借助分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

四川省巴中市恩陽(yáng)第一小學(xué) 鐘立新

思維是智力的核心，加強(qiáng)學(xué)生思維訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)持之以恒地在課堂教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展多種形式的思維訓(xùn)練。在小學(xué)高年級(jí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題教學(xué)中，應(yīng)該重視并加強(qiáng)以下幾種思維訓(xùn)練，以實(shí)現(xiàn)不同學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到不同發(fā)展。

一、等量思維訓(xùn)練

尋找分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量間的等量關(guān)系，運(yùn)用方程解決一些分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題，已是普遍的解題思路，也順應(yīng)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)。因此，必須讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量間的等量關(guān)系。例如：某廠第一車間的人數(shù)比第二車間的5/8多21人，如果從第二車間調(diào)36人到第一車間，則第一車間的人數(shù)與第二車間人數(shù)相等，原來(lái)兩個(gè)車間各有多少人？

【分析與解】

這一數(shù)學(xué)問(wèn)題用別的方法解決，難度較大。如果從方程這個(gè)角度來(lái)思考，就比較容易。從題中可知：第一車間的人數(shù)相當(dāng)于第二車間的5/8+21人。即：第二車間人數(shù)-36人=第一車間的人數(shù)+36人。

解：設(shè)第二車間原來(lái)有x人，根據(jù)題意，得：

x-36=5/8x+21+36

化簡(jiǎn)為 3/8x=93

x=248

經(jīng)檢驗(yàn)x=248是原方程的解

則 第一車間原有248×（5/8）+21=176（人）生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的42%，那么兩校女生數(shù)占兩校學(xué)生總數(shù)的百分之幾？

【分析與解】

此題的條件較抽象，不利于思考解答。若設(shè)乙校有學(xué)生人數(shù)800人（也可為其他數(shù)），則甲校學(xué)生人數(shù)為800×40%=320（人），女生人數(shù)為320×30%=96（人）；乙校女生人數(shù)為800×（1-42%）=464（人）；那么兩校女生人數(shù)占兩校總?cè)藬?shù)的（96+464）÷（800+320）=50%。

二、假設(shè)思維訓(xùn)練

有時(shí)根據(jù)解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的需要，先假設(shè)題目中的某一個(gè)條件為具體數(shù)值（假設(shè)的數(shù)據(jù)要便于計(jì)算）或簡(jiǎn)單實(shí)例，便能從中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，使問(wèn)題化難為易。例如：已知甲校學(xué)生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的40%，甲校女生數(shù)是甲校學(xué)生數(shù)的30%，乙校男

三、轉(zhuǎn)化思維訓(xùn)練

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題在不改變?cè)}意的前提下，變個(gè)形式或換一種說(shuō)法，就會(huì)使條件和問(wèn)題變得明朗，有利于幫助學(xué)生理解和分析題中的數(shù)量關(guān)系，達(dá)到順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題之目的。例如：一捆電線，第一次用去10米；第二次用去余下的1/2；第三次全部用完，正好比原長(zhǎng)的1/3多5米。這捆電線原來(lái)有多少米？

【分析與解】

此題中的1/2和1/3兩個(gè)分率，它們的單位“l(fā)”不同，解題顯得十分困難。為突破這一難點(diǎn)，如果把“用去余下的1/2”轉(zhuǎn)換成“用去原長(zhǎng)的1/3多5米”（根據(jù)題意：第二次用去余下的1/2，第三次全部用完”可知：第二次與第三次用去的是相等的），那么這題的解答也就變?nèi)菀琢?。這捆電線原來(lái)長(zhǎng)（10+5+5）÷（1-1/3-1/3）=60（米）

又如：楓葉服裝廠接到生產(chǎn)2400件襯衫的任務(wù)，前3天完成了40% 。照這樣計(jì)算，完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)一共要用多少天？

