EPR信道保真度的研究

張安琪，李 暉

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽(yáng)110870）

1 引言

量子隱形傳態(tài)方案[1]是基于糾纏對(duì)實(shí)現(xiàn)的通信過(guò)程。近幾十年，從最簡(jiǎn)單的EPR糾纏對(duì)[2]開(kāi)始,研究人員已經(jīng)提出諸多可行的量子隱形傳態(tài)方案[3-4]。但是受工業(yè)制造和環(huán)境噪聲等方面的影響，量子隱形傳態(tài)不能保證實(shí)現(xiàn)信息100%的“復(fù)制”，所以為了衡量量子隱形傳態(tài)方案是否成功，研究人員提出了一個(gè)量子通信中的重要物理量——保真度[5-6]。由于量子隱形傳態(tài)的理想的量子信道是不存在的，學(xué)者們致力于用不同方式來(lái)提高信道保真度以達(dá)到正確傳送量子信息的目的[7-9]。文獻(xiàn)[10]分析了以非最大糾纏的EPR態(tài)和GHZ態(tài)為信道的保真度，其中用信道系數(shù)代表糾纏度，驗(yàn)證了保真度不但與信道糾纏度相關(guān)，還與待傳送粒子的糾纏度有關(guān)。文獻(xiàn)[11]提出一種測(cè)量保真度的方法，為理論計(jì)算建立保真度數(shù)學(xué)模型奠定了基礎(chǔ)?？涤老?，夏云杰等人在特定系統(tǒng)中通過(guò)提高信道的糾纏度，以及在傳輸過(guò)程中進(jìn)行糾纏態(tài)提純來(lái)提高保真度[12-14]。文獻(xiàn)[15]描述一個(gè)優(yōu)化且為純量子的貝葉斯推理修正保真度的狀態(tài)過(guò)程，可以求得保真度的極大值和極小值，但是沒(méi)有解釋保真度在兩極值之間的變化規(guī)律。文獻(xiàn)[16、17]研究了不同類型噪聲環(huán)境下的信道保真度，提出不同的噪聲對(duì)保真度的影響不同，給出了粒子糾纏態(tài)通過(guò)噪聲量子信道的最佳保真度，并證明了量子通信比經(jīng)典通信更具優(yōu)勢(shì)。可見(jiàn)，在量子通信中，針對(duì)不同類型的噪聲，可以設(shè)計(jì)不同信道系數(shù)幅度比的信道以提高保真度。

基于以上內(nèi)容，當(dāng)以EPR為信道傳送粒子時(shí)，由于通信信道受到不良影響，信道糾纏度不能達(dá)到理論上的最大值，保真度將隨著傳送的粒子數(shù)的增加而減小。但是，使用量子隱形傳態(tài)方案?jìng)魉托畔r(shí)，不可能每次只傳送一個(gè)粒子，因?yàn)檫@樣會(huì)造成時(shí)間成本極大的浪費(fèi)。所以本研究以非最大糾纏度的EPR為信道傳送（n=1、2、3）粒子，在信道的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)方面，討論隨著傳送粒子數(shù)的增多，保真度與信道系數(shù)幅度比之間的變化情況。根據(jù)研究結(jié)果，可以得出量子隱形傳態(tài)為滿足保真度大于0.6700的臨界值，需要對(duì)EPR信道系數(shù)幅度比的取值條件，便于應(yīng)用在實(shí)際的信道設(shè)計(jì)中。

2 量子隱形傳態(tài)信道保真度模型

設(shè)n粒子未知量子態(tài)從發(fā)送者Alice傳送給接收者Bob。n粒子未知量子態(tài)為：

傳送n粒子未知量子態(tài)的EPR信道表示為：

式中，Xi、Yi為信道系數(shù)，其幅度滿足對(duì)信道系數(shù)幅度滿足表示第i對(duì)EPR信道；下角標(biāo)Ci1、Ci2分別表示組成第i個(gè)信道的糾纏粒子對(duì)中的第1個(gè)粒子和第2個(gè)粒子。

