初中數(shù)學(xué)圖形操作題的特點(diǎn)與分類

北京三帆中學(xué) 李 林

初中數(shù)學(xué)圖形操作題是以圖形為載體，通過一系列的測量、計(jì)算等活動(dòng)，獲得猜想，進(jìn)而推理甚至驗(yàn)證得出結(jié)果的一類數(shù)學(xué)題，解決這類問題既動(dòng)手又動(dòng)腦，能夠有效檢驗(yàn)學(xué)生的創(chuàng)新思維、創(chuàng)造意識(shí)和實(shí)際操作能力。

一、初中數(shù)學(xué)圖形操作題的特點(diǎn)

（一）信息量大，注重基礎(chǔ)知識(shí)考查

初中數(shù)學(xué)圖形操作題都是圖文并茂的。首先要對(duì)圖形用一些理念或理論進(jìn)行概念界定、比較，其次對(duì)于某些操作還要描述操作的動(dòng)作和步驟，這使得圖形操作題所蘊(yùn)含的信息較多，知識(shí)傳遞量也在無形中增加。

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，中考數(shù)學(xué)圖形操作題通?？疾閳D形幾何教學(xué)中涉及的圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)這三方面的基礎(chǔ)知識(shí)。其中，圖形的性質(zhì)包含點(diǎn)、線、面、角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、尺規(guī)作圖、勾股定理及其逆定理等；圖形的變化包含圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似、視圖與投影等；圖形與坐標(biāo)包含圖形位置、運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)的聯(lián)系。

（二）抽象性強(qiáng)，注重能力考查

在圖形操作題中，由于圖形占據(jù)了大量信息，形成了較為抽象的關(guān)系和空間的形式。此外，加上部分題目信息隱藏，需要學(xué)生結(jié)合已學(xué)知識(shí)，在探索、推理及猜想的情況下獲知，更是大大加深了該類題目的抽象程度。圖形操作題中涉及的數(shù)學(xué)概念上存在抽象性，對(duì)于數(shù)學(xué)方法乃至解題方法的本身也是抽象的，學(xué)生在解題過程中，往往需要推理和探索結(jié)合并用，才能化解該類抽象問題。

初中數(shù)學(xué)重視對(duì)核心概念的考查，而圖形操作題更突出推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查，這說明圖形操作題注重能力立意，重點(diǎn)考查學(xué)生的推理能力，以及探究并利用所給新知識(shí)和模型及時(shí)應(yīng)用甚至進(jìn)行創(chuàng)新的能力。

此外，近年來的考查越來越多地將空間觀念、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)等核心概念進(jìn)行突出及合并，在解題推理過程中不斷體現(xiàn)。

（三）實(shí)踐性強(qiáng)，注重過程考查及關(guān)注不同層次學(xué)生

初中學(xué)生的認(rèn)知維度分為了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用四層，每年中考數(shù)學(xué)關(guān)于圖形操作的部分有不同體現(xiàn)：選擇填空題中對(duì)于學(xué)生的認(rèn)知維度要求較低，只要對(duì)定義和定理有了解，或者借助于現(xiàn)場的動(dòng)手操作就可以完成。而綜合題中對(duì)于學(xué)生的認(rèn)知維度要求較高，首先都是給出一個(gè)范例，希望學(xué)生能仿造這種方法或沿著這種思路進(jìn)行下去，進(jìn)而可以對(duì)一種簡單或特殊的情形進(jìn)行解答，這對(duì)于大部分學(xué)生都是可以完成的。接下來會(huì)對(duì)問題進(jìn)行變化，在學(xué)生充分理解了方法原理后解決更復(fù)雜的問題。在解答后續(xù)問題時(shí)，相當(dāng)于給定了一個(gè)新的概念，在得到的新概念基礎(chǔ)上進(jìn)行解答。這種獲得新事物后進(jìn)行進(jìn)一步解析推理的做法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成方式的訓(xùn)練。該類題既貼近現(xiàn)實(shí)，又能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思辨價(jià)值和科學(xué)價(jià)值。注重過程的考查，能夠較為全面地檢視學(xué)生閱讀理解能力、現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力和分析問題、解決問題的能力。

