關(guān)于Pell方程ax2-by2=±1沒有正整數(shù)解的證明

李勇

關(guān)于Pell方程2-2=±1沒有正整數(shù)解的證明

李勇

廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范學(xué)院, 四川 廣安 63800

關(guān)于Pell方程的正整數(shù)解問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛的討論。本文以2-2=±1為例，通過兩種解法得出10個定理，并分別進(jìn)行證明，結(jié)論如下：兩種解法都假設(shè)(mod 20)為素?cái)?shù)，第一種解法當(dāng)1 (o±3,±7)、-1 (o±3,±7)、-1 (o-1,-3,-7,-9)、1 (o-1,-3,-7,-9) 時，Pell方程都沒有正整數(shù)解；第二種解法當(dāng)1 (,?+,o±1,±9)，且(p/)=-1 (=1,2,…2+1)時，當(dāng)1 (,?+,o±3,±7)，且(p/=-1 (=1,2,…)時；當(dāng)-1 (,?+,o1,9)，且(p/)=-1 (=1,2…2+1)時；當(dāng)-1 (,?+,o-3,-7)，且(p/)=-1 (=1,2,…,)時；當(dāng)-1 (,?+,o3,7)，且(p/)=-1 (=1,2,…,)時；當(dāng)=-1 (,?+,o-1,-9)，且(p/)=-1 (=1,2,…2)時，Pell方程都沒有整數(shù)解。

Pell方程; 正整數(shù)解; 取模

Pell方程（佩爾方程）屬于不定二次方程的一種類型，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如Pell方程結(jié)合歐幾里得算法，可以對某個正整數(shù)平方根的近似值進(jìn)行計(jì)算。早在古希臘時期，著名數(shù)學(xué)家阿基米德就提出了二元二次不定方程，可以看成Pell方程的前身。十六世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬進(jìn)一步探索了該類型方程在求解方面的問題，他對Pell方程正整數(shù)解的無窮性進(jìn)行了猜測，但還未很好地證明[1]。同時代的英國數(shù)學(xué)家沃利斯則解決了Pell方程正整數(shù)解無窮性證明這一問題[2]。廣泛意義上的Pell方程存在著兩種類型：（1）2-2=(,,?)；（2）2-2=±1,±2,±4 (,,,?,10。隨著數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展，Pell方程有了更完善的理論基礎(chǔ)，而且在實(shí)際應(yīng)用方面也被挖掘出更多的價值，影響到人們生產(chǎn)生活的方方面面。本文主要對2-2=±1這一例Pell方程沒有正整數(shù)解的問題進(jìn)行探索。

1 Pell方程ax2-by2=±1的相關(guān)定理

1.1 第一種解法的定理

設(shè)的模值為，=±5,o±1,±3 (mod 10)，為素?cái)?shù)，有以下4個定理：

定理1：方程2-(-5)2=1 (o±3,±7 (mod 20)為素?cái)?shù))，沒有整數(shù)解。

定理2：方程2-(+5)2=-1 (o±3,±7 (mod 20)為素?cái)?shù))，沒有整數(shù)解。

定理3：方程2-(-5)2=-1 (o-1,-3,-7,-9 (mod 20)為素?cái)?shù))，沒有整數(shù)解。

定理4：方程2-(+5)2=1 (o-1,-3,-7,-9 (mod 20)為素?cái)?shù))，沒有整數(shù)解。

1.2 第二種解法的定理

設(shè)=,?+, 5|,o±1,±3 (mod 10)為素?cái)?shù)，為合數(shù)，有以下6個定理：

定理5：方程5px2-2=1 (,?+,o±1,±9 (mod 20)為素?cái)?shù))，p是素?cái)?shù)，且(p/)=-1 (=1,2,…2+1)沒有整數(shù)解。

定理6：方程52t+1px2-2=1 (,?+,o±3,±7 (mod 20)為素?cái)?shù))，p是素?cái)?shù)，且(p/)=1 (=1,2,…)沒有整數(shù)解。