將每個(gè)EPR信道的第一個(gè)粒子Ci1發(fā)送給Alice，第二個(gè)粒子Ci2發(fā)送給Bob。Alice手中共有2n個(gè)粒子（n個(gè)被傳送粒子和n個(gè)信道粒子Ci1），Bob手中有n個(gè)信道粒子Ci2。

Alice擁有的總的量子系統(tǒng)表示為：

然后，Alice需要對(duì)手中的粒子進(jìn)行Bell測(cè)量。

經(jīng)過(guò)Bell測(cè)量后總的量子態(tài)由式(4)變?yōu)椋?/p>

其中，Pj表示Bell測(cè)量的測(cè)量結(jié)果是的共軛轉(zhuǎn)置，Tr是求跡過(guò)程。

Bell測(cè)量后，Bob手中的粒子發(fā)生坍縮，Alice通過(guò)經(jīng)典信道告知Bob自己Bell測(cè)量的結(jié)果，則此時(shí)Bob手中粒子的量子態(tài)密度矩陣可以表示為：

然后，Bob根據(jù)Bell測(cè)量結(jié)果設(shè)計(jì)合適的幺正算子U作用在總的量子態(tài)上，得出的最終量子態(tài)密度矩陣就是Alice需要傳送的量子態(tài)的密度矩陣，表示為：

式中，U+是U的共軛轉(zhuǎn)置。

將式(7)帶入保真度的數(shù)學(xué)模型為：

在式(9)中可以看到，分母的每一項(xiàng)都對(duì)信道系數(shù)進(jìn)行平方處理，相當(dāng)于取信道系數(shù)的幅度，令 k=，定義為以EPR為信道時(shí)的信道系數(shù)幅度比，當(dāng)EPR信道為最大糾纏時(shí)有，若EPR糾纏度為非最大糾纏時(shí)，則k＞1。進(jìn)一步化簡(jiǎn)，式(9)可以寫(xiě)成：

式(10)將信道系數(shù)幅度比ki與保真度F聯(lián)系了起來(lái)，可以研究保真度隨信道系數(shù)幅度比之間的變化情況及不同信道系數(shù)幅度比之間相互影響的情況。由式(10)可得，當(dāng)信道為最大糾纏度即k1=k2=...=ki=...=kn=1時(shí)，保真度達(dá)到最大值，即F=1。

3 以EPR為信道傳輸3粒子的實(shí)現(xiàn)

假設(shè)發(fā)送者Alice有一個(gè)三粒子量子態(tài)，由粒子1、粒子2和粒子3構(gòu)成，可表示為下式：

傳送三粒子的EPR信道分別由粒子C11和粒子C12，粒子 C21和粒子 C22，以及粒子 C31和粒子 C32組成，且信道系數(shù)幅度滿足

所以，發(fā)送者Alice手中有粒子1、粒子2、粒子3、粒子C11、粒子C21和粒子C31。發(fā)送者Alice總的量子系統(tǒng)表示為：

Bob手中有粒子C12、粒子C22和粒子C32。然后，Alice對(duì)手中的粒子1和粒子C11，粒子2和粒子C21，粒子3和粒子C31分別進(jìn)行Bell測(cè)量。

Bell測(cè)量結(jié)束后，Bob手中的粒子坍縮為：

式(13)經(jīng)過(guò)幺正變換后量子態(tài)的密度矩陣為：

中國(guó)特色社會(huì)主義制度自信與國(guó)家自信的關(guān)系最為緊密。新中國(guó)成立時(shí)，確立的是新民主主義制度，當(dāng)時(shí)的中國(guó)仍是一個(gè)新民主主義國(guó)家。1956年，社會(huì)主義改造的完成和社會(huì)主義制度的基本建成，標(biāo)志著中國(guó)從新民主主義社會(huì)過(guò)渡到了社會(huì)主義社會(huì)。在“四個(gè)自信”中，文化自信、道路自信和理論自信的歷史起點(diǎn)都先于新中國(guó)的成立，只有制度自信的歷史起點(diǎn)與新中國(guó)的成立是同步的。在現(xiàn)代意義上，建立一個(gè)國(guó)家，必然要相應(yīng)地建立一套制度體系，離開(kāi)一定的制度體系，國(guó)家是無(wú)法存在。所以在“四個(gè)自信”中，制度自信與國(guó)家自信的關(guān)系最為緊密。

