對(duì)數(shù)帶來(lái)的“簡(jiǎn)捷”

張居強(qiáng)

16世紀(jì)初，當(dāng)?shù)谝粡垖?duì)數(shù)表問(wèn)世后，天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家的拉普拉斯?jié)M腔熱情地稱(chēng)贊這是一項(xiàng)“使天文學(xué)家壽命倍增”的發(fā)明，甚至世界知名科學(xué)家伽利略還說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我即可創(chuàng)造一個(gè)宇宙．”對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)，同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)常感覺(jué)其知識(shí)難學(xué)，難理解，根本沒(méi)有感覺(jué)到其能帶來(lái)方便的運(yùn)用，何德何能享有這么高的評(píng)價(jià)？筆者僅從幾例試題出發(fā)，帶領(lǐng)同學(xué)們感受、體驗(yàn)對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)給我們、給世界帶來(lái)的方便．

一、取“對(duì)數(shù)”——簡(jiǎn)化運(yùn)算

對(duì)數(shù)的重要功能：能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，通過(guò)“取對(duì)數(shù)”運(yùn)算，我們可以將乘法運(yùn)算變成加法運(yùn)算，除法運(yùn)算變成減法運(yùn)算，乘方運(yùn)算變成倍數(shù)運(yùn)算．因此我們?cè)诮忸}時(shí)要提醒自己，需要根據(jù)試題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，縮短思維過(guò)程，提高解題效率．

例1設(shè)a，b，c都是不等于1的正數(shù)，且ab≠1，求證：alogcb=blogca．

解析若直接證明比較困難，若考慮該等式兩邊都是正數(shù)且都不等于1，可以對(duì)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，為了計(jì)算方便，處理對(duì)數(shù)問(wèn)題時(shí)要選擇好底數(shù)．根據(jù)結(jié)論我們選擇以“c”為底較好．

因?yàn)閍，b，c都是不等于1的正數(shù)且ab≠1，所以要證等式alogcb=blogca成立，只要證logcalogcb=logcblogca，即logcb·logca=logca·logcb，顯然該式是成立的．

二、用“圖象”——避開(kāi)運(yùn)算

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)（1，0）和（a，1），我們不妨稱(chēng)之為對(duì)數(shù)函數(shù)的兩個(gè)特征點(diǎn)．對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）的圖象中，直線x=1反映了它的分布特征；而直線y=1與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)（a，1）的橫坐標(biāo)則直觀地反映了對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)特征．我們可以稱(chēng)x=1和y=1為對(duì)數(shù)函數(shù)的兩條對(duì)數(shù)函數(shù)特征線．我們?cè)诋?huà)圖象時(shí)就能把握住圖象的基本特征，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的特征點(diǎn)、特征線處理一些問(wèn)題，形象、直觀，簡(jiǎn)單易行．

例2已知a＞0，且a≠1，寫(xiě)出方程2loga（x2-5x+7）+5ax2-2x-3-5=0的一個(gè)解x= ．

分析由試題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不能直接求解，易想到用數(shù)形結(jié)合來(lái)求解，難點(diǎn)在于如何把題目的方程轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)圖象問(wèn)題，只要將題目分解成兩個(gè)部分，問(wèn)題就可解決．

解設(shè)f（x）=2loga（x2-5x+7），g（x）=5-5ax2-2x-3，根據(jù)y=logax（a＞0且a≠1）的圖象的特征知其恒過(guò)點(diǎn)（1，0），令x2-5x+7=1得x=2或x=3，所以函數(shù)f（x）的圖象恒過(guò)點(diǎn)（2，0）和（3，0）．

而g（x）=5-5ax2-2x-3中，令x2-2x-3=0時(shí)，即有x=-1或x=3，所以函數(shù)g（x）的圖象恒過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（3，0）．

由上可知，兩函數(shù)值都等于0時(shí)可得到相同的解x=3．

故方程2loga（x2-5x+7）+5ax2-2x-3-5=0的一個(gè)解為x=3．

三、借“情境”——降級(jí)運(yùn)算

對(duì)數(shù)是隨著天文學(xué)中解決龐大數(shù)據(jù)計(jì)算的需要而被發(fā)明出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，而20世紀(jì)50年代中計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與升級(jí)，使得對(duì)數(shù)特有的將復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)單化的必要性已消失，但是因?yàn)閷?duì)數(shù)可以把pH值、里氏地震規(guī)模、分貝、星的等級(jí)等以幾何級(jí)別增加的形式簡(jiǎn)化成以算術(shù)級(jí)別增加的形式，從而其仍然被人們所廣泛使用．

例320世紀(jì)30年代，查爾斯·里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為：M=lgA-lgA0，其中A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中距離造成的偏差）．

（1）假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100km的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0．001，計(jì)算這次地震的震級(jí)（精確到0．1）；

（2）5級(jí)地震給人的振感已比較明顯，計(jì)算7．6級(jí)地震最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的多少倍？（精確到1）

分析在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，我們首先需要在實(shí)際的情境中去理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的因素，將之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．而本題中函數(shù)模型已確定，處理時(shí)只需對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定量分析，套用現(xiàn)成的公式即可把問(wèn)題解決．

解析（1）M=lgA-lgA0=lg20-=lg20000=lg2+lg104≈4．3．

（2）由M=lgA-lgA0=lg解得A=A0·10M．

當(dāng)M=7．6時(shí)，地震的最大振幅為A=A0·107．6；

當(dāng)M=5時(shí)，地震的最大振幅為A′=A0·105．

即7．6級(jí)地震最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的398倍．