)于不同類型的題目，必定有常規(guī)的方法和特殊的方法。選好了策略還得選擇一個(gè)正確的解題順序，否則就會(huì)影響解題的速度和精確度。4．運(yùn)行策略，根據(jù)所選的解題策略，一面探索，一面前進(jìn)。用邏輯的方法驗(yàn)證策略的可行性。如果驗(yàn)證的結(jié)果表明所選擇的策略不可行，則應(yīng)檢查是否在運(yùn)算過(guò)程中發(fā)生了錯(cuò)誤，或是未能充分利用已知條件。如果有補(bǔ)救的方法不妨試之，否則就應(yīng)重新根據(jù)階段二另選策略。那為什么自己選的策略會(huì)行不通呢？其原因是解題策略的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

四、對(duì)探索性問(wèn)題的解題策略

新課標(biāo)的教學(xué)建議指出“教師要把基本理念轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)行為，處理好教師講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，注重啟發(fā)學(xué)生積極思考”。而探索性問(wèn)題的教學(xué)能很好的這點(diǎn)做到，所以結(jié)合有關(guān)文獻(xiàn)資料和對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的理解，我對(duì)探索性問(wèn)題的解題策略經(jīng)行了研究，總結(jié)出以下幾點(diǎn)：

（一）問(wèn)題轉(zhuǎn)化

解答數(shù)學(xué)習(xí)題，作為創(chuàng)造性的思維活動(dòng)過(guò)程，其重要的特點(diǎn)是思維的變通性和流暢性。當(dāng)主體接觸的問(wèn)題難以入手，那么思維不應(yīng)停留在原問(wèn)題上，而應(yīng)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)比較熟悉的，比較容易解決的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的解決，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的。所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化也叫做化歸。

（二）以退求進(jìn)

解數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)“先退到足夠我們所最容易看清楚問(wèn)題的地方，認(rèn)透了、鉆深了，然后再上去”。這就是以退求進(jìn)。也就是常說(shuō)的從一般到特殊，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從抽象到具體，從多到少等等。但是用這種策略時(shí)我們必須防止以偏概全的毛病，必須注意特殊化本身的局限性。要“善于‘退’、足夠的‘退’，‘退’到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”（華羅庚語(yǔ)），在教學(xué)中對(duì)于有些復(fù)雜難解得問(wèn)題，可引導(dǎo)學(xué)生退到簡(jiǎn)單易解得地步，以探求原題的階梯信息是解困的又一方略[4]。

（三）特殊化與一般化

梅森（J.Mason）是英國(guó)開(kāi)放大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中心的主任，他在數(shù)學(xué)方法論的領(lǐng)域內(nèi)著有《數(shù)學(xué)地思維》（Thinking Mathematically）、《學(xué)數(shù)學(xué)、搞數(shù)學(xué)》(Learning and Doing Mathematics)等著作。在這些著作中，梅森集中地研究了數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化方法及其解題過(guò)程中的作用。按照梅森的觀點(diǎn)，特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心，同時(shí)也是怎樣解題的關(guān)鍵所在。

特殊化通常是指考慮一般性命題的特殊例子，或如波利亞所說(shuō)：“是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合的一個(gè)較小的子集，或僅僅一個(gè)對(duì)象?！痹跀?shù)學(xué)中，特殊化可以指用具體的數(shù)字去進(jìn)行代入，也可以指就“極端”的情況進(jìn)行考慮，還包括作出具體的圖象等。

例：一個(gè)農(nóng)夫有若干雞和兔子，他們共有50 個(gè)頭和140 只腳，問(wèn)雞和兔子各有多少？

該題其實(shí)與七年級(jí)數(shù)學(xué)教材2.3 解二元一次方程組的節(jié)前題是同一道題，只是數(shù)據(jù)不一樣。對(duì)于這道題目波利亞給出了一個(gè)十分巧妙的解法，其核心就是如下的假設(shè)：“農(nóng)夫驚異地看著雞兔們非凡的表演：每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來(lái)?！憋@然，在這種情況下，總腳數(shù)只出現(xiàn)了一半，即70 只腳。在70 這個(gè)數(shù)里，雞的腳數(shù)是與雞頭數(shù)相同的，而兔子的腳數(shù)則是頭數(shù)的二倍，從而，從70 里減去總的頭數(shù)50，就是兔子的頭數(shù)70-50=20。20 只兔子，當(dāng)然雞就是30 只了。

