AANA陣列的完全收斂性

王寬程, 楊英鐘, 高小明

(閩南理工學(xué)院信息管理學(xué)院， 福建 泉州 362700)

0 引言

稱隨機(jī)變量是X1,X2, …,Xn,n≥2是負(fù)相關(guān)(negatively associated， NA)的, 如果對于1, 2, …,n的任何兩個(gè)不交的非空子集T1和T2都有

Cov(f(Xi,i∈T1),g(Xj,j∈T2))≤0

其中:f和g是任何兩個(gè)使上述協(xié)方差存在且對每個(gè)變元均非降(或均非升)的函數(shù).

稱隨機(jī)變量列{Xn,n∈N}是NA的, 如果對任何自然數(shù)n≥2，X1,X2, …,Xn都是NA的； NA序列由文獻(xiàn)提出， 有關(guān)NA序列的研究可以參考文獻(xiàn)[2-4].

稱{Xn;n∈N}為漸近幾乎負(fù)相關(guān)(asymptotically almost negatively associated， AANA)隨機(jī)變量序列, 如果存在非負(fù)序列q(n)→0(n→∞), 對任意的n,k≥1都有

Cov(f(Xn),g(Xn+1, …,Xn+k))≤q(n)(Var(f(Xn))Var(g(Xn+1, …,Xn+k)))1/2

其中：f和g是任何兩個(gè)使上述方差存在且對每個(gè)變元均為非降的連續(xù)函數(shù)； {q(n);n∈N}為該序列的混合系數(shù).

稱隨機(jī)陣列{Xnk; 1≤k≤n,n∈N}是行為AANA陣列, 固定n, 假設(shè)每一行內(nèi)的隨機(jī)變量列{Xnk}是AANA的.

AANA序列是包含獨(dú)立列和NA列(令q(n)=0,n≥1)的更為廣泛的隨機(jī)變量序列. 顯然, 如果隨機(jī)變量序列是NA列, 則它們一定是AANA列, 反之不真. 此外, AANA序列也不同于漸近負(fù)相關(guān)(asymptotically negatively associated, ANA)列. 近年來有關(guān)AANA序列的研究, 已取得不少的成果. 如文獻(xiàn)研究了AANA重對數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律； 文獻(xiàn)[8-9]分別得到了AANA的Hajek-Renyi不等式和Rosenthal型不等式； 文獻(xiàn)[10]討論了AANA部分和的極限； 文獻(xiàn)[11]研究了AANA的極大不等式和強(qiáng)大數(shù)定律； 文獻(xiàn)[12]研究了AANA加權(quán)和的強(qiáng)大數(shù)定律. 本研究分析AANA陣列在h-可積下的完全收斂性以及AANA陣列在p階Cesaro一致可積條件下的完全收斂性, 得到并推廣NA序列的相應(yīng)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[13]k≤n,n∈N}是p階cesaro一致可積的, 若

定義2[14]稱陣列{Xnk; 1≤k≤n,n∈N}關(guān)于常數(shù)陣列{ank; 1≤k≤n,n∈N}是h-可積的, 若滿足下列條件：

2 結(jié)論

引理1設(shè){Xn;n∈N}為AANA序列, 并且混合系數(shù)是{q(n);n∈N}, 若{fn;n∈N}皆是單調(diào)非降(或者單調(diào)非增)連續(xù)函數(shù), 那么{fn(xn);n∈N}仍然是AANA序列, 其混合系數(shù)仍然是{q(n);n∈N}.

則對αp≥1有

(?ε>0)(1)

證明 取x=nα(2-p)/4， 當(dāng)n→∞時(shí)，x→∞， 對Xnk截尾， 記

故為證(1)， 只需證I1<∞，I2<∞.

由Morkov不等式， 及引理2有

又因?yàn)閤=nα(2-p)/4， 所以?N>0， 使得當(dāng)n≥N時(shí)， 有x>M故

定理證畢.

特別令q(n)=0(n≥1)則可得下列推論.

推論1設(shè){Xn;n≥1}是NA列,l(x)為緩變函數(shù), 且對12/p-1， 有

則對αp≥1, 有

定理2設(shè){Xnk; 1≤k≤n,n≥1}為零均值且EXnk<∞的行為AANA陣列，l(x)為緩變函數(shù), {ank}是常數(shù)陣列， {h(n)}是單調(diào)不減序列且h(n)→∞(n→∞). 設(shè)α>0,αp>1, 0<δ<1,q>0,t>0為實(shí)數(shù)， 滿足：αp-α-q<0，αp-t+1<0及α-q+1<0. 如果下面3個(gè)條件成立:

i) {Xnk}是關(guān)于常數(shù)陣列{ank}的h-可積, 且maxank=O(n-ql-1(2k));

則有

(?ε>0)(2)

證明 對每個(gè)1≤k≤n(n≥1), 令

Ynk=XnkI(Xnk≤h(n))-h(n)I(Xnk<-h(n))+h(n)I(Xnk>h(n))

由引理1可知{Ynk; 1≤k≤n,n≥1}仍為AANA陣列.

先證

因?yàn)?ω∈Dn, 有

且?1≤i

Xni(ω)≤h(n)或Xnj(ω)≤h(n),Xni(ω)>=-h(n)或Xnj(ω)>=-h(n)

若記a=#{i:1≤i≤n,Xni(ω)>h(n)},b=#{i:1≤i≤n,Xni(ω)<-h(n)}. 則易知a≤1,b≤1.

當(dāng)a=0,b=0時(shí), 有?j(1≤j≤n),anjXnj(ω)≤anjh(n), 所以anjXnj(ω)=anjYnj(ω), 從而

當(dāng)a=1,b=0時(shí), 僅有某個(gè)i0, 使得Xni0(ω)>h(n), 但仍有ani0Xni0(ω)<εnα, 而其余的i, 都有aniXni(ω)=aniYni(ω).若1≤k≤i0-1, 則Sk(ω)=Uk(ω); 若i0≤k≤n, 則

Yi0(ω)=h(n)

從而

同理可證當(dāng)a=0,b=1時(shí)及當(dāng)a=1,b=1時(shí)的情況, 故式(3)成立.因此, 有

所以要證式(2), 只需證明:

先證式(4)

再證式(5)

要證式(6)成立, 只需證

由引理2及條件ii)可得

定理2證畢.