二、初中數(shù)學(xué)圖形操作題的常見分類

按照對(duì)圖形原狀的改變程度，圖形操作題可以分為四種：不改變原圖在平面內(nèi)畫出新的圖形稱為作圖類型；不改變原圖在空間內(nèi)通過折疊方式造出新的圖形稱為折疊類型；改變原圖形狀形成新的圖形稱為分割類型；多個(gè)原圖（包含分割后的）通過拼接形成新的圖形稱為剪拼類型。

（一）作圖類型

這種類型的操作題，結(jié)果是畫出符合題意的圖形，但是過程是呈現(xiàn)學(xué)生的基本尺規(guī)作圖，以及平移變換、軸對(duì)稱或是中心對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換或位似變換。

例1：如圖，在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB＞BC，∠BAC=∠DCE=點(diǎn)B、C、D在直線l上，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：

（1）畫 出 點(diǎn)E關(guān) 于 直 線l的 對(duì) 稱 點(diǎn)E'，連 接CE'、DE'；

（2）以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將（1）中所得△CDE'按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得CE'與CA重合，得到△CD'A。畫出△CD'A。解決下面問題：

①線段AB和線段的位置關(guān)系是_______；理由是____；

此題首先是綜合考查學(xué)生作圖的能力，（1）考查軸對(duì)稱作圖中最基本的點(diǎn)的對(duì)稱，按照其要求作圖即可，不會(huì)對(duì)后面的分析造成阻礙。（2）考查三角形的旋轉(zhuǎn)作圖，已知旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向，但是旋轉(zhuǎn)角是間接給出的，為后續(xù)的解題埋下伏筆。只有通過一步步作圖，領(lǐng)會(huì)作圖過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系，結(jié)合已知條件中所給出的邊相等可得到等腰三角形這一潛藏答案。之后，通過找到AC的垂直平分線，與以C點(diǎn)為中心、腰長為半徑的弧相交點(diǎn)D',這樣就可以通過內(nèi)錯(cuò)角相等，得到線段AB和線段CD'的位置關(guān)系是AB∥CD'。

能否根據(jù)題目要求準(zhǔn)確作圖，是解答該類作圖題及保證后續(xù)答案正確性的途徑之一。

例2：(1)觀察發(fā)現(xiàn)

如圖(a)，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小。做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)′，連接′，與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)。

再如(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小。做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為______ 。

(2)實(shí)踐運(yùn)用

如圖(c)，已知⊙O的直徑CD為4，AD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值。

(3)拓展延伸

如圖(d)，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法。

此題所用數(shù)學(xué)知識(shí)是軸對(duì)稱作圖，但是它對(duì)于學(xué)生挖掘潛藏信息，進(jìn)行了充分的鋪墊。其中對(duì)于解題線索的設(shè)置，每一步都有跡可循，且具有較強(qiáng)的導(dǎo)向性，這樣在一定程度上消除了學(xué)生對(duì)于新類型題及新概念出現(xiàn)的恐懼心理。

這種引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，聯(lián)系新舊知識(shí)，然后運(yùn)用拓展的題目能考查并培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力，是適合學(xué)生認(rèn)知學(xué)習(xí)規(guī)律的。

（二）折疊類型

這種類型的操作題，其本質(zhì)就是軸對(duì)稱，因?yàn)檎郫B后有重合的部分，那么對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角就有相等關(guān)系，折痕就是對(duì)稱軸。這類題不僅考查學(xué)生的動(dòng)手能力，更能考查學(xué)生分析和解決問題的能力。

例3：如圖①，將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對(duì)稱軸EF折疊，這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形（其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形），我們稱這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”。

（1）如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請?jiān)趫D②中畫出折痕；

（2）如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫出一個(gè)斜三角形ABC，使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形；