【分析與解】

如果我們把完成2400件襯衫這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)所需要的總天數(shù)看作單位“1”，“前3天完成了40%”，換句話也就是說(shuō)“完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)所需要總天數(shù)的40%是3天”，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，要求完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)一共需用多少天？可以直接列式為：3÷40%=7.5（天）

四、聯(lián)想思維訓(xùn)練

聯(lián)想是由此時(shí)獲取的信息想到別的相關(guān)信息。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要教會(huì)學(xué)生聯(lián)想，以拓寬學(xué)生的解題思路，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，逐漸把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。例如：某中學(xué)有男生240人，女生人數(shù)相當(dāng)于男生的7/8。這個(gè)中學(xué)共有學(xué)生多少人？

【分析與解】

由“女生人數(shù)相當(dāng)于男生的7/8”，可以聯(lián)想到以下數(shù)量關(guān)系：①男生人數(shù)是女生的8/7。 ②女生人數(shù)比男生少1/8。③男生人數(shù)比女生多1/7。 ④女生人數(shù)是7份，男生是8份，全校共15份。⑤女生人數(shù)占全校學(xué)生數(shù)的7/15（或男生人數(shù)占全校學(xué)生數(shù)的8/15）。⑥女生人數(shù)與男生的比是7：8（或男生人數(shù)與女生的比是 8：7）。

依據(jù)原題和聯(lián)想的這些數(shù)量關(guān)系，此題便有多種解法。

解法一：240×（1+7/8）=450（人）

解法二：240÷8/7+240=450（人）

解法三：240×（1-1/8）+240=450（人）

解法四：240÷（1+1/7）+240=450（人）

解法五：（240÷8）×15=450（人）

解法六：240÷（1-7/15）=450（人） [或 240÷8/15=450（人）]

解法七：設(shè)女生人數(shù)為x人。則 x：240=7：8 x=240×7÷8

全校學(xué)生數(shù) =240×7÷8＋240=450（人）

……

五、逆向思維訓(xùn)練

順向思維與逆向思維是思維方法的兩種相反形式。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生順著題意去思維難度小，而從條件結(jié)尾處入手，倒推而上，去逆向思維不太適應(yīng)。對(duì)此，我們可選擇一些實(shí)際問(wèn)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練。例如：一個(gè)賣桃人，第一次賣掉他所有桃子的1/2，第二次賣掉了5個(gè)，第三次賣了他剩下的一半，第四次賣去13個(gè)，第五次買了剩下的50%，這時(shí)還剩下18個(gè)桃子。賣桃人原來(lái)一共有多少個(gè)桃子？

【分析與解】

這道題中出現(xiàn)了三個(gè)不同的單位“1”。第一次是把賣桃人所有的桃子看作單位“1”；第三次是把第二次賣后剩下的桃子看作單位“1”；第五次是把第四次賣后剩下的桃子看作單位“1”。如果順著題目所給的條件去分析，則很難求解。這時(shí)，我們便可從“還剩下18個(gè)桃子”處入手，向前逆推而上，問(wèn)題就好解決了。先求第四次賣后剩下的桃子數(shù)：18÷（1-50%）=36（個(gè)）；又求第三次賣后剩下的桃子數(shù)：36+13=49（個(gè)）；再求第二次賣后剩下的桃子數(shù)：49÷（1-1/2）=98（個(gè)）；然后求第一次賣后剩下的桃子數(shù)：98+5=103（個(gè)）；最后求一共有多少個(gè)桃子：103÷（1-1/2）=206（個(gè)）

列綜合算式：

{[18÷（1-50%）+13] ÷（1-1/2）+5}÷（1-1/2）=206（個(gè)）。

六、定量思維訓(xùn)練

有些分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題中，一個(gè)數(shù)量的變化，往往引起其他數(shù)量的變化。只要仔細(xì)分析，總存在著不變量，我們就以此作為解題的突破口。

