面向多用戶類的擁堵和排放收費(fèi)方案研究

席好寧，張 一，何 流，張 毅*，3

(1.清華大學(xué)清華—伯克利深圳學(xué)院，廣東深圳518055；2.深圳市城市交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究中心，廣東深圳518057；3.清華大學(xué)自動化系，北京100084)

0 引 言

交通擁堵是各大城市普遍面臨的社會問題.交通擁堵致使機(jī)動車加減速次數(shù)和怠速行駛狀態(tài)不斷增加，最終導(dǎo)致機(jī)動車尾氣排放的增多.隨著機(jī)動車保有量的迅速增加，機(jī)動車的尾氣排放已經(jīng)成為城市大氣污染的主要來源.根據(jù)美國調(diào)查報(bào)告，機(jī)動車排放的HC占30%～50%，NOx占40%～60%，CO占80%～90%，我國調(diào)查報(bào)告顯示80%以上的CO均源于機(jī)動車尾氣排放[1]，因此本文選擇CO的排放量作為排放的研究指標(biāo).

面向多用戶類的道路擁堵收費(fèi)研究可以分為兩類：具有不同時(shí)間價(jià)值的用戶(多時(shí)間價(jià)值用戶)和擁有不同車型的用戶(多車型用戶).Leurent[2]，Marcotte[3]和 Mayet等[4]，Nagurney[5]等最早研究了多時(shí)間價(jià)值用戶的均衡條件和系統(tǒng)總成本最優(yōu)的問題.Dial[6]，Yang等[7]進(jìn)一步證明了存在面向不同時(shí)間價(jià)值用戶的匿名道路收費(fèi)方案.Yang等[8]研究了基于系統(tǒng)總成本和系統(tǒng)總時(shí)間的雙目標(biāo)問題，并證明非負(fù)的路段擁堵收費(fèi)方案可以使系統(tǒng)總成本實(shí)現(xiàn)最優(yōu)；Guo等[9]進(jìn)一步研究上述雙目標(biāo)問題，并證明非負(fù)的道路收費(fèi)方案可以使帕累托有效流達(dá)到用戶均衡狀態(tài).現(xiàn)有的面向多用戶類的研究中，大部分以系統(tǒng)總成本和系統(tǒng)總時(shí)間為準(zhǔn)則，很少以系統(tǒng)總時(shí)間和系統(tǒng)總排放為準(zhǔn)則.Szeto等[10]通過仿真實(shí)驗(yàn)說明實(shí)施擁堵收費(fèi)可能會造成排放增加，Nagurney A.[11]證明緩解擁堵和減少排放這兩個(gè)目標(biāo)有時(shí)無法同時(shí)實(shí)現(xiàn).

不同車型具有不同的平均速度和排放量，因此歐洲國家分別針對大型客車、小型商用汽車、大型貨車、公交車和小轎車等具有不同排放指標(biāo)的車輛制定了不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).針對不同車型收取不同的費(fèi)用是一項(xiàng)長期行之有效的道路收費(fèi)策略.Kawakami[12]最早提出基于車型的出行時(shí)間函數(shù)，Toint[13]和Marcotte[14]進(jìn)一步研究了多車型用戶的交通分配問題.Chen等[15]基于不同排放函數(shù)研究了基于道路收費(fèi)方案使用戶的帕累托有效流達(dá)到用戶均衡狀態(tài)的充分必要條件，但該研究未考慮多用戶類因素.本文面向多時(shí)間價(jià)值用戶和多車型的用戶，研究是否存在有效的道路收費(fèi)方案，以達(dá)到同時(shí)緩解擁堵和減少排放的目標(biāo).

1 符號與概念定義

1.1 符號定義

本文符號及其定義如表1所示.

表1 變量定義Table 1 Variable definition

1.2 帕累托有效流

本文通過式(1)描述的雙目標(biāo)優(yōu)化問題來解釋帕累托有效流.

顯然，任何流量集合v對應(yīng)的系統(tǒng)總排放E(v)和系統(tǒng)總出行時(shí)間T(v)不可能同時(shí)比帕累托最優(yōu)流v*對應(yīng)的系統(tǒng)總排放E(v*)和系統(tǒng)總出行時(shí)間T(v*)小，則流量集合v*∈Ωv被定義為帕累托有效流[15].分別以系統(tǒng)總出行時(shí)間最小(SO)和系統(tǒng)總排放最小(ME)為目標(biāo)的兩個(gè)解集恰好是帕累托前端的兩個(gè)端點(diǎn)A和B，如圖1所示.

