曲徑通幽——步入初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)

江蘇省南京市沿江中學(xué) 宋小玲

核心素養(yǎng)下，對于初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)，要明確課堂知識(shí)與解題能力的發(fā)展定位，貼近學(xué)生，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，開展數(shù)學(xué)深度探究與合作學(xué)習(xí)。函數(shù)與方程是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)，通過研讀教材，把握函數(shù)與方程滲透教學(xué)思路，從問題探討、學(xué)生啟思、解題實(shí)踐、回顧反思中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素能。

一、教師研讀并且提煉教材，優(yōu)化深度教學(xué)的內(nèi)容

深度教學(xué)關(guān)注學(xué)生的知識(shí)探究與合作學(xué)習(xí)，要將教學(xué)目標(biāo)放在解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上。課堂的組織與探究要求教師研讀教材，提煉教學(xué)重點(diǎn)，構(gòu)建適合學(xué)生探究的學(xué)習(xí)環(huán)境。在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”時(shí)，對于概念的引出，我們圍繞“石子投入水中，蕩起的波紋向外拓展。求圓的面積與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系”展開話題討論，讓學(xué)生回顧過去所學(xué)的知識(shí)，認(rèn)識(shí)“二次函數(shù)”與一次函數(shù)、反比例函數(shù)有何差異？在課堂深度教學(xué)中，學(xué)生的函數(shù)視野得到擴(kuò)展，對“二次函數(shù)”概念的理解也逐步深刻。事實(shí)上，在課堂探究中，我們還可以結(jié)合“二次函數(shù)”與“一次函數(shù)”進(jìn)行對比，利用表格來分析各自的特點(diǎn)，放手讓學(xué)生去思考、去交流、去探索，領(lǐng)會(huì)二次函數(shù)的意義。認(rèn)識(shí)了“二次函數(shù)”，對“二次函數(shù)”教學(xué)重點(diǎn)的梳理，教師需要研讀教材，挖掘課程教學(xué)資源。如對于二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c的理解，讓學(xué)生理解二次函數(shù)表達(dá)式的成立條件是a、b、c都是常數(shù)，且a≠0。對照過去所學(xué)的一元二次方程的知識(shí)，對一元二次方程的理解，可以看作是“y=0”條件下的“二次函數(shù)”。也就是說，二次函數(shù)與一元二次方程之間具有轉(zhuǎn)化關(guān)系，在面對二次函數(shù)時(shí)，教師要滲透方程思想，讓學(xué)生理解函數(shù)與方程的關(guān)系。

二、關(guān)注函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化，啟發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)與方程是教學(xué)難點(diǎn)，也是滲透函數(shù)與方程思想的集中體現(xiàn)。認(rèn)識(shí)函數(shù)，理解方程，就需要從函數(shù)模型的構(gòu)建開始，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化中，聯(lián)系實(shí)際數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增進(jìn)對函數(shù)與方程知識(shí)的認(rèn)知和應(yīng)用。聯(lián)系二次函數(shù)表達(dá)式，就其圖像和性質(zhì)進(jìn)行歸納，我們設(shè)計(jì)問題：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，與方程ax2+bx+c=0 相比，二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和二次方程的解有何關(guān)系？我們在平面坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖像，激發(fā)學(xué)生思考：二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題有幾種情形？結(jié)合教材內(nèi)容，第一種情形是二次函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)，第二種情形是二次函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，第三種情形是二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)。討論了二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題，接著，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸在沒有交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0 沒有實(shí)數(shù)根，即Δ=b2-4ac＜0。當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0 有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ=b2-4ac=0。當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根，即Δ=b2-4ac＞0。可見，二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，與方程的實(shí)根情形是對應(yīng)的。借助于函數(shù)與方程思想，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)二次函數(shù)與二次方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，幫助學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想來解決抽象數(shù)學(xué)問題。

三、引入數(shù)學(xué)具體問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

在函數(shù)與方程思想運(yùn)用中，其重點(diǎn)在于解決實(shí)際問題?，F(xiàn)實(shí)生活中，很多問題可以通過構(gòu)建函數(shù)與方程模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的解決。二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，其變式性、抽象性、應(yīng)用性特點(diǎn)讓學(xué)生感到難學(xué)、難懂。挖掘生活原型，著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展，對二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、坐標(biāo)式、一般式進(jìn)行模型化塑造，聯(lián)系學(xué)生生活來探究其意義，促進(jìn)學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得智慧。如：用12m 長的繩子圍成長方形，怎樣讓長方形的面積最大？如果一邊靠墻，長方形面積是18 平方米，問長和寬各是多少米？如果面積為16平方米，長和寬各是多少？如果面積為10 平方米，長和寬各是多少？很顯然，該題從立意上強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的生活化教學(xué)，讓學(xué)生能夠從問題探究中激活數(shù)學(xué)興趣，找尋數(shù)學(xué)解題模型，多方位、多視角感知數(shù)學(xué)。同時(shí)，面對“二次函數(shù)”的圖像討論，我們可以結(jié)合體育課堂上的投籃活動(dòng)，分析二次函數(shù)圖像與方程的關(guān)系。投籃是學(xué)生熟悉的，拋物線方程又是教學(xué)重點(diǎn)，結(jié)合投籃活動(dòng)，讓學(xué)生聯(lián)系生活體驗(yàn)，認(rèn)識(shí)籃筐高度、學(xué)生與籃筐距離等數(shù)據(jù)，從投籃體驗(yàn)中來探究拋物線方程的性質(zhì)，深化對二次函數(shù)與圖像性質(zhì)的理解和應(yīng)用。數(shù)學(xué)課堂的深度教學(xué)要確立核心素養(yǎng)教育目標(biāo)，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展，如建模能力、數(shù)學(xué)思維能力、解題能力等。通過探究函數(shù)與方程實(shí)現(xiàn)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)解題思維，為培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣奠定基礎(chǔ)。

總之，在函數(shù)與方程思想教學(xué)中，函數(shù)、方程基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)是最低層次的，要讓學(xué)生內(nèi)化函數(shù)與方程思想，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，通過習(xí)題演練、課堂探究、解題應(yīng)用與反思，鞏固函數(shù)與方程思想的認(rèn)識(shí)。最后，教師要把握解題思維流程，引領(lǐng)學(xué)生觀察題干，挖掘解題條件；回顧函數(shù)與方程思想，提煉函數(shù)與方程的關(guān)系；運(yùn)用函數(shù)與方程思想，探尋解題思路，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力。