1.總量不變

例如：明德學(xué)校數(shù)學(xué)教師人數(shù)是語(yǔ)文教師人數(shù)的4/7，今年有6位語(yǔ)文教師改教數(shù)學(xué)，那么語(yǔ)文教師是數(shù)學(xué)教師人數(shù)的5/6。原來(lái)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師各有多少人？

【分析與解】

由于“今年有6位語(yǔ)文教師改教數(shù)學(xué)”，那么，語(yǔ)文教師人數(shù)就發(fā)生變化，同時(shí)數(shù)學(xué)教師人數(shù)也隨著發(fā)生了變化。但語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師的總?cè)藬?shù)始終沒(méi)有變，我們就以語(yǔ)、數(shù)教師總?cè)藬?shù)不變?yōu)橥黄瓶凇０颜Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師的總?cè)藬?shù)看作單位“1”，先弄清數(shù)學(xué)教師變化前、后人數(shù)分別占語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師的總?cè)藬?shù)的幾分之幾？求出語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師的總?cè)藬?shù)，再求出語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師各有多少人？

根據(jù)“數(shù)學(xué)教師人數(shù)是語(yǔ)文教師人數(shù)的4/7”，可知數(shù)學(xué)教師占語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)的4/11；由于有6位語(yǔ)文教師改教數(shù)學(xué)后“語(yǔ)文教師是數(shù)學(xué)教師人數(shù)的5/6”，可知數(shù)學(xué)教師人數(shù)占語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)的6/11。因此，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)為6÷（6/11-4/11）=33（人）。再根據(jù)“原來(lái)數(shù)學(xué)教師人數(shù)是語(yǔ)文教師人數(shù)的4/7”，將語(yǔ)文、數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)按4：7進(jìn)行分配，求出原有的數(shù)學(xué)教師33×4/11=12（人）、原有的語(yǔ)文教師33×7/11=21（人）。

列綜合算式：

原有的數(shù)學(xué)教師：6÷（6/11-4/11）×4/11=12（人）

原有的語(yǔ)文教師：6÷（6/11-4/11）×7/11=21（人）

2.部分量不變

例如：某糧店運(yùn)進(jìn)面粉和大米共480千克，其中面粉占總數(shù)的1/4，后來(lái)又運(yùn)進(jìn)一些面粉，這時(shí)面粉占總數(shù)的5/14，糧店現(xiàn)有面粉和大米共多少千克？

【分析與解】

題中面粉數(shù)量發(fā)生了變化，面粉和大米的總重量也就發(fā)生了變化；但仔細(xì)分析，大米的重量始終沒(méi)有變，它是一個(gè)不變量。因此，先求出大米的重量 480×（1-1/4）=360（千克），占現(xiàn)有面粉和大米總重量的（1-5/14），所以現(xiàn)有面粉和大米共重360÷（1-5/14）=560（千克）。

列綜合算式：480×（1-1/4）÷（1-5/14）=560（千克）

3.差不變

例如：有兩根繩子，一根長(zhǎng)10米，另一根長(zhǎng)15米，把兩根繩子都剪下同樣長(zhǎng)的一段后，短繩子剩下的長(zhǎng)度是長(zhǎng)繩子剩下長(zhǎng)度的4/9。剪下的一段有多少米？

【分析與解】

兩根繩子剪前與剪后的長(zhǎng)差沒(méi)有變，即兩根繩子長(zhǎng)度差為：15-10=5（米）,它相當(dāng)于長(zhǎng)繩子剩下長(zhǎng)度的（1-4/9）。

