基于細(xì)化等級(jí)賦分問題的研究

趙吉祥，姚興貴，呂香歸，許鵬飛

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，安徽 合肥 230036）

1 背景知識(shí)

安徽省教育廳發(fā)布了《安徽省普通高中學(xué)業(yè)水平考試實(shí)行辦法》，此辦法從2018年秋季入學(xué)的普通高中一年級(jí)學(xué)生開始實(shí)施.

實(shí)施辦法中規(guī)定：《普通高中課程方案（實(shí)驗(yàn)）》所設(shè)定的科目均列入普通高中學(xué)業(yè)水平考試范圍，包括語文、數(shù)學(xué)、外語、思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、信息技術(shù)和通用技術(shù)、體育與健康、藝術(shù)（或音樂、美術(shù)）.普通高中學(xué)業(yè)水平考試包括合格性考試和等級(jí)性考試兩類.合格性考試設(shè)置科目為語文、數(shù)學(xué)、外語、思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、信息技術(shù)和通用技術(shù)、體育與健康、藝術(shù)（或音樂、美術(shù)）.等級(jí)性考試設(shè)置科目為思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物.學(xué)生必須參加所有科目的合格性考試，考試成績(jī)合格后，方可根據(jù)報(bào)考高校要求和自身興趣特長，在6門科目中自主選擇3門參加等級(jí)性考試.

等級(jí)性考試成績(jī)以等級(jí)呈現(xiàn)，按獲得該次考試有效成績(jī)的考生（即缺考或未得分的考生除外）總數(shù)的相應(yīng)比例由高到低劃分A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí).各等級(jí)人數(shù)所占比例依次為：A等級(jí)15%，B等級(jí)30%，C等級(jí)30%，D、E等級(jí)25%.學(xué)生學(xué)業(yè)水平考試所有科目成績(jī)提供給招生高校使用，等級(jí)性考試3門科目成績(jī)以細(xì)化等級(jí)賦分方式計(jì)入高校招生錄取總成績(jī).

本文將從以下兩個(gè)問題展開：

（1）對(duì)實(shí)施辦法中將A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)的比例從定性和定量的角度對(duì)比例設(shè)置做出合理評(píng)價(jià).

（2）對(duì)于等級(jí)性考試3門科目成績(jī)以細(xì)化等級(jí)賦分方式計(jì)入高校招生錄取總成績(jī)，建立數(shù)學(xué)模型，研究如何進(jìn)行細(xì)化等級(jí)賦分.

做出流程圖如下圖所示：

首先針對(duì)問題及實(shí)際背景做假設(shè)如下：

（1）假設(shè)各科等級(jí)比例劃分合理.

（2）假設(shè)D、E合并為一個(gè)等級(jí)，記為H，占25%，即本題共研究四個(gè)等級(jí)（A、B、C、H），所占等級(jí)比例分別為15%、30%、30%、25%

（3）假設(shè)學(xué)生所選科目對(duì)等級(jí)劃分無影響，且各科考試成績(jī)分布相對(duì)均勻.

（4）假設(shè)各科所報(bào)人數(shù)大致合理，在可控范圍內(nèi).

首先從定性和定量角度評(píng)價(jià)等級(jí)性考試中單科等級(jí)A、B、C、D、E 比例設(shè)置的合理性.

定性角度分析：

結(jié)合全國各地普通高中及各個(gè)自然班學(xué)生成績(jī)的普遍分布規(guī)律，存在優(yōu)秀、良好、合格、不合格的梯度分布，進(jìn)一步分析以上四個(gè)等級(jí)學(xué)生所占比例與題中等級(jí)比例設(shè)置基本相仿.所以，從定性角度分析實(shí)施辦法中，對(duì)于A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)比例設(shè)置相對(duì)合理.

定量角度分析：

（1）根據(jù)對(duì)近幾年安徽及全國其他地區(qū)高考試卷難度分析，發(fā)現(xiàn)難題、中等題、簡(jiǎn)單題符合2:6:2的比例分布，與實(shí)施辦法中比例設(shè)置近乎吻合.

