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    分式方程有增根與無(wú)解的關(guān)系辨析

    2019-01-11 18:41:27湖北省黃岡思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校蔡艷生
    數(shù)學(xué)大世界 2019年18期
    關(guān)鍵詞:公分母厘清辨析

    湖北省黃岡思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校 蔡艷生

    分式方程有增根與無(wú)解是分式方程中常見(jiàn)的兩個(gè)概念,也是一些地區(qū)中考、自主招生考試中常見(jiàn)的考點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)分式方程后,常常對(duì)分式方程有增根與無(wú)解這兩個(gè)概念混淆不清,認(rèn)為這兩者是同一回事,事實(shí)上并非如此。因此,幫助學(xué)生厘清分式方程有增根與無(wú)解這兩者之間的關(guān)系十分有必要.

    分式方程有增根,指的是解分式方程時(shí),在把分式方程化為整式方程的過(guò)程中,方程的兩邊都乘了一個(gè)使最簡(jiǎn)公分母為零的整式,從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值,即分式方程的增根必須滿足兩個(gè)條件:(1)增根使最簡(jiǎn)公分母為零;(2)增根是分式方程化成整式方程的根。而分式方程無(wú)解包含兩種情況:(1)分式方程化成整式方程后,整式方程無(wú)解;(2)分式方程化成整式方程后,整式方程有解,但均為原分式方程的增根。因此,解分式方程最后必須要驗(yàn)根。舉例說(shuō)明如下:

    例1:【涼山州中考題】關(guān)于x的方程無(wú)解,則m的值為( )

    A.-5 B.-8 C.-2 D.5

    解:方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(x+1),

    得:3x-2=2(x+1)+m,解得:x=m+4。

    ∵該整式方程有解,而原分式方程無(wú)解,

    ∴x=m+4必定是原分式方程的增根,

    即x+4=-1,∴m=-5。故本題答案為A。

    【探究1】若將例1中的“無(wú)解”改為“有增根”,例1的答案并不發(fā)生改變。

    【辨析】例1和探究1的答案相同,是因?yàn)樵摲质椒匠袒癁檎剑ㄒ辉淮危┓匠毯?,整式方程未知?shù)不含字母系數(shù),有唯一解。

    A-1.5. B.1 C.-1.5或2 D.-0.5或-1.5

    解:方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(x-3)x,

    得:(2m+x)x-(x-3)x=2(x-3),

    整理得:(2m+1)x=-6。

    ①當(dāng)(2m+1)=0,即m=-0.5時(shí),整式方程(2m+1)x=-6無(wú)解,則原分式方程無(wú)解;

    ②當(dāng)(2m+1)≠0時(shí),整式方程的解為要使原分式

    方程無(wú)解,則x=3或x=0。

    綜上所述:m=-0.5或m=-1.5,故本題答案為D。

    【探究2】若將例2中的“無(wú)解”改為“有增根”,從例2的解答過(guò)程可知①不符合本題要求,最后只能取,答案就是A。

    【辨析】例2和探究2的答案不同,是因?yàn)樵摲质椒匠袒癁檎剑ㄒ辉淮危┓匠毯螅椒匠痰奈粗獢?shù)含有字母系數(shù)(2m+1),對(duì)(2m+1)是否為零需要分類討論,因此會(huì)產(chǎn)生兩種不同情況。

    A.1或-3 B.1 C.0或4 D.4

    【錯(cuò)解】解:方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(x-1)(x+3),

    得:x(x+3)-(x-1)(x+3)=m,

    整理得:x+3=m,解得:x=m-3。

    ∵ 分式方程有增根,

    ∴(x-1)(x+3)=0,

    解得:x=1或x=-3,

    當(dāng)m-3=1時(shí),得m=4,

    當(dāng)m-3=-3時(shí),得m=0,

    綜上所述:m的值為0或4,故選C選項(xiàng)。

    【正解】其實(shí),只需要把以上錯(cuò)解中的m=4,m=0代入原分式方程檢驗(yàn),就會(huì)發(fā)現(xiàn):

    當(dāng)m=4時(shí),原分式方程可化為x(x+3)-(x-1)(x+3)=4。

    整理得:x=1,經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原分式方程的增根;

    當(dāng)m=0時(shí),原分式方程可化為

    去分母、整理得1=0,顯然不成立。因此,當(dāng)m=0時(shí),原分式方程無(wú)解,并沒(méi)有使其產(chǎn)生增根。故而,本題正確答案為D。

    【辨析】學(xué)生在解答本題過(guò)程中,極容易出現(xiàn)以上錯(cuò)解情況,為有效避免錯(cuò)誤的出現(xiàn),解分式方程最后一定要驗(yàn)根。

    弄清楚分式方程有增根和無(wú)解的區(qū)別和聯(lián)系,厘清這兩者之間的關(guān)系,能幫助學(xué)生提高解分式方程的正確性,對(duì)正確判斷分式方程的解的情況有重要的指導(dǎo)意義。

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