改進的間隙約束模型對管動力學特性的影響

蔣天澤， 李朋洲， 孫 磊， 馬建中， 譚添才

(中國核動力研究設計院， 四川 成都 610041)

0 引 言

通常，蒸汽發(fā)生器中多跨管路大多由孔板或防振條支撐，處于兩相流作用下.因安裝誤差或松動，孔板或防振條與管之間存在一定的間隙，稱為間隙約束.當外部橫流流速較大時傳熱管會發(fā)生流彈失穩(wěn)，產生大幅振動，并與間隙約束發(fā)生碰撞磨蝕，使得傳熱管管壁變薄而發(fā)生泄漏，影響裝置的營運安全.研究發(fā)現，在該過程中，傳熱管將產生許多復雜的非線性動力學行為，而用線性理論將無法準確描述傳熱管失穩(wěn)后的動力學響應[1-2].針對此問題，科研人員進行了深入分析并取得了大量研究結果[3-10].但在上述研究中的非線性支撐模型大多使用了簡化的三次彈簧模型，該支撐模型實際上是與管一直接觸的，只能稱為松弛的支撐，無法考慮管與支撐存在間隙時對管振動特性的影響.對此，一些學者通過對間隙非線性項進行改進來分析該問題[11-12].在此基礎上，本研究擬對間隙支撐模型進行改進，并采用兩相流作用下旋轉三角形管束的流體力測量數據建立懸臂管模型.通過求解方程，對比了改進后的間隙約束模型與簡化的三次彈簧模型，以及支撐阻尼對管的動態(tài)力學特性的影響.

1 分析模型

1.1 間隙約束模型

本研究討論的有間隙支撐的懸臂管模型如圖1所示.

圖1有間隙支撐的懸臂管模型

針對圖1模型，文獻[2]首先將支撐約束與圓柱管的碰撞力簡化為與管接觸的三次彈簧，其表達式為，

(1)

式中，wb為約束處圓柱管的振幅，κ為三次彈簧的無量綱剛度.

式(1)中的碰撞力隨著管子振動是光滑連續(xù)的，并未考慮管與支撐間存在間隙時對碰撞力及管振動特性的影響.對此，本研究假設管與約束之間存在一定的間隙，且考慮支撐的阻尼力.當管的振幅小于間隙距時，約束不與其發(fā)生碰撞，而當振幅大于間隙距時，碰撞力與位移為三次關系.若懸臂管距上支撐距離WU，距下支撐距離WL，則改進的間隙約束模型可表達為，

(2)

式中，ec為偏心距，ec=(wU-wL)/2；Cimp無量綱為支撐阻尼系數，其表達式為，

(3)

式中，β為阻尼參數，由碰撞體的恢復系數得到，本研究中取鋼的阻尼系數為0.25 s/m.

可以認為，本模型是較為全面考慮間隙剛度、間隙大小、非連續(xù)碰撞以及支撐阻尼的碰撞模型.

1.2 懸臂管模型

在圖1中，取在兩相橫流作用下位于旋轉三角形管束中間的自由管，則管模型可簡化為一端與管板固定支撐而另一端自由的歐拉—伯努利懸臂梁模型，且僅考慮與橫向流垂直的升力方向振動.由于懸臂梁模型一端自由，因此假設在振動過程中梁中線不可伸長，不考慮軸向力對振動的影響.文獻[13]在歐拉—伯努利懸壁梁模型的基礎上推導出橫向流作用下的管運動微分方程為，

(4)

根據文獻[14]提出的準穩(wěn)態(tài)流體力模型，傳熱管升力方向所受橫流作用流體力可表達為，

(5)

引入以下無量綱量，對運動方程進行無量綱化，有，

(6)

式中，變量或常數上帶有波浪號代表相應量的無量綱數，L為管長度，ζ為空間坐標的無量綱量，τ為無量綱時間，ζ為無量綱阻尼，λ1為管振動的一階頻率.將以上無量綱量帶入管運動微分方程，得到無量綱運動方程，

(7)

采用Galerkin法將無限維偏微分方程離散為低階的便于求解的常微分方程組，運用歐拉—伯努利懸臂梁的模態(tài)函數φi和離散系統(tǒng)的廣義坐標qi，假設解的形式為，

(8)

帶入無量綱運動方程可得，

(9)

2 動態(tài)特性分析

2.1 間隙約束模型與三次彈簧模型的對比

1)采用三次彈簧模型，彈簧剛度κ=1×103，利用空泡份額為50%時的流體力數據及相關參數，對方程求解后得到如圖2的隨無量綱流速變化的分岔圖.圖2中，UH為Hopf分岔流速，Upf為叉型分岔流速，Upd為倍周期分岔流速.

從圖2可以觀察到，隨著流速的增加系統(tǒng)經歷了Hopf分岔、叉型分岔、倍周期分岔和混沌運動.這是一個十分典型的系統(tǒng)分岔并最終演化為混沌的非線性動力學行為.