（2）根據(jù)教育部2012年5月22日公布的數(shù)據(jù)顯示，我國共有844所高等本科院校，其中985及211學(xué)校共112所，占所有本科院校比例約為13.3%，與等級(jí)A的設(shè)置比例（15%）相近，然后結(jié)合其他數(shù)據(jù)及成績(jī)分布近似正態(tài)分布原理得出其他等級(jí)的比例劃分也合理.

2 模型的建立與求解

2.1 符號(hào)說明

表1 符號(hào)說明表

2.2 問題2的分析

對(duì)等級(jí)性考試進(jìn)行細(xì)化等級(jí)賦分，建立層次分析（AHP）數(shù)學(xué)模型，將其共分為三層，其中第一層目標(biāo)層（O）為細(xì)化等級(jí)賦分，第二層準(zhǔn)則層（C）共分為四個(gè)因素，第三層方案層（P）共有20種方案，對(duì)其進(jìn)行權(quán)重計(jì)算比較，進(jìn)行綜合排序，即對(duì)應(yīng)由優(yōu)到差排序?qū)⑵鋭潪?0檔，然后對(duì)其合理賦分.其中第一檔為滿分，每隔3分一檔，最低檔為40分，以此進(jìn)行合理細(xì)化等級(jí)賦分.

根據(jù)實(shí)施辦法中，每個(gè)學(xué)生只選考三門課，即每名學(xué)生只會(huì)有三門考試科目的等級(jí)，學(xué)生三門科目所有的等級(jí)組成由A、B、C、H排列組合形成，經(jīng)過分析共有20種不同的等級(jí)組成.分別為 AAA、BBB、CCC、HHH、ABC、ABH、ACH、BCH、AAB、AAC、AAH、BBA、BBC、BBH、CCA、CCB、CCH、HHA、HHB、HHC.并按以上順序?qū)ζ渚幪?hào)分別為

并依次為從方案1到方案20，不同的等級(jí)組合所對(duì)應(yīng)的層次不同.針對(duì)以上20種不同的等級(jí)組合，我們采用層次分析方法建立數(shù)學(xué)模型，利用組合權(quán)重比較，從優(yōu)到劣進(jìn)行逐一排序，然后對(duì)其合理賦分.

2.3 層次分析法模型建立與求解[1]

2.3.1 建立層次結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)實(shí)施辦法中所給的A、B、C、H四個(gè)等級(jí)的比例設(shè)置確定目標(biāo)層O、準(zhǔn)則層C和方案層P，建立如下圖1所示的層次結(jié)構(gòu)圖.

圖1 層次結(jié)構(gòu)圖

第一層為目標(biāo)層O：細(xì)化等級(jí)賦分；

第二層為準(zhǔn)則層C：影響細(xì)化等級(jí)賦分的四個(gè)因素，依次為 A、B、C、H；

第三層為方案層P：學(xué)生成績(jī)等級(jí)的所有可能組合.

2.3.2 確定準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重向量

這是一個(gè)4階的正互反矩陣，用和法計(jì)算可得A的最大特征根為λmax=4.0001，相應(yīng)的歸一化特征向量為ω2=(0.1429,0.2857,0.2857,0.2857)T,一致性檢驗(yàn)，經(jīng)查RI值表可知當(dāng)n=4時(shí)，RI=0.96，所以，通過一致性檢驗(yàn)，所以ω(2)可以作為準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重向量.

2.3.3 確定方案層P對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重向量

根據(jù)實(shí)施辦法中的各等級(jí)的比例設(shè)置和模型的假設(shè)，可以構(gòu)造方案層P中20種所有可能的等級(jí)組合形式對(duì)準(zhǔn)則層C中各因素Ck的兩兩比較矩陣Bk(Bij(k))20×20,其中Bij(k)=顯然，所有的 Bk(k=1,2,3,4)均為一致陣，由一致陣的性質(zhì)可知，Bk的最大特征根CIk=0,CRk=0,Bk的任一列向量都是的特征向量，將其歸一化可得方案層P對(duì)Ck的權(quán)重向量ωk(3)(k=1,2,3,4).于是，方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重向量矩陣為一致性比率為CRk=0（k=1,2,3,4）,通過一致性檢驗(yàn).