2 服務(wù)于多時(shí)間價(jià)值用戶的道路收費(fèi)方案

2.1 多時(shí)間價(jià)值用戶收費(fèi)模型的條件

基于以下假設(shè)與條件研究多時(shí)間價(jià)值用戶的收費(fèi)方案.

圖1 雙目標(biāo)問題的帕累托前端Fig.1 Pareto frontier of bi-objective problem

假設(shè)OD對w∈W間第m類用戶的出行量是固定的，路段出行時(shí)間函數(shù)和排放函數(shù)僅與該路段流量相關(guān)，與其他路段流量無關(guān)；CO的排放函數(shù)為凸函數(shù)，且隨路段流量單調(diào)遞增[9].

路段a上所有用戶的路段流量集合用Φv表示為

如果沒有實(shí)施道路收費(fèi)方案τa，第m類用戶的成本為；如果實(shí)施收費(fèi)方案τa，第m類用戶的時(shí)間成本為.

如果第m類用戶在OD對w之間選擇路徑r，則該用戶在路徑r上的費(fèi)用成本為

2.2 多時(shí)間價(jià)值用戶的均衡條件

多時(shí)間用戶分別基于時(shí)間成本準(zhǔn)則和費(fèi)用成本準(zhǔn)則選擇路徑的均衡條件如下.

(1)多時(shí)間價(jià)值用戶基于時(shí)間成本準(zhǔn)則選擇路徑的均衡條件為

(2)多時(shí)間價(jià)值用戶基于費(fèi)用成本準(zhǔn)則選擇路徑的均衡條件為

式(6)代表對多用戶類實(shí)施匿名道路收費(fèi)方案τa后的用戶均衡問題的目標(biāo)函數(shù).

目標(biāo)函數(shù)式(6)是關(guān)于路段a上所有用戶的流量va單調(diào)遞增的凸函數(shù)，va的值是唯一的，但不同時(shí)間價(jià)值用戶的流量是不唯一的.同時(shí)，Guo等已經(jīng)證明對同一路段上的多時(shí)間價(jià)值用戶實(shí)施匿名收費(fèi)可以得到唯一的系統(tǒng)總出行時(shí)間T和系統(tǒng)總成本C[9].

2.3 多時(shí)間價(jià)值用戶均衡狀態(tài)的實(shí)現(xiàn)

基于面向多時(shí)間價(jià)值用戶的道路收費(fèi)方案，本文分別考慮兩個(gè)雙目標(biāo)優(yōu)化問題，第1個(gè)雙目標(biāo)優(yōu)化問題以系統(tǒng)總出行時(shí)間和系統(tǒng)總排放為優(yōu)化目標(biāo)，即

第2個(gè)雙目標(biāo)優(yōu)化問題以系統(tǒng)總成本和系統(tǒng)總排放為優(yōu)化目標(biāo)，即

定理1對多時(shí)間價(jià)值用戶而言，任意帕累托有效流都可以通過實(shí)施非負(fù)的匿名道路收費(fèi)方案τa(a∈A)達(dá)到多用戶類均衡狀態(tài).

證明設(shè)是路段出行時(shí)間函數(shù)，考慮下列LP問題：

其對偶問題可以表示為

在原始問題和對偶問題的最優(yōu)解處，根據(jù)互補(bǔ)松弛條件可以得到

Yang等[8]已經(jīng)證明等式(15)可等效為多用戶類均衡條件式(5)，即通過匿名收費(fèi)方案τa可以使多時(shí)間用戶達(dá)到均衡狀態(tài).下面分別證明雙目標(biāo)優(yōu)化問題式(7)對應(yīng)的帕累托流和雙目標(biāo)優(yōu)化問題式(8)對應(yīng)的帕累托流是 LP 問題式(9)～式(12)的最優(yōu)解.

假設(shè)v*不是該LP問題的最優(yōu)解，是最優(yōu)解，并且滿足.由于是該LP問題的最優(yōu)解，所以滿 足，并且至少有一個(gè)b∈A滿足；因?yàn)閑a(va)單調(diào)遞增，所以e,?a∈A，結(jié)合上述條件可得到

由于ta(va)單調(diào)遞增，所以，并且至少有一個(gè)b∈A滿足，結(jié)合上述條件可得到

同理，假設(shè)不是該LP問題的最優(yōu)解，是最優(yōu)解，并且有.由于是該LP 問題的最優(yōu)解，所以滿足,?a∈A，并且至少有一個(gè)b∈A滿足，因?yàn)閑a(va)單調(diào)遞增,?a∈A，結(jié)合上述條件可得到

因?yàn)閠a(va)單調(diào)遞增，，，考慮不同類型用 戶的時(shí)間價(jià)值βm(m∈M)，并對所有多用戶類求和可以得到

合并不等式(19)和式(20)可以得到

不等式(18)和式(21)與雙目標(biāo)優(yōu)化問題式(8)中帕累托有效流的定義矛盾，因此原命題假設(shè)不成立，說明是LP問題的最優(yōu)解.基于上述證明過程可以得到定理1.