解：①長(zhǎng)繩子剪下后剩下的長(zhǎng)度為：

（15-10）÷（1-4/9）=9（米）

15兩根繩子剪下同樣長(zhǎng)的一段為：

15-9=6（米）

七、發(fā)散思維訓(xùn)練

教學(xué)中注重發(fā)散思維的訓(xùn)練，可以使學(xué)生的解題思路開(kāi)闊，妙法頓生。一題多解便是訓(xùn)練發(fā)散思維的好素材，通過(guò)一題多解，引導(dǎo)學(xué)生就不同的角度、不同的方位分析、思考同一問(wèn)題，有助于幫助學(xué)生理解應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，熟習(xí)數(shù)量間的關(guān)系，對(duì)達(dá)到觸類旁通，舉一反三之目的，將產(chǎn)生十分積極的作用。例如：生產(chǎn)小組加工一批零件，原計(jì)劃用14天，平均每天加工1500個(gè)零件。實(shí)際每天加工的零件比原計(jì)劃每天加工的多2/5。實(shí)際用了多少天就完成了加工任務(wù)？

【分析與解】

1.按一般應(yīng)用題解

解法一：先求出實(shí)際每天加工的零件數(shù)，再求出這批零件的總數(shù)，然后求實(shí)際用了多少天？

1500×14÷[1500×（1+2/5）]=10（天）

解法二：先求出實(shí)際每天加工多少個(gè)零件，再求出實(shí)際每天加工的零件數(shù)是原計(jì)劃每天加工零件數(shù)的多少倍，最后求出即使用了多少天？

14÷[1500 ×（1+2/5）÷1500]=10（天）

解法三：先求實(shí)際每天比計(jì)劃每天多加工的零件數(shù)，再求14天多加工的零件數(shù)，然后求出實(shí)際提前的天數(shù)，最后求實(shí)際用了多少天？

14-1500×2/5×14÷[1500 ×（1+2/5）]=10（天）

2.按工程問(wèn)題去解

把要加工的這批零件看作單位“1”，原計(jì)劃用14天，則原計(jì)劃每天加工這批零件的1/14，實(shí)際每天加工的就是1/14×（1+2/5）。這樣思考列式時(shí)就撇開(kāi)了“1500個(gè)零件”這個(gè)具體的量，使解法顯得新穎、巧妙。

解法四：按解法一的思路，列式為1÷[1/14×（1+2/5）]=10（天）

解法五：按解法二的思路，列式為 14÷[1/14×（1+2/5）÷1/14]=10（天）

解法六：按解法三的思路，列式為 14-1/14×2/5×14÷[1/14×（1+2/5）]=10（天）

3.列方程解

解法七：根據(jù)實(shí)際加工的零件總數(shù)等于原計(jì)劃加工的零件總數(shù)，設(shè)實(shí)際用了x天可完成加工任務(wù)，則1500×（1+2/5）× x=1500×14

x=10

解法八：把原計(jì)劃加工的零件總數(shù)看作單位“1”，實(shí)際每天就加工1/14×（1+2/5），根據(jù)解法七的思路，設(shè)實(shí)際用了x天，則1/14×（1+2/5）x=1

x=10

解法九：依據(jù)實(shí)際提前的天數(shù)加上實(shí)際用的天數(shù)等于原計(jì)劃用的天數(shù)。設(shè)實(shí)際提前x天完成加工任務(wù)，

x=4

14-4=10（天）

4.用正比例方法解

解法十：已知每天加工的零件個(gè)數(shù)一定，加工零件的總數(shù)和實(shí)際加工天數(shù)成正比例。設(shè)實(shí)際用了x天完成任務(wù)，

x=10

解法十一：把這批零件總數(shù)看作單位“1”，實(shí)際每天加工這批零件的1/14×（1+2/5），利用解法十的思路，設(shè)實(shí)際用了x天，

x=10

5.用反比例方法解

解法十二：已知加工零件總數(shù)一定，每天加工零件數(shù)和加工的天數(shù)成反比例。設(shè)實(shí)際用了x天完成任務(wù)，則 1500×14=1500×（1+2/5）x

x=10

6.用特殊方法去解

解法十三：把原計(jì)劃每天完成的工作量看成“1”，則工作總量為1×14=14，再求實(shí)際用的天數(shù)，問(wèn)題就得到解決了。即1×14÷（1+2/5）=10（天），從而找到了最簡(jiǎn)捷的解法。