2.3.4 確定方案層P對(duì)目標(biāo)層O的組合權(quán)重向量方案層對(duì)目標(biāo)層的組合權(quán)重向量為

顯然，組合一致性指標(biāo)CI(3)=(CI1(3),CI2(3),CI3(3),CI4(3))ω(2),=0，組合一致性比率為

所以，通過組合一致性檢驗(yàn)，組合權(quán)重向量ω(3)可以作為分級(jí)依據(jù).

將權(quán)重ω(3)的20個(gè)分量分別作為20種成績(jī)等級(jí)的綜合考量，從優(yōu)到劣依次為

具體對(duì)應(yīng)于20種成績(jī)組合進(jìn)行從優(yōu)到劣排名如下：AAA,AAB,AAC,AAH,BBA,ABC,BBB,ACC,BBC,ABH,AHH,BBH,ACH,BCH,BCC,CCC,HHB,CCH,HHC,HHH.

2.3.5 對(duì)20種成績(jī)等級(jí)進(jìn)行合理賦分

通過綜合考慮，可將以上所得20種成績(jī)等級(jí)進(jìn)行如下賦分，其中AAA為第一等級(jí)為100分，每相鄰等級(jí)為一檔，共20檔，每檔分差為3分，從AAA開始對(duì)以上所得的20種等級(jí)排名進(jìn)行依次賦分，直至HHH檔為40分，以此對(duì)其進(jìn)行合理賦分.

2.3.6 結(jié)合以上所得結(jié)果和實(shí)施辦法綜合考慮

根據(jù)本題假設(shè)中D、E為同一等級(jí)，均為H，所以學(xué)生所得D、E等級(jí)得分相同，所以AAD和AAE為同一等級(jí)，實(shí)際所得分?jǐn)?shù)相同（其他情況類似），于是，綜合所得結(jié)果和實(shí)施辦法考慮，又可將20種等級(jí)分布中含H等級(jí)的細(xì)分為D、E兩種不同等級(jí)，但實(shí)際所得分?jǐn)?shù)相同.綜上所述，可對(duì)問題2進(jìn)行合理賦分.

3 模型的誤差分析

1.假設(shè)中提到學(xué)生所選科目及各科所報(bào)人數(shù)均分布合理，且對(duì)等級(jí)劃分無影響.但綜合實(shí)際考慮，學(xué)生所選科目受其自身特長和興趣影響所以可能存在各科所報(bào)人數(shù)分布并不合理，因此對(duì)等級(jí)劃分可能存在一定的影響，使結(jié)果存在一定的誤差.

4 模型的評(píng)價(jià)與推廣

4.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）從層次分析方法的原理、步驟、應(yīng)用等方面的討論不難看出，層次分析模型是一種能有效處理這類指標(biāo)難以量化的社會(huì)問題的實(shí)用模型，它具有系統(tǒng)性、實(shí)用性、簡(jiǎn)潔易懂性等優(yōu)點(diǎn).

（2）本模型中采用的層次分析過程中所構(gòu)造的兩兩比較矩陣均是根據(jù)安徽省教育廳發(fā)布的《安徽省普通高中學(xué)業(yè)水平考試實(shí)行辦法》，有較高的可靠性，能夠系統(tǒng)、公正、有效地細(xì)化等級(jí)賦分.

4.2 模型的缺點(diǎn)

（1）AHP模型中所用的指標(biāo)體系需要有權(quán)威系統(tǒng)的支持，如果給出的指標(biāo)不合理則得到的結(jié)果也就不準(zhǔn)確.

（2）AHP方法中進(jìn)行多層比較的時(shí)候要給出一致性檢驗(yàn)，如果不滿足一致性指標(biāo)要求，則此方法失去作用.

4.3 模型的推廣

該模型具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，還可以應(yīng)用于其他的評(píng)價(jià)問題，比如選優(yōu)評(píng)價(jià)等問題中.