（3）如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是__________；

（4）如果一個(gè)四邊形一定能折成“疊加矩形”，那么它必須滿足的條件是__________ 。

這道題是以折疊的操作定義了“疊加矩形”，考查并鍛煉了學(xué)生的閱讀理解能力、現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力。首先，怎么得到等腰△CBE的？條件是對(duì)應(yīng)點(diǎn)A與C重合，DE為折痕，根據(jù)折疊的性質(zhì)，也就是軸對(duì)稱的性質(zhì)得到折痕DE為對(duì)稱軸，也就是AC的垂直平分線?！郃D=DC，∠ADE=∠EDC=90°，∴DE∥BC，進(jìn)而由平行線分線段成比例定理得出CE=BE，∴△CBE是等腰三角形。短短幾個(gè)字隱含了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评怼?/p>

其次，得到的矩形與原圖形在邊、角上有什么聯(lián)系？不考慮特殊的邊——直角邊，而關(guān)注一般邊——斜邊，這樣才能揭示出D、E是中點(diǎn)，而原三角形的邊BC的一半等于矩形的寬，矩形的長等于原三角形的邊BC上的高的一半。進(jìn)而問題（1）、（2）、（3）才能清晰地得到解決。

折疊類型的圖形操作題都是這樣考查折疊的本質(zhì)也就是軸對(duì)稱的性質(zhì)，所以在審題和思考解題方法的過程中要挖掘出對(duì)稱軸、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的關(guān)系。

（三）分割類型

分割問題一般是先給出特定形狀的圖形，然后根據(jù)圖形的特性，要求學(xué)生用各種輔助手段對(duì)圖形進(jìn)行分割，實(shí)現(xiàn)分割后的圖形滿足某種設(shè)定的條件。

例4：以下兩圖是一個(gè)等腰Rt△ABC和一個(gè)等邊△DEF，要求把它們分別分割成三個(gè)三角形， 使分得的三個(gè)三角形互相沒有重疊部分，并且△ABC中分得的三個(gè)小三角形和△DEF中分得的三個(gè)小三角形分別相似。請畫出兩個(gè)三角形中的分割線，標(biāo)出分割得到的小三角形中兩個(gè)角的度數(shù)。

這道題的條件等腰Rt△ABC和等邊△DEF蘊(yùn)含著特殊銳角：30°、45°、60°，那么分得的6個(gè)相似的三角形就會(huì)包含這些銳角，所以可以從角開始嘗試，進(jìn)行分類討論。若從60°著手，那么等邊三角形就可以用圖形的對(duì)稱性先分出一個(gè)含60°的直角三角形，再分出等腰直角三角形。進(jìn)而得到：

有了這一種分割方法，就可以再嘗試從45°著手，得到：

解決該類問題時(shí)，要注意利用圖形的對(duì)稱性、中點(diǎn)性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、圓的性質(zhì)以及面積關(guān)系等進(jìn)行分割，要關(guān)注邊等、角等的方法并靈活運(yùn)用分類討論思想。

（四）剪拼類型

剪拼類型的圖形操作題是將圖形按照一定的規(guī)則拼接在一起，考查的是學(xué)生的觀察分析及推理想象能力。此外，解題過程中，對(duì)于學(xué)生的判斷能力和認(rèn)知能力也有一定涉及。通過解決該類型題，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和對(duì)特征的判斷可以得到檢驗(yàn)。解決這類題的時(shí)候，利用面積這個(gè)不變量是關(guān)鍵，而一些模型意識(shí)，例如勾股定理證明中的弦圖等也是經(jīng)?？疾榈囊亍?/p>

這道題首先考慮到拼接前的直角邊要成為拼接后正方形的邊，而非直角邊只能在正方形內(nèi)重合，于是（1）的簡圖是：

因?yàn)閥≠0，所以，解得（負(fù)值舍去）

上述題目是一種新的嘗試，這類問題以數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過經(jīng)驗(yàn)回憶、動(dòng)手操作、想象、總結(jié)等途徑感知圖形的實(shí)際變化，考查學(xué)生的閱讀理解能力、知識(shí)遷移能力、類比猜想能力、數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)等?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能靠單純的模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探究是數(shù)學(xué)的主要學(xué)習(xí)方式?！彼裕@些題可以讓學(xué)生在觀察、操作等實(shí)踐活動(dòng)中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)于了解和改造周圍世界有巨大作用。