可以驗(yàn)證，該信道在單位時(shí)間內(nèi)傳送了三個(gè)粒子，當(dāng)k1=k2=k3=1時(shí)，保真度最大，即F=1。這表明這種演化推導(dǎo)保真度的方式是正確的。

4 實(shí)驗(yàn)仿真與數(shù)據(jù)分析

在上述理論分析的基礎(chǔ)上，對(duì)保真度變化與糾纏信道系數(shù)取值之間的關(guān)系進(jìn)行定量分析。分別定量分析了一對(duì)EPR信道傳送單粒子的保真度、兩對(duì)EPR信道傳送2粒子的保真度以及三對(duì)EPR信道傳送3粒子的保真度變化，及其糾纏信道系數(shù)幅度比的取值。以經(jīng)典信道所能達(dá)到的最大保真度0.6700為臨界值，當(dāng)保真度大于0.6700時(shí)，認(rèn)為量子隱形傳輸成功。當(dāng)保真度減小到臨界值以下，則界定量子隱形傳輸失敗。

數(shù)據(jù)分析共分為三個(gè)部分：首先給出了保真度隨信道系數(shù)幅度比的變化情況；然后給出保真度為臨界值時(shí)，多對(duì)EPR信道系數(shù)幅度比之間的變化關(guān)系；最后研究信道系數(shù)幅度比之和隨著信道系數(shù)幅度比的變化規(guī)律。

圖1和圖2分別為一對(duì)和兩對(duì)EPR傳輸粒子時(shí)保真度隨信道系數(shù)幅度比變化的曲線圖。圖中水平實(shí)直線為臨界值0.6700。

圖1 一對(duì)EPR信道k1-F變化曲線

圖2 兩對(duì)EPR信道k2-F變化曲線

如圖1所示，在k1-F曲線中，信道的保真度從1.0000開(kāi)始隨著信道系數(shù)幅度比k1的增大而快速減小，至k1=2.6000，保真度為0.2577處，保真度隨著k1的增大而緩慢減小，并逐漸趨近于0。保真度F=0.6700所對(duì)應(yīng)的k1值為1.4089。當(dāng)F＞0.6700，即信息正確傳送時(shí)，信道系數(shù)幅度比的取值范圍k1∈(1，1.4089)。

圖2表示當(dāng)其中一對(duì)EPR信道k1增加時(shí)，k2-F曲線會(huì)隨著k1的增加而下降,表明正確傳送量子信息的k2范圍縮小，使信道設(shè)計(jì)更加困難。k1=1的曲線和k1-F重合，說(shuō)明兩對(duì)EPR信道當(dāng)中有一對(duì)信道系數(shù)幅度比為1時(shí)，保真度只與另一對(duì)信道系數(shù)幅度比相關(guān)，相當(dāng)于一對(duì)EPR信道的保真度。這也表明最大糾纏態(tài)的EPR信道是最理想的信道，當(dāng)多對(duì)EPR為信道傳送粒子時(shí)，最大糾纏態(tài)的EPR信道對(duì)于總信道的保真度無(wú)影響。三條k2-F曲線起始坐標(biāo)分別為(1.0000,1.0000)、(1.0000,0.8197)、(1.0000,0.6757)，它們的縱坐標(biāo)差值是遞減的，即曲線向下移動(dòng)的程度變小，這說(shuō)明信道系數(shù)幅度比增大對(duì)保真度的影響程度減小。當(dāng)k1=1.4089時(shí)，其k2-F曲線的起始點(diǎn)坐標(biāo)為（1.0000,0.6700），所以在 k1＞1.4089時(shí)，無(wú)論k2取何值，其k2-F曲線上每個(gè)點(diǎn)均在F=0.6700臨界值以下，無(wú)論信道如何設(shè)計(jì)，量子信息均無(wú)法正確傳送。