定理7：方程5px2-2=-1 (,?+,o1,9 (mod 20)為素?cái)?shù))，p是素?cái)?shù)，且(p/)=-1 (=1,2,…2+1)沒有整數(shù)解。

定理8：方程52t+1px2-2=-1 (,?+,o-3,-7 (mod 20)為素?cái)?shù))，p是素?cái)?shù)，且(p/)=1 (=1,2,…)沒有整數(shù)解。

定理9：方程52tpx2-2=-1 (,?+,o3,7 (mod 20)為素?cái)?shù))，p是素?cái)?shù)，且(p/)=1 (=1,2,…)沒有整數(shù)解。

定理10：方程5px2-2=-1 (,?+,o-1,-9 (mod 20)為素?cái)?shù))，p是素?cái)?shù)，且(p/)=-1 (=1,2,…2)沒有整數(shù)解。

2 Pell方程ax2-by2=±1相關(guān)定理的證明

2.1 第一種解法定理的證明

因此在o±3,±7 (mod 20)的時候，5/=-1，這與之前的設(shè)定產(chǎn)生矛盾，因此定理1沒有正整數(shù)解。

定理2的證明：對于定理2中的方程，在方程的兩邊取模，-52o-1 (mod)，5/=1，但是前面證明在o±3,±7 (mod 20)的時候，5/=-1，同樣產(chǎn)生了矛盾，因此定理2沒有正整數(shù)解。

因此在o-1,-3,-7,-9 (mod 20)的時候，-5/=-1，這與之前的設(shè)定產(chǎn)生矛盾，因此定理3沒有正整數(shù)解。

定理4的證明：對于定理4中的方程，在方程的兩邊取模，-52o1 (mod)，-5/=1，但是前面證明在o-1,-3,-7,-9 (mod 20)的時候，-5/=-1，同樣產(chǎn)生了矛盾，因此定理4沒有正整數(shù)解。

2.2 第二種解法定理的證明

又因?yàn)?p/)=-1 (=1,2,…2+1)，所以取模后的方程解為-1，這與之前取模后的方程解產(chǎn)生矛盾，因此定理5沒有正整數(shù)解。

又因?yàn)?p/)=1 (=1,2,…)，所以取模后的方程解為-1，這與之前取模后的方程解產(chǎn)生矛盾，因此定理6沒有正整數(shù)解。

又因?yàn)?p/)=-1 (=1,2,…2+1)，所以取模后的方程解為-1，這與之前取模后的方程解產(chǎn)生矛盾，因此定理7沒有正整數(shù)解。

又因?yàn)?p/)=1 (=1,2,…,)，所以取模后的方程解為-1，這與之前取模后的方程解產(chǎn)生矛盾，因此定理8沒有正整數(shù)解。

又因?yàn)?p/)=1 (=1,2,…)，所以取模后的方程解為-1，這與之前取模后的方程解產(chǎn)生矛盾，因此定理9沒有正整數(shù)解。

又因?yàn)?p/)=-1 (=1,2,…2)，所以取模后的方程解為-1，這與之前取模后的方程解產(chǎn)生矛盾，因此定理10沒有正整數(shù)解。

3 討論

關(guān)于Pell方程正整數(shù)解的相關(guān)研究，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的探索。美國數(shù)學(xué)家Pletser在探索2-2=±1是否存在可解性的過程中，給出了該類型方程沒有正整數(shù)解的六個結(jié)論，他認(rèn)為這樣的結(jié)論對于狹義Pell方程的研究起到了重要作用[3]。英國學(xué)者Beck通過Legendre符號以及同余性質(zhì)的運(yùn)用，對Pell方程2-2=±1這一類型有無正整數(shù)解進(jìn)行了探索，得出該類型方程沒有正整數(shù)解的四個結(jié)論[4]。國內(nèi)學(xué)者過靜等人探討了兩類Pell方程組的解，得出結(jié)論：2-32=1，2-2=1這兩個方程組不存在正整數(shù)解，只有平凡解[5]。本文針對Pell方程2-2=±1是否存在正整數(shù)解，給出了兩種算法的10個定理，這些定理都不存在正整數(shù)解，并分別對這些定理進(jìn)行證明。相對于國內(nèi)外相關(guān)研究來說，本文的探索進(jìn)一步拓展了該類型方程沒有正整數(shù)解的結(jié)論，有一定的創(chuàng)新意義和應(yīng)用價值。