進(jìn)一步，同時(shí)考慮系統(tǒng)總出行時(shí)間、系統(tǒng)總成本和系統(tǒng)總排放的多目標(biāo)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可表述為

多目標(biāo)問題式(22)的解集構(gòu)成一個(gè)三維的平面，如圖2所示.曲面上的每個(gè)點(diǎn)都代表一個(gè)帕累托有效解.同理可以證明出滿足多目標(biāo)優(yōu)化問題式(22)的帕累托有效流也可以通過實(shí)施非負(fù)的路段收費(fèi)τa達(dá)到多用戶類均衡狀態(tài).

圖2 多目標(biāo)優(yōu)化問題的帕累托最優(yōu)平面Fig.2 Pareto optimal surface of multi-objective problem

3 服務(wù)于多車型用戶的道路收費(fèi)方案

對多時(shí)間價(jià)值用戶而言，用戶的出行時(shí)間函數(shù)和排放函數(shù)僅與該路段的流量相關(guān)，與其他路段的流量無關(guān).然而對多車型用戶而言，一方面需要考慮同一路段上不同車型間的相互影響，例如小轎車的增加可能輕微改變在某條道路上運(yùn)行車輛的平均速度，但大貨車的增加會嚴(yán)重影響該路段上運(yùn)行車輛的平均速度；另一方面需要考慮在雙向道路、或在沒有信號燈的交叉路口等交通場景下，不同路段間的流量會互相影響.本文考慮路段流量間的互相影響，建立通用的模型來研究多車型用戶的道路收費(fèi)方案.

3.1 多車型用戶收費(fèi)模型的條件

基于以下假設(shè)與條件研究多車型用戶的收費(fèi)方案.

假設(shè)任意OD對w∈W間p車型用戶的出行量是固定的；路段出行時(shí)間函數(shù)關(guān)于任意路段上的任意車型的用戶流量都單調(diào)遞增，q∈P,b∈A,p∈P,a∈A；路段排放函數(shù)為凸函數(shù)，且關(guān)于任意路段上任意車型的流量都單調(diào)遞增；假設(shè)多車型用戶的時(shí)間價(jià)值相同.

假設(shè)v代表多車型用戶流量的集合，.基于多車型用戶的路段出行時(shí)間函數(shù)的向量為對應(yīng)的雅可比矩陣是(|A||P|)×(|A||P|)維的方陣，m=|P|,n=|A|,p1,p2,…,pm∈P,a1,a2,…,an∈A.是路段a上不同車型的排放函數(shù)，

3.2 多車型用戶的均衡條件

考慮不同路段間流量相互影響的多用戶類均衡問題旨在找到路徑流量和OD對間的成本向量，使得每一類車型的用戶p∈P,w∈W,r∈Rw，都滿足多車型用戶均衡條件式(28).

當(dāng)路段流量間的相互影響不對稱時(shí)，無法通過求解數(shù)學(xué)規(guī)劃問題得到用戶均衡狀態(tài)下的路段流量集合，因此使用變分不等式表示多車型用戶的均衡條件.于是可有如下定理：

定理2對多車型用戶而言，只要路段流量集合滿足變分不等式(29)，就可以達(dá)到多用戶類均衡狀態(tài).

證明如果，由多車型用戶均衡條件式(28)可知，.如果，由于，可以得到.由于，說明所有f*∈Ωfp都滿足不等式(30).

對每OD對w，每條路徑r和每種車型p的流量求和可以得到

下面證明變分不等式(29)的解滿足多車型用戶的均衡條件式(28).由變分不等式(29)和等式(33)可以得到

不等式表示為

由于不等式(35)的右側(cè)是一個(gè)常量，左側(cè)是一個(gè)LP問題，f*是LP問題的最優(yōu)解，式(36)～式(39)是該LP問題的KKT條件.

由于c(v)是連續(xù)函數(shù)，所以變分不等式(29)總是有解，下面給出其唯一解存在的定理.

定理3如果多車型用戶的路段成本函數(shù)c(v)嚴(yán)格單調(diào)遞增，即滿足式(40)，那么變分不等式(29)存在唯一解，即存在唯一的路段流量集合.

證明假設(shè)v1,v2是兩個(gè)狀態(tài)下的多車型用戶均衡流，分別代入變分不等式(29)可得

因?yàn)閏(v)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以v1=v2.