圖3、圖4、圖5、圖6及圖7探究多對(duì)EPR信道傳輸粒子時(shí)，各個(gè)信道的信道系數(shù)幅度比之間的相互關(guān)系。為了便于對(duì)信道系數(shù)幅度比規(guī)律的探究，以下探究均是在保真度為臨界值的條件下完成的，即F=0.6700。

圖3中點(diǎn)橫線上的點(diǎn)均可使F=0.6700，表示兩對(duì)EPR信道的信道系數(shù)幅度比k1和k2之間的相互關(guān)系是非線性的。該曲線與X、Y軸分別交于點(diǎn)(1.0000,1.4089)和點(diǎn)(1.4089,1.0000)；在曲線上任意取得一點(diǎn)(1.1000,1.3044)，該點(diǎn)的坐標(biāo)X、Y軸相互交換后的坐標(biāo)(1.3044,1.1000)和點(diǎn)(1.2014,1.2014)都在該曲線上，這證明該曲線凹向原點(diǎn) (1.0000,1.0000)且關(guān)于直線X=Y對(duì)稱。在由曲線與X、Y軸相交所圍成的區(qū)域內(nèi)取得的點(diǎn)（k1,k2）可使F＞0.6700，保證量子信息的正確傳送。

圖3 兩對(duì)EPR信道k1、k2關(guān)系曲線

圖4中的點(diǎn)可以滿足F=0.6700，即表示三對(duì)EPR信道系數(shù)幅度比k1、k2和k2之間的關(guān)系。圖中由點(diǎn)表示的面構(gòu)成一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（1.4089,1.0000,1.0000）、（1.0000,1.4089,1.0000）、（1.0000,1.0000,1.4089）的曲面。在曲面與三個(gè)坐標(biāo)軸相交形成的平面所圍成的密閉體區(qū)間內(nèi)F＞0.6700，可以確保量子信息的正確傳送。

圖4 三對(duì)EPR信道k1、k2和k3關(guān)系曲線

圖5、圖6和圖7研究信道系數(shù)幅度比之和S隨信道系數(shù)幅度比ki變化的曲線。

在圖5中，由于k1-S曲線和k2-S曲線重合，這表明在以EPR為信道的量子隱形傳送過(guò)程中，每對(duì)EPR的信道系數(shù)幅度比k1和k2對(duì)于整體信道的影響是相同的。在該圖像中，每條ki-S曲線的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（1.2014,2.4028），最高點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2.4089）和（1.4089,2.4089）。

圖5 兩對(duì)EPR信道S隨ki變化曲線

由于k1-S曲線和k2-S曲線是重合的，取k1-S曲線研究單獨(dú)一對(duì)EPR信道系數(shù)幅度比的性質(zhì)。取k1-S曲線在定義域（1.2014,1.4089）內(nèi)的曲線圖像以k1=1.2014為對(duì)稱軸反轉(zhuǎn)，形成“—□—”圖線，如圖6所示，在定義域（1.0000,1.2014）內(nèi)，“—□—”線和“—*—”線完全重合，說(shuō)明k1-S曲線是關(guān)于k1=1.2014對(duì)稱軸對(duì)稱的曲線。

