基本量法解決數(shù)列問題

江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) 朱 丹

對待數(shù)列問題，我們往往認(rèn)為只有熟練掌握各類技巧才能駕馭它，似乎用技巧才會節(jié)省時(shí)間、簡化過程，因此，在平時(shí)訓(xùn)練中，將大量時(shí)間花在技巧的發(fā)現(xiàn)和訓(xùn)練上.事實(shí)上，更多時(shí)候，我們是通過解方程或方程組來解決問題，即用基本量法解決問題.所謂基本量法，就是利用a1，an，d（q），Sn這幾個(gè)量的相互關(guān)系，通過方程或方程組，在已知部分量或關(guān)系的前提下求出其余的量或關(guān)系的方法.比較用技巧解題，基本量法好像顯得有點(diǎn)“笨拙”，但方向明確，過程簡單，解題正確率高，可以說，數(shù)列題原則上幾乎都可以用基本量法來解決，只要我們有足夠的耐心.下面通過幾個(gè)熟悉的例子再來認(rèn)識一下基本量法及其應(yīng)用.

例1問：等差數(shù)列5，11，17，…，77共有幾項(xiàng)？

有人會說，這簡單，只需將所有項(xiàng)寫出來數(shù)一數(shù)就行.但如果再給出若干項(xiàng)，“數(shù)一數(shù)”的代價(jià)就大了.還有一種做法是：共有項(xiàng)，問題是為什么這樣做？道理是什么？未必能想明白.看看用基本量法如何解決：設(shè)a1=5，an=77，d=6，則因?yàn)閍n=a1+（n-1）d，所以77=5+（n-1）6，得n=13.這樣做的理由很簡單，就是看看首項(xiàng)是5、公差是6的等差數(shù)列中，77排第幾項(xiàng)？

從這道題的解法可以看到，基本量法不是沒有內(nèi)涵的“呆”方法，有時(shí)比其他辦法更有效，問題也看得更透.

例2在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an｛｝中，若a2=1，a8=a6+2a4，則a6的值是____.

這道題命題意圖很清晰：一是考查認(rèn)識數(shù)列的大局觀和整體思想，二是考查等比數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)：an=am·qn-m，也就是a8=a2·q6，a6=a2·q4，a4=a2·q2.因此可以將a2，a4，a6，a8看成一個(gè)新的等比數(shù)列的前4項(xiàng)，問題就迎刃而解了.但能想到這點(diǎn)未必很容易，需要你對數(shù)列有較深刻的把握，況且在高考考場上有時(shí)候容不得我們花太多的時(shí)間去想解題的最佳方案.能捉到老鼠的就是好貓，干脆用基本量法：由題意知，a1q=1，a1q7=a1q5+2a1q3，q4=q2+2，得q2=2，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所

例3設(shè)等差數(shù)列an｛｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知S12=354，且前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求公差d.

看到這類題，可能有同學(xué)認(rèn)為要用到如下的部分結(jié)論：設(shè)等差數(shù)列an｛｝的前n項(xiàng)和為Sn，若an｛｝共有n=2k（k∈N*）項(xiàng)，則若an｛ ｝共有n=2k-1）項(xiàng)，則.這些結(jié)論比較抽象，也不易記住，所以部分同學(xué)對解這道題信心不足.如果你試圖用基本量法，你便會覺得很簡單：設(shè)首項(xiàng)為a1，則由條件可得解得a1=2，d=5.

例4設(shè)m，n，s，t∈N*，且m+n=s+t.若an｛｝是等比數(shù)列，試問am·an=as+t成立嗎？若不成立，請說出理由；若成立，試給出成立的條件.

這是一道發(fā)散型的探究題，有同學(xué)一眼就發(fā)現(xiàn)當(dāng)an=1（n∈N*）時(shí)成立.就沒有其他情形嗎？基本量法可以解決這個(gè)問題：由am·an=as+t，得a1·qm-1·a1·qn-1=a1·qs+t-1，化簡得a1=q.這下恍然大悟了！原來當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項(xiàng)與公比相等時(shí)，am·an=as+t.自然，an=1只是大海中的一滴水.

例5設(shè)等差數(shù)列an｛｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=100，S100=10，則S110=_______.

解這道題的技巧很多，如：S100-S10=-90，a11+a12+…+a100=-90，45（a11+a100）=-90，a11+a100=-2，所以a1+a110=a11+a100=-2，.用基本量法過程如下，由解

可能多數(shù)同學(xué)認(rèn)為前一種更有“靚”點(diǎn).但我們應(yīng)該用辯證的眼光來比較優(yōu)劣.確實(shí)，用基本量法的過程繁雜，數(shù)字龐大，但算理簡單，思路清晰，在苦思冥想找不到更好所謂“技巧”的情形下，她真的不失為另類的技巧！

近年高考中的數(shù)列題，呈兩極分化的布局，當(dāng)其前置時(shí)，一般屬于中（低）檔題，某種意義上說是送分題，因此，只要我們對定義、性質(zhì)有較全面的認(rèn)識，基本量法是成本最低、勝算最大的通用方法，往往能一招制勝.而當(dāng)數(shù)列題壓軸時(shí)，也必定兼有選拔功能，就不僅僅是對解題方法的考查了，但即便如此，基本量法也大有市場.綜上分析，可以說基本量法是數(shù)列解題的當(dāng)家法寶，同學(xué)們趕緊取走吧.