4 結(jié)論

Pell方程沒有正整數(shù)解這一命題自十六世紀(jì)以來，就一直處于廣泛的討論之中。本文以2-2=±1這一狹義Pell方程為例，對第一種解法假設(shè) (mod 20) 為素?cái)?shù)，用模代替，得出4個結(jié)論：當(dāng)1 (o±3,±7)、-1 (o±3,±7)、-1 (o-1,-3,-7,-9)、1 (o-1,-3,-7,-9)時，Pell方程都沒有正整數(shù)解；對第二種解法假設(shè)(mod 20)為素?cái)?shù)，p是素?cái)?shù)，在方程兩邊取模，得出6個結(jié)論：當(dāng)1 (,?+，o±1,±9)，且(p/)=-1 (=1,2,…2+1)時，Pell方程沒有整數(shù)解；當(dāng)1 (,?+，o±3,±7)，且(p/)=-1 (=1,2,…)時，Pell方程沒有整數(shù)解；當(dāng)-1 (,?+，o1,9)，且(p/)=-1 (=1,2,…2+1)時，Pell方程沒有整數(shù)解；當(dāng)-1 (,?+,o-3,-7)，且(p/)=-1 (=1,2,…)時，Pell方程沒有整數(shù)解；當(dāng)-1 (,?+,o3,7)，且(p/)=-1 (=1,2,…)時，Pell方程沒有整數(shù)解；當(dāng)-1 (,?+,o-1,-9)，且(p/)=-1 (=1,2,…2)時，Pell方程沒有整數(shù)解。

[1] Colman WJA. Some Remarks on the Pell Equation[J]. Mathematical spectrum, 2015(3):125-127

[2] Elsner C. On Exponential-type Sums Formed by Solutions of Pell's Equation [J]. Journal of combinatorics and number theory, 2014(3):163-181

[3] Pletser V. On continued fraction development of quadratic irrationals having all periodic terms but last equal and associated general solutions of the Pell equation[J]. Journal of Number Theory, 2014(12):339-353

[4] Jzsef B. Pell equation and randomness[J]. Periodica Mathematica Hungarica: Journal of the Janos Bolyai Mathematical Society, 2015(1):1-108

[5] 過靜,趙建紅,杜先存.關(guān)于Pell方程組~2-3~2=1與~2-~2=1的解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2017(20):265-269

Proof of the Existence of No Positive Integer Solution for Pell Equation2-2=±1

LI Yong

63800,

The problem of positive integer solution of Pell equation has been extensively discussed by scholars at home and abroad. This paper takes2-2=±1 as an example, draws 10 theorems through two solutions, and proves them separately. The conclusion is as follows: both solutions assume that (mode 20) is a prime number. The first solution is when 1 (o±3,±7)、-1 (o±3,±7)、-1 (o-1,-3,-7,-9)、1 (o-1,-3,-7,-9), There is no positive integer solution to the Pell equation. The second solution is 1 (,?+,o±1,±9), and (p/)=-1 (=1,2,…2+1), when 1 (,?+,o±3,±7), and (p/=-1 (=1,2,…); when 1 (,?+,o±3,±7), and(p/=-1 (=1,2,…); when -1 (,?+,o-3,-7), and (p/)=-1 (=1,2,…,); when -1 (,?+,o3,7), and (p/)=-1 (=1,2,…,); when 當(dāng)=-1 (,?+,o-1,-9), and (p/)=-1 (=1,2,…2), there is no integer solution to the Pell equation.

Pell equation; positive integer solution; take form

O122.2

A

1000-2324(2018)06-0998-04

10.3969/j.issn.1000-2324.2018.06.019

2017-12-06

2018-02-25

李勇(1982-),男,本科,講師,主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué). E-mail:yfc2222@163.com