掌握性質(zhì)，學(xué)會(huì)應(yīng)用
——以等差數(shù)列為例

陸 峰

我們知道，在等差數(shù)列｛an｝中，有公差，那么am，an，am+n之間有什么關(guān)系呢？

性質(zhì)1：在等差數(shù)列｛an｝中，有．

設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，則，可知數(shù)列也是等差數(shù)列．

于是又有下面的性質(zhì)：

性質(zhì)2：在等差數(shù)列｛an｝中，設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，則對(duì)于m，n∈N*，m≠n，有．

數(shù)學(xué)的基本原則是：求真、求簡(jiǎn)、求美，“對(duì)稱”是數(shù)學(xué)美的核心．上述兩個(gè)公式由于“對(duì)稱”而顯得簡(jiǎn)單優(yōu)美，運(yùn)用它們解題時(shí)也會(huì)給人耳目一新的感覺，本文擷取幾例，供讀者參考．

例1在等差數(shù)列｛an｝中，am=n，an=m（m，n∈N*，m≠n），則am+n=_________．

解析本題可以先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出基本量a1和公差d，然后再求am+n．如果利用性質(zhì)1會(huì)很簡(jiǎn)潔．

則am+n-am=-n，

所以am+n=0．

變式1在等差數(shù)列｛an｝中，Sn是前n項(xiàng)和，Sm=n，Sn=m（m，n∈N*，m≠n），則Sm+n=_________．

解析不少同學(xué)在遇到這道題目時(shí)往往感到棘手，字母較多，心生畏懼．注意到題目的特殊性，如果借助性質(zhì)2本題可以迎刃而解．

則Sm+n=-（m+n）．

例2等差數(shù)列｛an｝的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，它的前3m項(xiàng)的和為________．

解析由性質(zhì)2知，故S3m=210．

變式2等差數(shù)列｛an｝的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前5m項(xiàng)的和為________．

解析由例2得S3m=210，

以上幾例可以看出，等差數(shù)列這兩個(gè)優(yōu)美的性質(zhì)在解決相關(guān)問題時(shí)，能大大簡(jiǎn)化解題過程，減少運(yùn)算量．

鞏固練習(xí)

1．若Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且S8-S3=20，則S11的值為________．

2． 等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，Sm=Sn（m，n∈N*，m≠n），則Sm+n=________．

參考答案

1．44． 2．0．