3.3 多車型用戶均衡狀態(tài)的實(shí)現(xiàn)

面向多車型用戶的系統(tǒng)總出行時(shí)間和系統(tǒng)總排放的雙目標(biāo)優(yōu)化問題表示為

定理4對多車型用戶而言，任意帕累托有效流可以通過實(shí)施非負(fù)的道路收費(fèi)方案達(dá)到唯一的多用戶類均衡狀態(tài).

在原問題和對偶問題的最優(yōu)值處，根據(jù)互補(bǔ)松弛條件得到

Yang等[8]已經(jīng)證明不等式(49)可以等效為多時(shí)間價(jià)值用戶均衡條件式(28)，即通過收費(fèi)方案可使多車型用戶達(dá)到均衡狀態(tài).下面用類似的方法證明滿足雙目標(biāo)優(yōu)化問題式(44)對應(yīng)的帕累托有效流是LP問題的最優(yōu)解.

由于不等式(50)和式(51)與雙目標(biāo)優(yōu)化問題式(44)對應(yīng)的帕累托有效流的定義矛盾，所以假設(shè)不成立，是LP問題的最優(yōu)解.上述證明說明實(shí)施非負(fù)的收費(fèi)方案可使多車型用戶的帕累托有效流達(dá)到用戶均衡狀態(tài).因?yàn)閠(v)嚴(yán)格單調(diào)遞增，由定理3可知，用戶均衡狀態(tài)下的流量集合是唯一的，因此得到定理4.

4 算例說明

考慮只有一個(gè)OD對的簡單路網(wǎng)，OD對間有兩條平行路段a和b，如圖3所示，第m類用戶和第n類用戶的出行量相等：dm=dn=4，單位出行量為1 000 veh/h，時(shí)間價(jià)值分別為βm=1.0，βn=2.0.為便于說明多車型用戶，假設(shè)所有大貨車都在路段1上行駛，路段時(shí)間函數(shù)為t1=2v1+6；假設(shè)所有小轎車都在路段2上行駛，路段出行時(shí)間函數(shù)為t2=v2+8，路段排放函數(shù)為e(va)=0.2?ta(va)? exp(1/ta(va)).

圖3 算例示意圖Fig.3 Example diagram

任選一個(gè)同時(shí)滿足雙目標(biāo)問題式(8)和式(44)的帕累托有效流.

實(shí)施非負(fù)的路段收費(fèi)方案τa后，如果第m類用戶和第n類用戶在費(fèi)用決策準(zhǔn)則下選擇出行路徑，從而實(shí)現(xiàn)用戶均衡的狀態(tài)，則系統(tǒng)的總成本C表示為

第m類用戶在路段1上的流量，第n類用戶在路段1上的流量和系統(tǒng)總成本C的關(guān)系如圖4所示，實(shí)施收費(fèi)方案(τ1,τ2)后達(dá)成的用戶均衡流為，由圖5可知，此時(shí)對應(yīng)的系統(tǒng)總成本C=149.3，系統(tǒng)總排放E=2 136.

定理1和定理4說明通過實(shí)施非負(fù)的道路收費(fèi)方案可使帕累托有效流達(dá)到用戶均衡狀態(tài)，根據(jù)用戶均衡條件可以得到

進(jìn)一步簡化路段收費(fèi)集合的關(guān)系得到

式中：μm和μn分別代表OD對間第m類用戶和第n類用戶的最小成本；τ1和τ2分別代表路段1和路段2的道路收費(fèi).

該算例說明通過對多時(shí)間價(jià)值用戶和多車型用戶實(shí)施相應(yīng)的道路收費(fèi)方案(τ1,τ2)，可以使任意帕累托有效流都達(dá)到多用戶類均衡狀態(tài).

圖4 目標(biāo)函數(shù)的曲線圖Fig.4 Curve surface graph of the objective function

圖5 目標(biāo)函數(shù)的等值線Fig.5 Contours of the objective function

5 結(jié)論

本文首先面向多時(shí)間價(jià)值用戶，分別建立了基于系統(tǒng)總排放和系統(tǒng)總出行時(shí)間與系統(tǒng)總排放和系統(tǒng)總出行成本的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并證明任意帕累托有效流都可以通過非負(fù)的匿名道路收費(fèi)方案達(dá)到多用戶類均衡狀態(tài).然后面向有路段流量交互的多車型用戶，分別給出使任意流量達(dá)到多用戶類均衡狀態(tài)和路段流量集合唯一的充分條件，并證明任意帕累托有效流都可以通過非負(fù)的道路收費(fèi)方案達(dá)到均衡狀態(tài).最后通過算例驗(yàn)證了上述定理的合理有效性.