一個新的多參數(shù)非齊次核Hilbert型積分不等式

劉瓊

(邵陽學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽，422000)

為方便起見，設(shè)?(x)>0為可測函數(shù)，ρ≥1，定義如下函數(shù)空間：

設(shè)f，g≥0，f，g∈L2(0，∞)，‖f‖2，‖g‖2>0，則有下列著名Hilbert不等式[1]：

(1)

(2)

(3)

本文引入多個參數(shù)，利用權(quán)函數(shù)方法，實分析技巧和拉普拉斯積分變換，建立一個核為

的多參數(shù)非齊次核Hilbert型積分不等式，考慮了它的等價式，證明了它們的常數(shù)因子是最佳的。

1 有關(guān)引理

則有

其中

(4)

證明：令βxy=u，則有

(5)

則有

(6)

(7)

證明：容易得到

C(α，β，γ)(1-o(1))(ε→0+)。

2 主要結(jié)果及應(yīng)用

(8)

這里的常數(shù)因子C(α，β，γ)是最佳的，同式(4)。

證明：由H?lder不等式[14]和Fubini定理及引理1有

(9)

若式(8)中的常數(shù)因子C(α，β，γ)不是最佳的，則存在正數(shù)K

定理2 在與定理1相同的條件下，還能得到：

(10)

這里的常數(shù)因子Cp(α，β，γ)是最佳的，且式(10)和式(8)等價。

證明：令一有界可測函數(shù)

因為0<‖f‖p，φ<∞，故存在n0∈，使得置

當(dāng)n≥n0時，由式(8)有

(11)

由(11)有

(12)

即有0<‖f‖p，φ<∞。 當(dāng)n→∞時，由式(8)、式(11)和(12)仍保持嚴(yán)格不等號，故式(10)成立。

反之，由 H?lder 不等式有

上式即為式(8)，因此式(8)和式(10)等價。

若式(10)中的常數(shù)因子不是最佳的，則由式(10)得到式(8)的常數(shù)因子也不是最佳的，這與定理1已證過的結(jié)論矛盾，所以式(10)中的常數(shù)因子Cp(α，β，γ)是最佳值。

可以在式(8)和式(10)中選取一些特殊的參數(shù)，得到一些有意義的結(jié)果。 如：

(13)

于是，有下面推論：

(14)

(15)

在式(8)和式(10)中取γ=4，由式(4)、(13)和拉普拉斯積分變換的微分性質(zhì)，有：

(16)

于是，有下面推論：

(17)

(18)

這里的常數(shù)因子

繼續(xù)在式(14)、(15)和式(17)、(18)中取α，β一些的具體正值，可以得到相應(yīng)的一些不等式。