圖2三次彈簧模型的系統(tǒng)隨流速變化的分岔圖(κ=1×103)

2)選用改進的間隙約束模型，剛度分別選κ=1×103和κ=6×103，間隙大小為wU=wL=0.03，暫不考慮支撐阻尼.通過求解方程得到如圖3的系統(tǒng)隨無量綱流速變化的分岔圖，圖3中，UH為Hopf分岔流速，Upf1為第一叉型分岔流速，Upf2為第二叉型分岔流速、Upd為倍周期分岔流速.其中Hopf分岔點UH為管發(fā)生流彈失穩(wěn)的臨界流速.

(a)κ=1×103；(b)κ=6×103

圖3間隙約束模型的系統(tǒng)隨流速變化的分岔圖

從圖3可以看到，非線性支撐項的不同對其大小沒有影響.將圖3(a)與圖2進行對比可發(fā)現，超臨界流速后采用了改進的間隙約束時，系統(tǒng)發(fā)生了更為復雜的非線性動力學行為.系統(tǒng)經歷了Hopf分岔、第一叉型分岔，并經歷了較短的混沌區(qū)域后發(fā)生了第二次叉型分岔，然后又經歷較長的時間才到達倍周期分岔點，之后便很快地發(fā)展為更廣泛的混沌運動，且第二分岔點后的軌跡線存在一處小范圍的畸變破裂，在混沌運動中存在一片空白的窗口區(qū)域(見圖3(b))，當彈簧的剛度增加為6×103后，系統(tǒng)的分岔圖變得更為復雜，并在第二叉型分岔點到倍周期分岔點Upf2之間的分岔路徑發(fā)生較大范圍的畸變破裂，形成一片新的混沌運動區(qū)域，且已不能容易分辨出倍周期分岔點Upd的位置，之后進入更復雜更大范圍的混沌運動.

3)為了說明系統(tǒng)第一叉型分岔后的運動形態(tài)變化過程，提取了當支撐剛度為6×103時，無量綱流速分別為0.9、1.1、1.4、1.6、1.7、1.8時懸臂管自由端的相圖如圖4(a)～(f)所示.

圖4 懸臂管自由端運動的相圖

2.2 支撐阻尼對管動態(tài)特性的影響

為對比改進后的間隙約束模型中支撐阻尼對管的非線性動態(tài)特性的影響，選取支撐剛度為6×103，并采用空泡份額為50%時的流體力數據及相關參數，選取無量綱間隙尺寸0.01和0.03分別進行討論.

間隙尺寸分別為0.01和0.03時無支撐阻尼和考慮支撐阻尼的間隙約束模型對懸臂管動態(tài)特性影響的對比如圖5、6所示.

(a)無支撐阻尼；(b)考慮支撐阻尼

圖5間隙尺寸為0.01時支撐阻尼對動態(tài)特性的影響

從圖5、6可以觀察到，支撐阻尼對第二叉型分岔點之前的動態(tài)特性影響不大，但在第二叉型分岔點之后的分岔路徑發(fā)生了較大變化.當間隙尺寸為0.01時，考慮支撐阻尼的第二叉型分岔點之后的分岔路徑沒有發(fā)生擴散，且倍周期分岔提前發(fā)生，使得混沌區(qū)域范圍增大.而當間隙尺寸為0.03時，支撐阻尼使得第二分岔點之后的動態(tài)特性變得更加復雜，多處分岔路徑發(fā)生畸變破裂，之后混沌區(qū)域也變得復雜，邊緣變得模糊，各典型分岔點變得難以識別.實際工程中，管與支撐接觸后不僅產生碰撞力，也存在一定的阻尼力.本研究認為，為了更為準確地描述間隙約束對管振動特性的影響，并為進一步研究管與支撐的碰撞磨蝕，有必要考慮支撐的阻尼.

(a)無支撐阻尼；(b)考慮支撐阻尼

圖6間隙尺寸為0.03時支撐阻尼對動態(tài)特性的影響

3 結 論

本研究在三次彈簧模型的基礎上，加入了考慮間隙和支撐阻尼的改進的間隙約束模型.采用該模型和兩相流的流體力數據，建立了有間隙約束的懸臂管的動力學方程.通過數值求解，對比了改進后的間隙約束模型與三次彈簧模型，同時討論了支撐阻尼對管振動特性的影響.由于間隙非線性，改進的間隙約束模型較三次彈簧模型使系統(tǒng)發(fā)生了更為復雜的非線性動力學行為：系統(tǒng)隨著流速的增加發(fā)生了Hopf分岔、第一叉型分岔、第二叉型分岔、倍周期分岔、混沌運動及混沌窗口期等非線性現象；增大支撐剛度后，第一叉型分岔點后的分岔軌跡線發(fā)生畸變破裂使得混沌區(qū)域增大且各典型分岔點變得難以識別；支撐阻尼使得第一分岔點后的分岔軌跡線發(fā)生變化，倍周期運動提前從而使得混沌區(qū)域增大.研究表明，改進的間隙約束模型較三次彈簧模型更為接近工程實際，這為下一步更為準確地分析間隙支撐對管振動特性的影響以及管與支撐的碰撞及磨蝕的研究提供了理論基礎.