直線與方程快樂(lè)導(dǎo)學(xué)王佩其

■王佩其

同學(xué)們，你一定見(jiàn)過(guò)斜拉橋，斜拉橋的拉索可以看成方向不同的一些直線。實(shí)際生活中，如何來(lái)刻畫(huà)直線的傾斜程度呢?要弄清這個(gè)問(wèn)題，我們必須先學(xué)習(xí)直線與方程。

一、知識(shí)要點(diǎn)梳理

1.直線的傾斜角

(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫作直線l的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°。

(2)直線l傾斜角的范圍是[0°，180°)。

2.斜率公式

(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k=tanα。

(2)若點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1≠x2，則直線l的斜率

3.直線方程的五種形式

(1)點(diǎn)斜式的適用范圍是不含直線x=x0。

(2)斜截式的適用范圍是不含垂直于x軸的直線。

(3)兩點(diǎn)式的適用范圍是不含直線x=x1(x1≠x2)和直線y=y1(y1≠y2)。

(4)截距式的適用范圍是不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線。

(5)一般式的適用范圍是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有直線。

4.兩條直線的位置關(guān)系

(1)兩條直線的位置關(guān)系有平行，垂直和相交。兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則l1∥l2?k1=k2。當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2。

(2)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2=-1。當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2。

(3)直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是兩條直線方程組成的方程組的解。

二、典型例題剖析

例1已知坐標(biāo)平面內(nèi)的三點(diǎn)A(-1，1)，B(1，1)，C(2，3+1)。

(1)求直線AB，BC，AC的斜率和傾斜角。

(2)若D為△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的斜率k的取值范圍。

解：(1)由斜率公式得0，即得直線AB的傾斜角為0°。

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，作出直線AB，BC，AC，如圖1所示。

圖1

由圖像可知，當(dāng)斜率k變化時(shí)，直線CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線CD由CA沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到CB位置時(shí)，直線CD與AB恒有交點(diǎn)，即點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，此時(shí)斜率k由kCA增大到kCB，所以斜率k的取值范圍為。

由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)，可利用定義式k=tanα(α≠90°)來(lái)解決。由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率，可利用斜率公式求解。涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合法求解。

例2已知兩條直線l1∶ax-by+4=0和l2∶(a-1)x+y+b=0，求滿足下列條件的a，b的值。

(1)l1⊥l2，且l1過(guò)點(diǎn)(-3，-1)。

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等。

解：(1)由題意可知l2的斜率存在，且k2=1-a。

若k2=0，則1-a=0，即a=1。

因?yàn)閘1⊥l2，所以直線l1的斜率k1必不存在，即b=0。又因?yàn)閘1過(guò)點(diǎn)(-3，-1)，所以-3a+4=0，即(與a=1矛盾)，可知此種情況不存在，故k2≠0，即k1，k2都存在且不為0。

因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2=-1，即a)=-1。 ①

又因?yàn)閘1過(guò)點(diǎn)(-3，-1)，所以-3a+b+4=0。 ②

由①②解得a=2，b=2。

(2)因?yàn)橹本€l2的斜率存在，l1∥l2，所以直線l1的斜率存在，可知k1=k2，可得=1-a。 ③

又因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即

當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮斜率存在的一般情況，也要考慮斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件。在判斷兩條直線平行或垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論。

例3若直線l過(guò)點(diǎn)P(-1，2)且到點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(-4，5)的距離相等，則直線l的方程為

解：(方法1)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1)，即kxy+k+2=0。由題意知，即|3k-1|=|-3k-3|，所以所以直線l的方程為y-2=，即x+3y-5=0。

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，也符合題意。

故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。

(方法2)當(dāng)線段AB∥l時(shí)，可得kl=，這時(shí)直線l的方程為y-2=，即x+3y-5=0。

當(dāng)l過(guò)線段AB的中點(diǎn)時(shí)，由線段AB的中點(diǎn)為(-1，4)，可得直線l的方程為x=-1。

故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。

利用距離公式應(yīng)注意的是∶①點(diǎn) P(x0，y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|，到直線y=b的距離d=|y0-b|;②應(yīng)用兩平行線間的距離公式時(shí)，要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相同的系數(shù)。