圖6 兩對(duì)EPR信道S隨k1變化曲線

為了說(shuō)明ki-S曲線的意義，在k1-S曲線上任取一點(diǎn)（1.1000,2.4044）為例進(jìn)行解釋。點(diǎn)（1.1000,2.4044）代表的意義是：在用兩對(duì)EPR傳送信息的量子信道中，當(dāng)k1=1.1000，k1=S-k1=2.4044-1.1000=1.3044時(shí)，能保證信道保真度F=0.6700，k1-S曲線的其余點(diǎn)同理。所以在k1-S曲線上，點(diǎn)（1.1000,2.4044）到點(diǎn)（1.1000,2.0000）直線范圍之間的點(diǎn)表示的是：當(dāng)k1=1.1000時(shí)，k2在1.0000～1.3044區(qū)間內(nèi)的任意取值都能保證信道保真度F≥0.6700，即量子信息能夠正確傳送。所以曲線上每個(gè)點(diǎn)到直線S=2.0000的距離可以間接表示在該點(diǎn)條件下量子信息正確傳送的信道系數(shù)幅度比取值的范圍。綜合來(lái)看，在ki-S曲線上，最高點(diǎn)坐標(biāo)的信道系數(shù)幅度比之間的差值為0.4089，最低點(diǎn)坐標(biāo)的信道系數(shù)幅度比之間的差值為0.2014，所以信道系數(shù)幅度比的差值越小，使量子信息能夠正確傳送的信道系數(shù)幅度比的取值范圍也就越小。以上分析表明以二對(duì)EPR為信道時(shí)，信道系數(shù)幅度比ki在從1.0000變化到1.4089的過(guò)程中，能正確傳送量子信息的信道系數(shù)幅度比的取值范圍先減小后增大，當(dāng)ki=1.2014時(shí)，能正確傳送量子信息的信道系數(shù)幅度比的取值范圍最小。

如圖7所示，曲面上的每一點(diǎn)都能滿足信道保真度F=0.6700。曲面上最低點(diǎn)和三個(gè)最高點(diǎn)分別代表當(dāng)滿足信道保真度F=0.6700時(shí)的k1、k2及S的值。

還可進(jìn)一步求得相應(yīng)的k3值，如表1所示。

在圖7曲面上每一點(diǎn)到平面S=3.0000的直線區(qū)間內(nèi)取得的點(diǎn)（k1,k2,S）均可使F≥0.67，保證量子信息的正確傳送。在曲面的最低點(diǎn)，任意兩個(gè)信道系數(shù)幅度比之差取絕對(duì)值，三個(gè)絕對(duì)值求總和為0；同理，在最高點(diǎn)，三個(gè)總和值都為0.8178。類似于上述分析的以兩對(duì)EPR為信道的ki-S曲線，隨著任意兩個(gè)信道系數(shù)幅度比之差取絕對(duì)值求和值的減小，能正確傳送量子信息的信道系數(shù)幅度比的取值范圍減小，曲面最低點(diǎn)，有k1=k2=k3=1.1338時(shí)，能正確傳送量子信息的信道系數(shù)幅度比的取值范圍最小。

圖7 三對(duì)EPR信道S隨k1、k2變化曲面

表1 圖7的最高/最低點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)k3值

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)以EPR為信道傳送粒子信道模型的保真度與信道系數(shù)幅度比之間的關(guān)系規(guī)律進(jìn)行了探討。驗(yàn)證了當(dāng)分別以一對(duì)，二對(duì)和三對(duì)EPR為信道傳送粒子時(shí)，k-F曲線會(huì)怎樣隨k的變化而變化的規(guī)律。當(dāng)兩對(duì)以上的EPR為信道時(shí)，理論上，每對(duì)EPR對(duì)于總信道的影響是相同。以此，可推廣得知以n對(duì)EPR為信道傳送多粒子時(shí)，每對(duì)EPR在總信道中均處于對(duì)稱的地位，對(duì)總信道的影響相同，但為了保證量子信息的正確傳送，總信道的信道系數(shù)幅度比之和S在信道設(shè)計(jì)方面要滿足一定的取值條件才能保證傳輸成功。對(duì)信道系數(shù)幅度比之和的范圍的研究結(jié)論，對(duì)于在工程中展開(kāi)信道設(shè)計(jì)具有直接的應(yīng)用價(jià)值。