這就是特殊化的應(yīng)用，即將原題目用特殊的方法來(lái)做。梅森指出，由于數(shù)學(xué)中特殊化具有明確的目的性，即為了更好地了解所面臨的問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)可能的解題策略等，我們?cè)诖司筒粦?yīng)對(duì)任意的特例去進(jìn)行考慮，而應(yīng)特別注意那些我們較為熟悉的、能較有信心地進(jìn)行操作的對(duì)象。因此，梅森寫(xiě)到：“特殊化是一個(gè)相對(duì)的概念?！边@就是說(shuō)，特殊化是與個(gè)人的特殊經(jīng)驗(yàn)和能力直接相關(guān)的，在某個(gè)人看來(lái)是特殊化的東西對(duì)另一個(gè)人來(lái)說(shuō)就可能是十分抽象的。一般地說(shuō)，有如下法則：有效的特殊化意味著使用你能夠很有信心地予以操作的對(duì)象。這種做法當(dāng)然是因?yàn)椴ɡ麃営泻軓?qiáng)的功底，但主要還是憑偶然的試算和運(yùn)氣?？刹恢滥惆l(fā)現(xiàn)沒(méi)有，這種方法其實(shí)是有一般的式子的。梅森指出，相對(duì)與特殊化而言，一般話是較為困難的。然而，一般化又是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式，因?yàn)?，?shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實(shí)或規(guī)律。

有了特殊化，學(xué)生能在解決填空選擇題時(shí)節(jié)約很多時(shí)間，特殊化一般沒(méi)有什么特定的書(shū)寫(xiě)格式，而且一般能快速的解決一些題目，比如說(shuō)“特殊值法”學(xué)生能更快的得到答案；而一般化是學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)內(nèi)化的一個(gè)必不可少的過(guò)程，如果沒(méi)有這個(gè)過(guò)程，學(xué)生在做題時(shí)會(huì)感到每次都在做新題目，會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間。有了一般化以后的知識(shí)點(diǎn)，再特殊化的題目只要能發(fā)現(xiàn)其中的基本題型，就能找到突破口，從而使學(xué)生在解決探索性問(wèn)題時(shí)事半功倍。

（四）化歸原則

匈牙利著名數(shù)學(xué)家Rosza Peter 在其名著《無(wú)窮的玩藝》中曾舉過(guò)一個(gè)有趣的事例：

有人提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開(kāi)水，應(yīng)該怎么樣去做？”對(duì)此，某人回答說(shuō)：“在壺中灌上水，點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上?！碧釂?wèn)者肯定了這一回答。但是，他又追問(wèn)：“如果其他的條件不變，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做呢？”這時(shí)被提問(wèn)者往往會(huì)很有信心地回答道：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去。”但是，這一回答卻未能使提問(wèn)者感到滿意，因?yàn)?，在后者看?lái)，更為恰當(dāng)?shù)幕卮鹗牵骸爸挥形锢韺W(xué)家才會(huì)這樣做。而數(shù)學(xué)家則會(huì)倒掉壺中的水，并聲稱他已經(jīng)把后一問(wèn)題化歸成先前的已經(jīng)解決了的問(wèn)題了?！?/p>

Rosza Peter 指出，這種思維方式對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)是十分典型的。這就是說(shuō)，“他們往往不是對(duì)問(wèn)題實(shí)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問(wèn)題。如果把“化歸”理解為“由未知到已知、由難到易、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的”轉(zhuǎn)化，那么，我們就可以說(shuō)，數(shù)學(xué)家思維的重要特點(diǎn)之一，就是他們特別善于使用化歸的方法去解決問(wèn)題。從解題策略的角度來(lái)說(shuō)，這也就是所謂的“化歸原則”。

數(shù)學(xué)中的化歸有其特定的方向，一般為化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為具體、化生疏為熟悉、化難為易、化一般為特殊、化特殊為一般、化“綜合”為“單一”、化“高維”為“低維”等。

在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生逐漸悟出數(shù)學(xué)中常常把新知識(shí)轉(zhuǎn)化已知知識(shí)、把特殊轉(zhuǎn)化為一般的解決問(wèn)題的思路和方法。教師重視數(shù)學(xué)思想教育發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中的作用，確實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與應(yīng)用能力、提高學(xué)生綜合素質(zhì)的一個(gè)重要途徑。將探索性問(wèn)題化歸成幾個(gè)基本題型是教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的方向。

（五）建立模型

新課標(biāo)的設(shè)計(jì)思路中有提到“使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程”。這就是我們常說(shuō)的數(shù)學(xué)建模，所謂數(shù)學(xué)建模，就是將某一領(lǐng)域或部門(mén)的某一實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)一定的假設(shè)，找出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，并對(duì)它進(jìn)行驗(yàn)證的全過(guò)程。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)解題策略，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。實(shí)際問(wèn)題一般都類似于探索性問(wèn)題，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，是一種數(shù)學(xué)的應(yīng)用，也是自身的能力體現(xiàn)。

五、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于學(xué)生解題策略的多樣性是靠平時(shí)做題時(shí)積累的，沒(méi)有平時(shí)積累的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，那就不能找到最好的解題策略，也許還不能解決問(wèn)題，所以這就需要老師平時(shí)要多總結(jié)，以便讓學(xué)生可以有目的性的積累。根據(jù)我在論文寫(xiě)作過(guò)程中對(duì)資料的理解，我認(rèn)為解題策略即是指自己能又快又準(zhǔn)確的解出題目，從而選擇的各種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的一個(gè)集合體。當(dāng)你發(fā)現(xiàn)別人的方法比自己的好時(shí)，你下次做題目肯定會(huì)選擇那更好的方法，也就是你新的解題策略。